книги из ГПНТБ / Нижник Л.П. Обратная нестационарная задача рассеяния

Д о к а з а т е л ь с т в о

.

Существование и единственность

решения

уравнения

ucx,t)

= f(x,i)^^

c(y,v)U(t/,T)dr

( 3 . 7 )

J

при

любой правой

части

f(x,t)eС'(Ее)

следует

из леммы

1 . 2

г л . 1 . Действительно,

уравнение

( 3 . 7 ) можно

записать

в

операторном

виде

так

U(x) = F(x)

+ jfU(£)

f

( 3 . 8 )

где

при фиксированном Л;

IL(x)

и ^ - ^ - в е к т О р - ф у н к ц и я

со

значениями

из

пространства

ССЕ); tf(x)

- и (x,t)

,

F(x)

=f(ac,t)l

а оператор Л

определен

равенством

( 3 . 9 )

k(x,t)

Из

( 3 . 9 ) легкЪ получить оценку

\\ЛЩ\

=sup

\\Аи (х)\\

*\и>&)\\и\\^

Ыё, ,

( 3 . 1 0 )

где

Оценка

( 3 . 1 0 ) позволяет применить

лемму

1 . 2 г л . 1 .

Будем искать решение уравнения ( 3 . 3 ) в виде

( 3 . 5 ) .

Под­

ставляя

J(jc,i)

из ( 3 . 5 ) в

( 3 . 3 ) ,

получаем

k(X,t)

+ 2

dydr.

k(x,t)

( 3 . 1 1 )

Преобразуем интегралы,стоящие в правой части

c(y,T)<*(T+y)dyd?~

k(x,t)

O-tt-

ГГ

=[ d£,	с(.и,Ь + х-ц)ы.(Ъ + я)с1и
J.	J к.*
	г.
ft

( 3 . 1 1 )

( Э . 1 2 )

dydr>

к(я,і)

d&, c(y,T)H„(y,r,£,)	=
t+x-y

de,	c		d. (y, tA*		^-y) dy dr
									( 3 . 1 3 )
Используя ( 3 . 1 2 )				и ( 3 . 1 3 ) , из		( 3 . 1 1 ) ,		в силу	произволь­
ности функции		ос	, получаем,		что при		&,>і
	с
		c(yA+x-y)dy+-			с(у, т)		(у, г, 4 +х-у)		dudt,
	л ь	*
Равенство	( 3 . 1 4 )		будем рассматривать				как	интегральное		у р а в ­
нение для	функции		H_(tC,ti&>y		<
Для	исследования			разрешимости		уравнения ( 3 . 1 4 ) Я				полу­
чения оценок		для	его решения		удобно	р а с с м о т р е т ь функцию

H({x,t,ti)=H_(jc,tfi,-a:).

( 3 . 1 5 )

С учетом ( 3 . 1 5 ) уравнение ( 3 . 1 4 ) принимает пил

k(x,t)\k[x+								( 3 . 1 6 )
		2	z	j
В уравнении ( 3 . 1 6 )			зафиксируем		. Тогда		это	интегральное
уравнение	для	Н1	t, £, )	по первым		двум	переменным.
Покажем,		что для уравнения			( 3 . 1 6 )	сходится		метод по ­
следовательных		приближений.
Для	сокращения		введем	обозначение
Уравнение	( 3 . 1 6 ) примет виц
								( 3 . 1 7 )

где

( 3 . 1 8 )

\+x-t

2.

Оценим свободный член ( 3 . 1 8 ) с учетом оценки потенциала

\с(у,ї;-у)\а[у4с	«і/
	• ( 3 . 1 9 )
	(/+\у\)"г(/+\%-у\)

г

Усилим неравенство ( 3 . 1 9 ) , неравенства ( 3 . 1 9 ) на

du

и+\и\)<+Ч1АЬ,-и\)1+ь

1

При этом получаем оценку

С ДРУГ0 * стороны

со

2	+оо
1+	\) - оо
2

Поэтому имеет место оценка

заменяя интеграл в правой части

С,

( 3 . 2 0 )

«Аф

( 3 . 2 1 )

dy

г

4,

( 3 . 2 2 )

\f(a;,t£)\±	( 3 . 2 3 )
Кроме того, если (y,f)e Q (гс, t,£,)	, то
СО
с
\c(s,t,-*)\dxit	( 3 . 2 4 )

Для доказательства сходимости метода последовательных при­ ближений для уравнения ( 3 . 1 7 ) надо показать, что сходится ряд

Q(x,t,b,)

и з

гг

( 3 . 2 5 )

Рассмотрим мажорантный ряд

\f(*JA)\ + ) j \c(y,t)\\f(y,T.e,)\dydr

+ ...+

( 3 . 2 6 ) Учитывая ( 3 . 1 9 ) и ( 3 . 2 4 ) f получаем мажоранту для ряда ( 3 . 2 6 )

^\ayA-y)\dy '+J £ \с(у,г )\dydr

( 3 . 2 7 )

Воспользуемся оценкой	£
наложенной на потенциал, а	интегрирование по Т,	., тп ,...

будем проводить на всеіі оси. Тогда получаем мажоранту для ряда ( 3 . 2 7 ) , которая легко суммируется:

						f*£		d,
_ f						dx
										( 3 . 2 8 )
2
Учитывая, что		сходится	мажорантный ряд				( 3 . 2 8 ) ,			делаем
вывод о	сходимости	ряда ( 3 . 2 5 ) ,			т . е . сходится		метод			последо­
вательных приближений для уравнения ( 3 , 1 ? ) .							Таким			о б р а з о м ,
доказано существование решения				уравнения ( 3 . 1 6 ) .					Единствен­
ность решения легко		получаем из того факта, что						уравнение
( 3 . 1 6 )	вольтеррово	по переменной			х .
Действительно,уравнение ( 3 . 1 6 ) имеет вид
	H(x)=F(x)		+ Jh'(x),							( 3 . 2 9 )
г д е А^лО.вектор-функция со			значениями			в С(Е)	,	а	для опера­
тора Jf	справедлива	оценка
		oC(T)\\H\\zdT.								( 3 . 3 0 )
Поэтому	можно воспользоваться			леммой		1 . 2 г л . 1 .
Оценки ( 3 . 2 1 ) ,		( 3 . 2 3 )	и	( 3 . 2 8 )		позволяют		оценить

Hf(x,trb)

Откуда		следует,		что
			її.								, ( 3 . 3 2 )
а поэтому
			J J								( 3 . 3 3 )
Таким		образом,		H_lx,t,£,)		по переменным		t	и	£,	является
ядром		Гильберта—Шмидта.
	С	другой стороны,опенка				( 3 . 2 8 )	дает
			\Н,{х,ЬА>\		* e j	\c(y,£,-y)\dy					( 3 . 3 4 )
					%+x-t
Откуда						оо
						г					( 3 . 3 5 )
	\H_(x,t£)\			= \Ht(x,t£+*)\4c		\ \c(y,t,-y)\dy				.
При	Sytt		из	( 3 . 3 5 )	получаем, учитывая оценки					потенциала
С(х,		t)	,	что
				\H_(x,tA)\$		({+\х\)г	.				( 3 . 3 6 )
Возводя			неравенство		( 3 . 3 2 ) в степень		f-^	,а	неравенство
( 2 . 3 6 ) - в			cteneHb 2&-		и перемножая		их,получаем
					|fc >4P*6X'-™(f+\t,+						С З - 3 7 )
			(/*\х\)*-*^(1+							*x-tlf''*»'-*>
Огстода,			ярп достаточно малом			S'<——			,	легко получа—
еМ;	что

.1.16

		\H_(x,tA)\			did*,*
				dtdt,
						при	( 3 . 3 8 )
						x->-«
Тем самым		доказано	утверждение леммы 3 . 1 .
Л е м м а 3 . 2 .			Существует		и единственно в		пространстве
С(Е*)	решение			уравнения		( 3 . 4 ) :
Ji(x,t)		= f,(t-x)±L			c(y,'CjJ$(y)Tjdydr
при любой		правой части		fi(J)e	С(Е~> .
Решение этого уравнения представимо в виде
fl>{x,t)r=fi(i-x)+			H^(x,£,^)/bCt,-x)d^			~
							( 3 . 3 9 )
где при фиксированном х				оператор Ht		(х)~ оператор Гильберта-
Шмидта,	а при Х-+		+ 00
		\\Н^х)\	-*<?,		д; -у. у- оо ,		( 3 , 4 0 )
Д о к а з а т е л ь с т в о				этой	леммы	полностью	аналогично

доказательству леммы 3 . 1 . Приведем лишь интегральное урав« нение, которому удовлетворяет ядро Н+ (х,і,Ь.) при t

сЦ,Х)Н+(і/я£+У'МУ<іуь

( 3 . 4 1 )

Если ввести		в рассмотрение			ядро
										( 3 . 4 2 )
то оно удовлетворяет уравнению						при	c%£t--x
					c(y,T)H2(y,T,£,)dydT					( 3 . 4 3 )
										)
2 .	С в я з ь операторов			преобразования с				потенциалом
Из	уравнений		( 3 . 1 4 )	и	( 3 . 4 1 ) ,		полагая	£	-t	, полу­
чаем
				2 j	c(y,t	+	x-y)dy.			( 3 . 4 4 )
		Hf(x,t.t)=£			c(yj-x*y)dy			.		( 3 . 4 5 )
					и		о
Применяя к		( 3 . 4 4 ) оператор			^	- — •		, а	к	( 3 . 4 5 ) - о п е -
ратор	— + Л— ,		имеем
	dt	die
		І — - Н / / > Л О = ; С ^ ,								( 3 . 4 6 )

( 3 . 4 7 )

Формулы ( 3 . 4 6 ) - ( 3 . 4 7 ) выражают потенциал с(х,і) через ядра операторов преобразования.

3 . Связь операторов преобразования с оператором рассеяния

	Решение		задачи	нестационарного			рассеяния удовлетворя­
ет	уравнению		( 3 , 1 )
U(x,i)		=	a(X,£)-e(t-x)+1-		C(y,t)u(y,t)ciydf			.		( 3 . 4 8 )
	Воспользуемся			леммами		3 . 1 и 3 . 2 .		Так как	свободный
член в		( 3 . 4 8 )	есть	разность		a(t+x)	и	B(t-x)	, т о	реше­
ние есть разность решения уравнений							с этими правыми			ч а с т я ­
ми. Таким образом,
			оо
LL(X,t)= a (t+*)Arl-(x,t,£})a(£,-t-x)dt>--e									-
	t
-	•>				.
	H+(x,t.£,)6(*,-x)ct£,
L										( 3 . 4 9 )
	Будем рассматривать				функции от		двух переменных			* и

ікак вектор-функции, зависящие от ас со значениями в прост ­

ранстве	А,	і по	переменной		і	.	Обозначим через		tl(x) опера­
тор, переводящий			заданную плоскую				волну асі)	в	решение и(х,4)
задачи	нестационарного рассеяния
				U(x)ct{&)	= u(x,f) .				( 3 . 5 0 )
Равенство		( 3 . 4 9 )		можно переписать в операторном					виде
V.(x)a~(I+ H_(x))Txct-(I+							H+(x>)TxS	,	( 3 . 5 1 )
Учитывая определение					оператора рассеяния
				S=£a	,				( 3 . 5 2 )
равенство		( 3 . 5 1 )		примет вид
U(x)=(I+				Н_(х))Т^-	(1+ Н+(х))Тл£			.	( 3 . 5 3 )