книги из ГПНТБ / Нижник Л.П. Обратная нестационарная задача рассеяния

ui (x,t)	- B1 (se + t)-
				X					( 2 . 2 7 )
Системы уравнений			( 2 . 2 G )		и	( 2 . 2 7 )		аналогичны ( 2 . 4 ) и
( 2 . 3 ) с заменой переменных						х.	и ^	местами. Поэтому отно ­
сительно систем ( 2 . 2 6 )				и	( 2 . 2 7 ) можно				сформулировать	р е ­
зультаты, аналогичные леммам							2 . 1 ,	2 . 2 .
Л е м м а		2 . 3 .	Существует				и единственно равномерно			о г ­
раниченное	решение		и,	(л,	t)	,	и.г(х,{)		системы ( 2 . 2 6 )	при
любой правой		части	а,^)		,	3£(^)€: С(£)			. Решение с и с т е ­
мы ( 2 . 2 6 )	представимо			в	виде

t

( 2 . 2 8 )

где	при фиксированном ас по		і	и £,	функции		Ln	(3ctt£)	{.ii = i,2
суммируемы		с квадратом в области			<*	&	, a	L n 2 (х,
(п-	f,2)	суммируемы	с	квадратом		в области			t .
При	этом

— , (/t,m=/,2J,(2.29)

/,£

6 * .

j

,

Lgi(3i,t,i)=-£c£(sr.,t).

2 '

( 2 . 3 0)

2

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Существование

и единственность

решения

систомы

( 2 . 2 6 )

непосредственно

следует

из леммы

1.2

г л . 1 . Если

искать

решение

системы

( 2 . 2 6 )

в

виде

( 2 . 2 8 ) ,

то после

подстановки

( 2 . 2 8 )

в

( 2 . 2 6 )

получаем

систему

интегральных

уравнений для

/,

(sc,

I

t

+>\

^

/

*>+*

'

2

( 2 . 3 1 )

x-t

n

S.

( 2 . 3 2 )

X

Если

ввести

функции

L

(зс,

t,&>)

равенства!*

йп1(л,1Л)=1л1(л,Ь,%-хХ

Lnl{xttjo~Lng(x,tA+&t

( 2 . 3 3 )

то системы ( 2 . 3 1 ) и

( 2 . 3 2 ) примут вид

Lt1(*AS>

= J

Lgf

t-c/r£,)dy,

Щ+x-t

( 2 . 3 4 )

/

(L+x-t

£>-*+t\

-x+ t,&,)dy ,

^bt+x;

?- л

г

х

( 2 . 3 5 )

Г

t-л.

X

Системы

( 2 . 3 4 )

и ( 2 . 3 5 )

однозначно

разрешимы

в

про­

странстве равномерно

ограниченных

по я

и г " , функции,

что

следует из леммы 1 . 2

гл, 1 . Оценки

на решение,

обеспечиваю­

щие

суммируемость

с

квадратом

ї>ппг

и

Lп / п

по t

, £, ,

легко получить аналогично, как и в лемме 2 . 1 . Покажем, как

получить более

точные

оценки

( 2 . 2 0 ) .

С этой

иелыо

введем новые

неизвестные в

системе

( 2 . 3 4 ) -

( 2 . 3 5 )

{

I c+x-t

£,-x

+ t

, ( 2 . 3 6 )

Р ,

, .

Г

*

(x+t-t,

X+t+ё,

Относительно

этих

неизвестных

системы

( 2 . 3 4 )

и ( 2 . 3 5 )

при­

мут

вид

7)

Г *

с2(У'

У ~ х * i } S" Ц' У " л

* *> Ь ) dy ,

г

							( 2 . 3 8 )
где
		его
Оценим вначале свободные члены				h f	, tig	учитывая, что
	. ^ л : , ^ | 4 с С / + | л | Г " * - ( / + | * | >
Из	( 2 . 3 9 )	и ( 2 . 4 0 )	получаем
		too	/	|
		Г Г			b-x-t	у-	( 2 . 4 1 )
			•і-і
		( V					.(,2.42)
							of,
		1ы					У-
Учитывая,		что (/+1у\)п	+
из	( 2 . 4 1 )	получаем
					d 4

( 2 . 4 3 )

С другой

стороны,

(1+

поэтому

из

( 2 . 4 3 )

получаем

1+ Ї + І + Х

U Є

г \>

2

( 2 . 4 4 )

Сопоставляя

( 2 . 4 3 )

и ( 2 . 4 4 ) ,

имеем

С

( 2 . 4 5 )

HAW

( 2 . 4 6 )

где

с

не зависит от

се

,

і

и

4 .

Исходя

из ( 2 . 4 2 ) ,

оценки

( 2 . 4 3 ) , ( 2 . 4 4 )

и ( 2 . 4 6 )

м о ­

жно

получить и для

/z С-г, г?, 4.).

1

g

Рассмотрим

теперь

уравнения ( 2 . 3 7 )

в

пространстве

р а в ­

номерно

ограниченных по л;

и t

функций.

Переменная

играет

роль параметра. Согласно лемме

1 . 2

г л . 1

существует

ограни­

ченное

решение системы

( 2 . 3 7 ) .

Учитывая,

что свободный

член

имеет

по £

оценку

( 2 . 4 5 ) ,

делаем вывод,

что

равномерно

пол*

и t

Подставляя

оценку

( 2 . 4 7 )

для

в

правую

часть второго

уравнения ( 2 . 3 7 )

и производя

оценки,

получаем

\Є (jc,t,£,)\4:

( 2 . 4 8 )

Подставляя	( 2 . 4 8 )	в правую часть первого уравнения ( 2 . 3 7 )
и производя	оценки,	получаем

j	\(<tly()(/+ly-x-*\)(f+\2y-x-t\)]
-оо
					[ 2 . 4 9 )
Подставляя	оценку	( 2 . 4 9 )	во	второе	уравнение системы
2 . 3 7 ) , получаем
					( 2 . 5 0 )
				d 4
Используя	оценку	( 2 . 4 6 ) ,	из	( 2 . 5 0 )	получаем

f с	-	а	<
	с		г.
			( 2 . 5 1 )
Полагая <х = 0	в ( 2 . 4 9 )	и ( 2 . 5 1 )	и учитывая ( 2 . 4 6 ) , а
также, что	/		t_

получаем

\L (°-1< *•)\ *	—	:	, Y (om\±	T~ •

Аналогично

получаются оценки для

<f

f

£

из системы

( 2 . 3 8 ) .

Получеьные

оценки

( 2 . 5 2 )

с

учетом

( 2 . 3 6 )

и ( 2

. 3 3 )

приводят

к

( 2 . 2

9 ) .

Л е м м а

2

. 4 .

Существует

и единственно

равномерно

о г ­

раниченное

решение

U._l(.x,i),

иг(я:,і)

системы

( 2 . 2 7 ) при

любой правой

части

^(5),

^(J)

е C(F)

.

Решение

системы

( 2 . 2 7 )

представимо

в виде

0.
u	g	=	аг (t-x) + J MSj(л, t,$) gf(*+ k)<tb +
	oo
+
где	при фиксированном ее				по переменным і			и £,	функции
МП1 (•X,t,e>)			(,n=~f,2)		суммируемы		с	квадратом в о б ­
ласти			i	a Функции	Мnt(ccft,£,)	(п=*,2)			суммиру­
емы	с	квадратом		в области	. При этом
				С
Кт<0'*М£				7П	Т	•	Г	* ,	2 . 5 4 )

Mfe(*,t,t)

= -£c,(a:,0,

Mgf(x,e,t)=:±cg(cc,t,0.

( 2 . 5 5 )

Д о к а з а т е л ь с т в о				. Существование			и	единственность
решения	системы		( 2 . 2 7 )	следует	из	леммы		1 . 2 г л . 1 . Под­
ставляя	( 2 . 5 3 )	в	( 2 . 2 7 ) ,	получаем,		учитывая			произволь­
ность функций		S1	и а.£ .систему интегральных						уравнений для
Мпт(х.Ш	(п,т		= Аг)
				*					( 2 . 5 6 )
				xt
			2. ' г
			X-h-t-b,						( 2 . 5 7 )
Введем в м е с т о функций Мпт						новые	функции
Mnf(x,tA)=Maf(x,t£-x),				Mntlx,tA)=Mai(x,t£+*),					( 2 . 5 8 )
Системы	интегральных уравнений				( 2 . 5 6 )		и	( 2 , 5 7 ) перепишем
с учетом	( 2 . 5 8 )
									( 2 . 5 9 )

f fe+x-t £,-x+t

( 2 . 6 0 )

Существование

и единственность

равномерно

ограничен­

ного

решения

системы

( 2 . 5 9 )

и ( 2 . 6 0 )

следует

из

леммы

1 . 2

г л . 1 . Оценки по t

и £,

для решения,

обеспечивающие

его

суммируемость с квадратом, получаем аналогично,

как и в

лемме

2 . 1 .

Оценки

( 2 . 5 4 )

получаем

аналогично

оценкам

( 2 . 2 9 )

леммы

2 . 3 .

2 .

С в я з ь

опэраторов

преобразования

с

оператором

рассеяния

Оператор

рассеяния

S

нестационарной

задачи

рассеяния

определен

в

§

1 посредством

равенства

a,(s)

S(s)

=

( 2 . 6 1 )

Приравнивая

правые

части

равенства

( 2 . 2 4 )

и ( 2 . 2 5 ) ,

полу­

чаем

( 2 . 6 2 )

Учитывая,

что

согласно

лемме

1 . 1

*~л.1 существует

[І+/\_ Cxi] '

a <^c'i

—

у

из равенства

( 2 . 6 2 )

и определения

оператора

рассеяния

получаем

очень

важное

представление

для

операто­

ра рассеяния

S = - Г

~ ' [ / f / / + f « j ] . £ .

( 2 . 6 3 )

Иное

представление

получим

используя

леммы

2 . 3 ,

2 . 4 .

Действительно,

приравнивая

правые

части

равенств

( 2 . 2 8 ) и

( 2 . 5 3 ) , получаем

7

t

1 t

2

( 2 . 6 4 )

- oO

o O

= S0(t-x)+	Ls/(x,t,£)at(x+£,)d£,+			L„lx,t,&,)6j.b,-x)dK		.
				22
						( 2 . 0 5 )
Перенеся в с е	члены с	<2, и ct-s в		левую	часть, а члены с Sf
и 6„ в правую часть		равенств	( 2 . 6 4 )		и ( 2 . 6 5 ) ,	получаем
о О				СО

a/x+ti+JLH(x,t,£,)af(x+tyd£,-

( 2 . 6 6 )

Ь,(х,£,ё,)а.^х+КМ£, + a(t-x,) + Mgi(x,t,^)as(^x)d£,=

Mix,tX)	біх+ШЬ	+ e9tt-*) +	\L„(.*,t&)6-it,-*)db>.
Равенства	( 2 . 6 6 ) запишем в операторной форме. С этой
целью введем	матричные	вольтерровские	операторы

LH(x)	ft
		( 2 . 6 7 )