книги из ГПНТБ / Нижник Л.П. Обратная нестационарная задача рассеяния

										( 2 . 8 7 )
				't
(	и	,	- неизвестные функции х			и t	-	параметры)			име -
ют	в	Л £	лишь	тривиальные	решения	для	любых х		и	t	, то
тогда		и только		тогда	е с т ь оператор		рассеяния			нестацио­
нарной задачи				для системы	( 2 . 1 ) с	потенциалом			C(x,t)		, удо­
влетворяющим				оценкам ( 2 . 4 ) и однозначно				определяемым по

Г•

§3 . Описание операторов рассеяния нестационарной задачи для гиперболической системы на полуоси

Задача рассеяния для				системы уравнений
да		Зи						( 3 . 1 )
—	- 6	—	+ C(x,t)u,		0&х<	+ °°
д-Ь		дх
с граничным		условием
			u1(0,t)	= u!;(OJ)				( 3 . 2 )
подробно изучена в 8 3 гл . П.
Обозначим			через { ^ j ^		множество	всех	операторов
рассеяния задачи ( 3 . 1 ) - ( 3 . 2 )					с различными		потенциалами в и ­
да
								( 3 . 3 )
где Cf. (x,t)		_ измеримые комплекснозначные функции, у д о в ­
летворяющие		оценкам
				С				( 3 . 4 )
\с	(x,t)	\ <		—		(k=-f,?),
*				и+\*\)<*(іАі\)^
				1 6 П

с фиксированным

£>0

Отметим

наиболее важные

свойства

операторов

р а с с е ­

яния

из класса

{ З J-£

1 . О ц е н к и

. Оператор рассеяния

£

имеет

обратный

. При этом

S=l+F

,

S'f=I+if

, гд е

F

и У -

интегральные операторы Г.—Ш., ядра которых удовлетворяют

оценкам

(f+\i+£,\)'+e(f+\t-£i)<+s

'

, \

С

( 3 . 5 )

I I .

К о в а р и а н т н о с т ь .

Оператор

рассеяния

Sixe)z&~

дачи ( 3 . 1 ) — ( 3 . 2 )

с о сдвинутым

потенциалом

CxJ.x,t)~C(x+x1l,t)

принадлежит

{ < 5 } £

и связан

с

исходным

оператором

р а с с е я ­

ния

равенствами

F(x„,t£)^F(t-xB,i\+xa),

Ш;

У(ъ/А)=№<ъ£-*М^;(з.б)

где

F(xott,t,)

7

f/(xB7t,c%)

-

ядра

интегральных

операторов

F(x„)

,

*/(х„)

;

f<xj

= 6(xa)-l

,

У(х„)=

&~\х0)-I

.

( 3 . 7 )

Ш. Ф а к т о р и з а ц и я

. Операторы

из класса -{c^j

допус ­

кают

двустороннюю

факторизацию.

Указанные свойства

1 - П - Ш являются определяющими для

операторов

рассеяния из класса

{ 6

\е

. На основании

этих

свойств

можно

дать

следующие

необходимые

и достаточные у с ­

ловия принадлежности оператора

классу

{

£ }

е

Т е о р е м а

1 У . 4 .

Пусть

f--

оператор

в Lt

(-оо, +<*>) .

П у с т ь с у щ е с т в у е т

оператор

и

p^I+F

,

,

г д е F

и

У

- интегральные

операторы

Г . - Ш . , ядра

которых

удовлетворяют оценкам ( 3 . 6 ) , Кроме того, система однород­

ных

интегральных

уравнений

a(E,)+

if(%)F(q-x,£,+x)dy^ff

,

^>Л;

( 3 . 8 )

v-(£,)+\u(q)if(7?+x,£,-cc)d7j=:0,

имеет в Ls		лишь	тривиальное		решение	при	любых значениях
параметров <z^O			и t .	Тогда('и только			тогда) оператор
является оператором рассеяния задачи ( 3 . .1.)—(3.2)								на полу­
оси	с потенциалом вида			( 3 . 3 ) - ( 3 . 4 ) .
	Д о к а з а т е л ь с т в о			. Рассмотрим		две	системы	уравне­
нии	типа	(3.8)^
								( 3 . 9 )
H(x,t£)		+ Н.(х,£,тї)У(гі+х£~х)			d 4 =	О,	b,*t,
2+

НІ-		ІхА?)Щ+х,Ь	-x)d?i=~	*f(t*x£-x),			££t.
В силу фредгольмовости и тривиальнбй				разрешимости		однород­
ных уравнений	существует и единственно в				L£ решение		( 3 . 9 ) —
( 3 . 1 0 ) . Более	того, используя		лемму	2 . 1	(анализ	уравнений
2 . 1 3 - 2 . 1 4 ) , получаем, что при			лїО
I »„<*,Ш		\(Ли^иеиА^гх\У^			'	{ З	Л 1 )
и, кроме того,
I K - ^ I I -		" * ' H ^ № ; l l	~ * а	при		( 3 . 1 2 )

	Рассмотрим разностные					аналоги операторов			д	д	д
										t-	—,
д	д	д	3	д	д	д	д	д	d t д х	дё>
~dt~	дх ~Щ		' ді +	дх~~	дї,	' дї	''дх	* д~К	'	Т ' Є '
операторы		^	^	(к-/,2,3,4)		определяемые			равенствами

								( 3 . 1 3 )
	МіЛ	Ф&М>	= {	\Ф(х+Ь,і+к,£,-к)-фСх,£Л)\				,
	М^Ф(х,£,ї)		= ±	\Ф(х+Я,і+кХ+к)-ф(х,і,ї,ї\				•
Применяя		к пбрвому уравненто ( 3 . 9 )					оператор Мъ ^ , а ко
второму уравненто				^	, получаем
								( 3 . 1 4 )
_ /
Учитывая,		что при	fi-^u
	і. п і.
|j	H^Jx+kJ+q,		q.-h)&(q+x,£,-x:)cC%					^
								( 3 . 1 5 )
	»-		2Hsjx,tt){/(t+x,£-x)
делаем вывод, что			система		( 3 . 1 4 )	в	пределе	h->• О совпадает
с	( 3 , 1 0 ) ,	умноженной		Ha-2Hg		(x,t,£)

В

силу

непрерывной

зависимости

решения

системы

( 3 . 1 0 )

о т

правой

части

делаем

вывод, что

существуют

пределы

Дт

М.

Н (x,t&)=-2H.

(x,iJ)H

(x,i^),

( 3 . 1 6 )

?irn М . Н ( Х , 2 И

(x,t,t)H

(Х,№.

( 3 . 1 7 )

Совершенно

аналогично,

применяя

к первому

уравнению

( 3 . 1 0 )

оператор

М1

д

и ко

второму

Mt ^ .,

получаем

систему

уравнений,

которая

при

ft-+u

совпадает

с

с и с ­

темой

( 3 . 9 ) , умноженной на ?.Н

(X,t,t)

.

.

Поэтому

Cim М . Н (x,t£)

= 2H

tx,t,t)Hp

(x,t,K\

( 3 . 1 8 )

ftm Mek^u(x,t,^^2H^xJ,i)H^(x,£,t\)

,

( 3 . 1 9 )

Покажем, что

из

соотношений ( 3 . 1 6 ) - ( 3 . 1 9 )

и оценок

( 3 . 1 1 ) -

( 3 . 1 2 )

легко

получить

интегральные

уравнения

для

^t(X,t,^

в точности совпадающих с интегральными уравнениями для

ядер операторов преобразования

(см . гл . II,

8

3 , п . 2 ) , е с л и

положить

ct(x,t)=£Hf/xJ,0,

cf(x,t)^-2Hz(x,t,t)

.

( 3 , 2 0 )

Из оценок

( 3 . 1 1 )

получаем,

что сь

/) ,

определяемые р а ­

венствами

( 3 . 2 0 ) > у д о в л е т в о р я ю т

очрмкам

с

\C.(x,f)\£

—

—

,

<"/:=•/,?;.

(3,2*1)

Рассмотрим выражение

с\Ц. .ячЬ-у)Н?(у,т*

+ у..?-и>^<іу

4

( 3 . 2 2 )

'г

которое имеет

смысл

в

силу

оценок

( 3 . 2 1 ) - ( 3 . 1 1 ) .

Применяя

к

выражению

( 3 . 2 2 )

разностный

оператор

М/Л

определенный

в

( 3 . 1 3 ) , и устремляя

h

к

0

, в

силу ( 3 . 1 8 ) ,

получаем

Л/я

М'

Ф (x,t,e,)

= 0.

( 3 . 2 3 )

Из

( 3 . 2 3 )

легко

заключаем,

что

(Pi(x,t,Z)=(P(Uxfe;+a:)^#.

( 3 . 2 4 )

С

другой

стороны, в

силу ( 3 . 1 2 )

и оценок

( 3 . 1 1 ) - ( 3 . , 2 1 )

получаем,

что

Фі

(x,t^

4 - * , определенное

равенством

( 3 . 2 2 ) ,

при фиксированном х

является ядром интегрального опера ­

тора

(х-) ,

норма

которого при

стремится к нулю

(*•) II

-*0,

. г - * - * - .

Но

из

равенства

( 3 . 2 4 )

следует,

что

<'я:-,11

не

зависит

от

х.

. Поэтому

Фг

(х,і,Ь,У

= О

. Из ( 3 . 2 2 )

получаем

первое

уравнение

для ядер

операторов

преобразова ­

ния.

Чтобы

получить

второе уравнение

рассмотрим

выражение

Фг(х,Ь,Ь,)-=

(я,

tA)+jcL+

•г			(3.2SJ)
Применяя к ( 3 . 2 5 )	оператор М ,	и учитывая	( З . і б ) . п о -
лучаем	3, ft		У
Є і т	М $ к Ф і ( х Л £ > 0 ,		( 3 . 2 6 )

Отсюда делаем вьюод, что Фг(х,і,І,)

имеет вид

<Ре(х,і,Ю=Ф(*-я,

Ь+х)

•

( 3 . 2 7 )

Из

определения

( 3 . 2 5 )

функции

Фе(х.,Ь.К)

имеем при

^-t

Фг(-х,і,і)=0

. С

учетом

( 3 . 2 7 )

приходим

к

равен ­

ству ФО-х,&+х)-0

или Ф2(х,і,£,)=0

.

С у ч е ­

том

( 3 . 2 5 )

это

дает

второе уравнение.

Учитывая единственность решения

уравнений

для ядер операторов преобразования получаем важный

вывод.

Операторы

Н

(х)

являются

операторами

преобразо­

вания задачи рассеяния для системы

( 3 . 1 ) ,

если

в качестве

потенциала

ck(x,t)

выбрать

выражения

( 3 . 2 0 ) .

Для

полного

доказательства теоремы осталось лишь показать, что

опера­

тор

выражается

через

точно

так,

как

через

них в ы ­

ражается

оператор

рассеяния.

Полагая в

(3.8)

х

= С

в

силу теоремы 1 . 4

г л . 1

делаем

вывод,

что

допускает

двустороннюю факторизацию.

Пусть

^—(1

+ А + У*(1-*А_)

• Тогда

операторы

Af

и

А_

* удовле­

творяют

системе

уравнений

Г A.=F_+(A^F_).

,

<

( 3 . 2 8 )

которая

относительно

А+

и Л_ однозначно разрешима

в

силу

двусторонней фякторизуемостн

оператора

. Полагая х = 0

в ( 3 . 9 )

и ( 3 . 1 О)> и

вычитая

в

них

первые

и

вторые

уравне­

ния,

получаем

' HfJ0)

-Нг_

(Q)=F_

+ \(Ни

(0)-Ни

(0))F_ j

<

( 3 . 2 9 )

Сопоставляя

( 3 . 2 9 )

н

( 3 . 2 8 ) ,

делаем

вывод

A . - f i

W)-H(O),

Л =//

(Q)-H

((!).

( З . З П )

Таким о б р а з о м ,

Г=\і+Нг,(0)~Ні+(0Ґ\і^Н^О)-Н2р)\.

( з . З І )

.Однако

оператор

рассеяния

_>

выражается

через

операторы

преобразования

точно

таким

ж е о б р а з о м ( с м ^ 3 . 1 б ) г л . ї ї ) . Но

тогда

/* = «3'

,

т . е . оператор

/*

е с т ь оператором

рассеяния

из

класса

/•S'/f

. Теорема

доказана.

П р и м е р .

Пусть К

интегральный оператор

в

Ь^-00,*00'1

по

норме

строго

меньший

1 . Если ядро К (t, £,) удовлетворя ­

ет

оценке

.

с

то

К

И Л

)

* 7 7 7 \ І w \ t - z i ) ' r c

операторы I + К

и

(І+КУ1

будут

операторами

рассеяния

задачи

( 3 . 1 ) - ( 3 . 2 ) .

_ f

Действительно, в этом случае существует

где £

интегральный оператор,

ядро которого согласно л е м ­

ме

2 . 5

гл . П удовлетворяет

оценке

\R

С

і

——

• , •

. Кроме

того,

оператор 1+ К

,

а,

следовательно, и

{1-і-К

У

допускает

двустороннюю

фак­

торизацию.

§

4 . Оператор рассеяния в нестационарной теории

рассеяния

Использованное в настоящей работе определение опера­

тора

рассеяния

несколько

отличается от определения д а в а е м о ­

г о

в

обшей

теории рассеяния

\) 2]

. Однако, как будет

покя*

зано ниже, оба эти определения совпадают с точностью до

унитарной

эквивалентности.

1 . Формализм абстрактной теории рассеяния

Рассмотрим в гильбертовом ттрпсгрянетвр уравнение ІПре-

дингеря

дір

i g f * * ' *

{ Л Л )

с

самосопряженным

опррчлорпц

Л

Р а с с м о т р им

также

возмущенное уравнение

і^=А(і)ф,

( 4 . 2 )

где

dt

AU)=Ag+VU).

( 4 . 3 )

Решение задачи Кошн для уравнении

( 4 . 1 )

и

( 4 . 2 )

с на ­

чальным

значением

прп і = О

ф(0)=ф„-

(

4 . 4

)

определяет операторы

Ualt)

и U(t)

равенствами

Фа)=идтір0,

( 4 . 5 )

ф(0

=

Ш*)фв

,

( 4 . 6 )

где

( 4 . 5 )

е с т ь

решение

уравнения

( 4 . 1 ) ,

а ( 4 . 6 )

-

решение

( 4 . 2 ) .

Волновые

операторы

в

теории

рассеяния

определяются

равенствами

W+ = £im

Vr4t)UeU).

( 4 , 7 )

Волновые операторы можно определить еше но другому.

Пусть

Іі.(і)ф0

- решение

возмущенного

уравнения

с начальны­

ми

данными

при t=0

ф(0)

= фд

,

Пусть существуют такие

элементы

ф+

,ф_еН

, что решение

задачи

Кошн

для

невоз—

муш-энного уравнения с начальными

данными при

t=0,

ф(0)

= ф.

(или

ф(0)~ф+

.

) при

£-->-с*>

(или соответственно

t

0 0 )

стремится к решению 21(£)фа

,

т . е .

\\иШфв-и„Шф.\\н-*0

,

;

( 4 . 8 )

\ \ и и ) ф 0

- и д и щ н + 0

,

t^>

+ ~ .

( 4 . 9 )

Тогда волновые операторы определяются равенствами

%Ф.

=

Фв,

( 4 . 1 0 )

КУ-^Ф,-

( 4 . 1 1 )

Оператор f,

переводящиА

ф„ в Ф+ ,носит

название

опера ­

тора

рассеяния

Ф+=ГФ--

( 4 . 1 2 )

Таким образом,

оператор

рассеяния

переводит

данные

Копій

ф_ - решения свободного уравнения, которое

при £-*—«>

с т р е ­

мится к решению возмущенного уравнения, в

данные Кошн

ф+

решения свободного уравнения,

стремящегося

к

решению

в о з ­

мущенного уравнения

при

£-^-ч-оо

. Оператор

рассеяния

с в я ­

зан

с волновыми

операторами

равенствами

f=XV7'W_

.-

( 4 . 1 3 ) -

В в е д е м волновые операторы, зависящие

от

в р е м е н и , р а в е н ­

ства мі:

WJte)=1l(te)W_

U-/Utt),

( 4 . 1 4 )

Wt (t„) = U ао)

W+

U01(to)

.

( 4 . 1 5 )

Учитывая, что UBl£)

и

U(i)

образуют

унитарную

полу­

группу, из ( 4 . 8 )

и ( 4 . 9 )

получаем

\\ишиив)фв-

li„(i)Ug(to)

ф±\\

=

:\\Ш{+{о)фо-ио({

+ і0)ф\\^0

,

і •-to" .

( 4 . 1 6 )

Но тогда из определения волновых операторов

( 4 Д 0 ) ,

( 4 . 1 1 )

имеем

%ивив)ф^иив)ф„

,

( 4 . 1 7 )