книги из ГПНТБ / Нижник Л.П. Обратная нестационарная задача рассеяния

то тогда	и только	тогда		оператор f является			оператором
рассеяния	нестационарной			задачи	рассеяния	для системы
( 2 . 1 ) на	всей оси	с	потенциалом		С(хЛ)	, удовлетворяю­
щим оценке ( 2 . 4 )		и	однозначно определяемым				по оператору

Г •

Доказательство этой основной теоремы разобьем на

несколько		пунктов.
Вначале			изучим свойства				А -операторов из условия
( 2 . 7 ) .
1 .	Оценки			ядер	А	-операторов
Л е м м а			2 . 1 .		Пусть	для	оператора ^	выполняются все
условия	теоремы			1 У . 2 . Тогда			ядра	Ся, ,г1 ,^)||1
операторов		Af(X)			допускают		оценки	k,l-f
					С
t f					(f+\t+£f\)t*tu*-\t-£,-2x\),+i

с

( 2 . 8 )

—	— ,	*,*t,	х * 0 ;
	С
\A_fl(x,tM*-	—	)t,>,t,	X4 0.

Кроме того,

\\Л_н(х%\+0,

U,st(x)\\^0

,

при

( 2 . 9 )

при

Д о к а з а т е л ь с т в о : Обозначим

Положим F(^) = r ( X ) - I		, m-x)=f'(Xi-I,
Из условии	причинности	следует,	что
О	Л	I	n
	F_a(x)	1	0

tff(x)~-

^д'^-х	через	•
F =	F(a),V=&(0).

If /~Л

Kit™

( 2 . 1 0 )

где ядра входящих в ( 2 . 1 0 ) операторов допускают оденки

			С
I F	(хМ>Ша-0П^Л-х)\	і	-	—
г	"		(u\t^\)U6V+\i-W*\)	1
			( 2 . 1 1 )

с

Іif (Л,І.Ц = \0<t-b>%M-xM*M

Кроме

того, из условий причинности следует

(см.теорему"

1 У . 1 )

двусторонняя

факторнзуемость

f'(x) .

Из

факторизации f(x) -

(1 + А+(х)) Ч

( 1 + А . (а:))

легко

получаем

систему

уравнений

для

At

(X)

и

А_(х)

F

(х)

і- [А +

(Х)/_(Х)]_

~

Ajx),

(•2.12)

(х)

+ [ А . и х )

(х)\ , = 4+

( х )

,

которая и силу двусторонней факторизуемости

оператора

^(Х)

однозначно

разрешима.

Переходя п ( 2 . 1 2 )

к

ядрам

и учиты­

вая ( 2 . 1 0 )

, получаем

следующие

четыре

распавшиеся одно­

значно

разрешимые

системы

уравнений

(х

и

і

-играют

роль

параметров)

^

Л .

Л )

= J A4t(x.t,i2)Ftf<x,4.%)ct$.

,

t

;

( 2 , 1 3 )

А

^ І , Щ

^ х ^ )

с

і Ч

г

Sit-

( 2 . 1 4 )

-M

( 2 . 1 G )

\ „ < - * . ^ > - А _

и ( х , г

, &

?г,<*,?А)*7,

Априори из условий теоремы известно;

лишь, что

ядра At

^х,1^)

при фиксированном х

суммируемы с квадратом по

г1

и <* .

Однако

в силу

уравнений

( 2 . 1 3 ) - ( 2 . 1 6 )

и известных

о ц е ­

нок

( 2 . 1 1 )

ядер этих

уравнений можно получить и сформули­

рованные в лемме оценки A^^g

(x,t,%)

Остановимся более детально на способе получения

лишь

первой

оценки

в ( 2 . 8 )

для

(x,t,*~>)\

С

этой целью

рассмотрим

систему

уравнений

( 2 . 1 6 )

в

Ьг

по переменной

ё,

.

Так как система

уравнений

( 2 . 1 6 )

непрерывно

в

Z £

зависит от

параметров

и t

,

то в

с и ­

лу

ее фредгольмовости

и однозначной разрешимости

делаем

вывод,

что

А.п 1-я:, t,£,)

и A

(x,t,£,)

, как

в е к т о р -

функции по

£,

из

L.

, непрерывно зависят от я

и •£ .

Производя оценки по неравенству Буняковского с

учетом

( 2 . 1 1 ) ,

получаем

\А.гг(х,*А)\

^

lx,t,?)\

drA

а,

(х,

t)

( 2 . 1 7 )

и аналогично

	а Ах,і)	( 2 . 1 8 )
	\\„(*.*А>\*
где a., (X,i)	(к- /,£) — непрерывные функции по х	и t
к

Подставляя	( 2 . 1 7 )		и ( 2 . 1 8 )	в правые части			системы
( 2 . 1 6 ) и используя		оценку
d^
				l+Zt.		f	( 2 . 1 9 )
получаем
a3	(Xyt)			a	(sc t)
• V * ' ^ ' * ;	2.+ZS.^ 7 7		1• 't^i lЦ > 1	< .	*	г-ret ,	( 2 . 2 0 )
где a^(ccti)			непрерывные		функции по л		и t
Перейдем	теперь		к оценкам	решения		системы	( 2 . 1 6 ) п р и
фиксированном	-с	,	и	\t\-*-°a
Полагая
							( 2 . 2 1 )

перепишем систему ( 2 . 1 6 ) в виде

--aAt+e,\H**\t-b\J\ " 6

а^Ш=(/+\£+ї\Ґ£(/*\£-£\)"&	%t/*AA> +	(2.22)

(f+\t+b\)(f+\t-bV

а .(*А,?)	У„УХ,ЧА)4>1
	U+\t + 7l\)« + \t-J$

Обозначая
max	\ajx,tX)\ = a_(t),	max	\af (x,t,c,)\	= a , ( t ) }	( 2 . 2 3 )
£,>t,\x\&/v		$£t,\x\i#
перейдем к оценкам в t ( 2 . 2 2 ) ,			используя	( 2 . 1 1 ) ,
\ajx,t£)\±C(N)aJt)		(f+\t+m/At-K\)

U+\t+7iWAt-4\)U+\i+£,\)UAl-£>\)\

-

d o

со

( 2 . 2 4 )

«At

+

KWAt-t,\)

\a+{x,t£)\$C(N)\i+

Величина

~ГА^—~Е\

' с

т о я ш а я

п о д

интегралами

в

( 2 . 2 4 )

в

обоих случаях

меньше

1 ,

ибо в

первом

случае ^ttzrz

,

а

во

втором

ё { ^

71

. Величина

1+\t+£>\

4 / ^

так как

\у +

f

+ \t-q\

+\q->-£,\

+

.

Учитывая это, из ( 2 . 2 4 )

.получаем

a

(t)iC(H)ajt)

( 2 . 2 5 )

1+ а

Ш

Если

Т~

T{N)

—

достаточно

большая

величина,

то

при

\t\tT

из

( 2 . 2 5 ) ,

получаем

( 2 . 2 6 )

Таким	образом,
			С
					( 2	. 2 7 )
			с
Рассмотрим		теперь	оценки	решения системы ( 2 . 1 6 )		при
- > - оо		_ Если в системе ( 2 . 1 6 )			исключить
Ag	(зс,£,£>)	, то	получим	уравнение для	A^gf (&,£-,$,) :
		t		oO

Обозначим

\itl*,t£)(f*\i

+ *,V

(Mt-Z-te\)

=at£/(*.t.e,).

( 2 . 2 9 )

Тогда уравнение ( 2 . 2 8 ) примет вид

( 2 . 3 0 )

- O O

где

(f*\t+e,\)(f+\t-)E,-2x\J

(<At + t,\)U+\t-b,-2*X>

Покажем, что при	иЭС£-Л/
		( 2 . 3 2 )
Действительно, при £,£t	,	, учитывая ( 2 . 1 1 ) , и м е ­
ем

i d 1

( 2 . 3 3 )

Поэтому t

\\K(X.t,t..t,)\ctt,4,i

г.г-

	dt,
-< с	- с

если

только асі-Л/

| а

А/ —достаточно

большое

число.

Исходя

из

уравнения

( 2 . 3 0 )

легко

получить

оценки при

х£-Л/

:

таж\ар/*>*М*

£+{та-х

\а

Ax,t,t,)\.

( 2 . 3 4 )

Из

( 2 . 3 4 )

имеем

max

\а

(x,t,K)\^£C

,

а

учитывая

( 2 . 2 9 ) ,

получаем

^

*

1

А

(х,Ш\<

_

—

_

,

( 2 . 3 5 )

Из

приведенных

оиеьок

( 2 . 3 5 ) ,

( 2 . 2 7 ) ,

( 2 . 2 0 )

легко

заключить,

что п р и - э ? * ^ , £

6 t

существует

постоянная Ґ

т а ­

кая,

что

* г

1

'

'

(f+ft+ej)ue-(S+\€-e,-?xi)'+e-

Этим

заканчиваемся

получение первой

оценки

из

( 2 . 8 ) . О с ­

тальные

три оценки

( 2 . 8 ) могут быть получены совершенно

аналогично

из

соответствующих

систем

уравнений

( 2 . 1 3 ) -

( 2 . 1 5 ) - .

Если оценки ( 2 . 8 ) получены,

то

оценки

( 2 . 9 )

и даже

б о ­

лее

сильные

легко

получить,

мажорируя

правые

части

выраже ­

ния для A±H(x,t,e,),

А+ге(Х,і,£,)

в

системах

( 2 . 1 3 ) - ( 2 . 1 6 )

с

учетом

( 2 . 1 1 ) .

2 . Дифференциальные уравнения для

ядер

А —операторов

Л е м м а

2 . 2 .

Пусть

для

любого

X

оператор

^

f ^ -

x

допускает правую

факторизацию:

^

Г ^

х

^ и * * * ^ ^ *

А.(х))

•

( 2 . 3 6 )

Тогда

ядра

A^(x,tAK)

операторов

А у (х)

и Ajx)

„

обоб ­

щенном

с м ы с л е удовлетворяют

дифференциальным

уравнениям

д	д	д
at -	ox -	at, ~

t

C±(x,t)A±(x,tA)^0,

( 2 . 3 7 )

г де

(?+«с&=-А+(х,ЫяОА,(x,t,t)<o,

Cixfr

A_(x,t,t)-6Ajx,t,t)6.(2.3S)

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Прежде в с е г о

покажем,

что

почти

для

в с е х

(х.

t)

существуют

выражения

A±(x,t.t)-6A±(x,t,t)&.

Действительно,

из факторизации

( 2 . 3 6 ) ,

полагая х-=0

,

полу­

чаем существование

и

представление

-і

( 2 . 3 9 )

г д е

F

и

if

— операторы

Г.—Ш. Кроме

того, из

( 2 . 3 6 )

у м ­

ножением на 1+ А+ (х)

слева,

получаем

( 2 . 4 0 )

Переходя

в

( 2 . 3 6 )

к

обратным

операторам

и умножая

слева

на

1+А_(х)

имеем

также

А_(ж>+

+ А_ (х)

f . {/Ух

_ А+

(л).

( 2 . 4 1 )

Запишем

уравнения t( 2 . 4 0 )

и ( 2 . 4 1 )

для

ядер

A+(x,t,e,)+F(x,W

At«*,t,q)F(<*:,qtK)cly~0,

( 2 . 4 2 )

А_(ас,і,£)+&({с,І£у

Л-(*,t,%)&<x.?A)d?-=17,

£ * t

;

(2.43)