книги из ГПНТБ / Нижник Л.П. Обратная нестационарная задача рассеяния

J	- оператор отражения:			м а т ­
рица,	транспонированная	к С	:
	I	0	Ce(x,t)	( 1 . 2 7 )
	\c,(x,t)		О

д) Взаимная замена временной и пространственных перемен­ ных.

Сделав замену
						( 1 . 2 8 )
в системе ( 1 . 1 ) , легко		получаем		уравнения	для	H(x',t')
дй	^ дй.					( 1 . 2 9 )
ді'	дх'
Пусть
6(Cix,t))=£=,		4/		^
						( 1 . 3 0 )
		А	,	з и
Сопоставление	решения	задачи	рассеяния для		систем	( 1 . 1 ) и
( 1 . 2 9 ) дает
и	It
						( 1 . 3 1 )

г д е ' .7 - оператор отражения: {Of)(t)=

f(-t)

Из ( 1 . 3 1 )

легко

получить существование £

'

и представ­

ления

(і

о\1^ оу/т

4 ут

о

J Л 4 .

її

\о d.

>

( 1 . 3 2 )

r

sY2

\ I г

О

I

\о

Sj\o

с,

( 1 . 3 3 )

2 .

Принцип

причинности

Решение

задачи рассеяния

для системы

( 1 . 1 )

удовлетво—

ряет

интегральныїм уравнениям

(х *£)

,t

и,

(х, t) = а.

Гс

О

+ I с<(x*t - f , г) и. (х * t - Т, т) dr,

і

^«>

( 1 . 3 4 )

uz

(х,

Ь - az(i-x)+Jcz(x-t

+ T,'t)uf(x-t-n;,'<;)dz

t

-oo

r , (X +1- V, t)

u2 (x +1- r , T)

dr,

( 1 . 3 5 )

u£

(x,t

j = S£ ({-x)

-j ce (x -1

у- r , t)

u,

(x

-1 •> ї,

T)dr.

Здесь

a(s)

= {a.i (s), az

(^))

— вектор,

характеризующий

пада­

ющую

волну, a

S(^)-(Bf(3)t§e(e))

-рассеянную.

Из

системы

( 1 . 3 4 )

видно,

что если задан

вектор

a.<si ,

то решение

в момент

t — tB

зависит

лишь

от значений п о ­

тенциала

при

t^£0

- С

другой

стороны,

если решение

и-(х,£о)

в

момент

t— £а

известно, то при tbtB

р е ­

шение

и.(х,іу

будет

з а в и с е т ь

лишь

от потенциала

при t^t0 .

Действительно,

и

(ос, t)

удовлетворяет системе

уравнений

Г a f

( x , t )

= uf№

t-tcite)-h

\ cf(x+

t-т,T)u2(x+

t-?,l)dr,

1

\

( 1 . 3 6 )

ue(x,t>

= u.(,(x-i-+to,tt)+

\ yx-t+r,€)uf(x-t+?,<?)

d€ y

которая легко получается из (1. . 3 - і ) .

Разложим потенциал

Сіх^)

на две части: одну,

равную

нулю

при

{>

t д

, а другую -

при

t < t 0

e(K,t)

= &lt„-t)C(x,t)+

Qit-ta)Clx,t).

( 1 . 3 7 )

Пусть

£>.,

и

i>„ — операторы

рассеяния,

соответствующие

с л а г а е м ы м

потенциала, т . е .

,5. --• 6(&(ta-

t)C(x,t»

,

S(e(t-to)Ccx,t))

.

( 1 . 3 8 )

Пусть

алз)

..произвольный

вектор.

Обозначим

iS^ а(з)

через

уйч'^> . Тогда

при

t~ta

решение

задачи

рассеяния

с

полным

потенциалом і! падающей

ночной

&

совпадет с

решением з а д а ­

чи рассеяния

при потенциале

9(l-ta)L

(х,

і)

и падающей

волной

и

. По тогда решения обеих задач

совпадут при i^-t0

,так

как

при этом

совпадают

потенциалы. Это приводит к

равенству

$а-

— >5£р

. По

R = &fa

, а

поэтому

i?=,s!

. Мы при­

шли к следующему-условию

причинности

.*tfWj> = £(в(і-Єв)

Cixj))

• S№t0-t)Cix,t>).

(і.зо)

Займемся теперь более детальным рассмотрением условий причинности, связанных с конечной скоростью распространения . ноли.

Пусть	CL — PJ^CL — 8(S3-J-)CL(S)							. Это прігводит к тому,
что свободный		член	в	интегральных			уравнениях ( 1 . 3 4 )			равен
ну.'ао V- области		\x\s-Z-t				. Учитывая,			что систему	( 1 . 3 4 )
можчо рассматривать				в	области \х\£Л-£				, тогда	из е е
яольтерровости		по	t		следует u(xtt)—			О	при \x\iJ.-t	,т . е
••наченпе потенциала				C(x,t)		несущественно			в области	\x\iX-t
№1^))Рл=4([*-8а-&-\х\)](?(сс,ЦРл									.	( 1 . 4 0 )
Г'орвршеино	аналогично				из системы		( 3 . 3 5 )		получяем
$''(Ґис,ї»ал		~£''([і-8а-Л-\х-\)]С(я,і))дл							.	( 1 . 4 1 )

Если а~ (Рга.,,0)			, то свободный		член в системе (	1 . 3 4 )
равен	нулю в области		x+t^-Z	.	Поэтому решение		a(x,t)
в этой	области	равно	нулю, а значение потенииала при				х'Ь^Л-
несушественно.		Таким	образом,

								<РХ	О
6(C(x,i))\		~		\=й(в(х+*-Л)С<х,Щ				"	) .	( 1 . 4 2 )
		0		0)				[О	О
Кроме	этого,		из	условия		u(x,t)=	О	при з ? * ! ? 6 - 2		\\ асимп ­
тотики	( 1 . 4 )		решения		получаем		Q^fi^	О	, т . е .
										( 1 . 4 3 )
Совершенно		аналогично			nojr/чаем
	'О		0	\				10	0
										( 1 . 4 4 )
		о	Л					0	рл,
				QЛ &It Рл		=0.				( 1 . 4 5 )

Повторяя эти же рассуждения для системы ( 1 . 3 5 ) , получим

О

,Ґ(С(хШ

.0 о

( 1 . 4 6 )

'О 0\

6'1(С(яЛ))\ =4~'(ва-{+х)?(х,+))

оQx

Объединяя ( 1 . 4 3 ) , ( 1 . 4 5 ) , ( 1 . 4 7 ) , и м е е м

где
diag		£> =	diag
						6.it)
	Пусть потенциал			С'(x,t)~О		при t-J-%\x\
Тогда	в	этой области		решение имеет вид ut = Sf(x			*	t)
и£=	6t(t-x)		. Если		JVL>J. , то величина			=
-txQju.fi		=,€(Л	/и.)(3}^		-характеристическая			функ­
ция интервала			Х%,/і))	будет однозначно определена,				если	и з ­
вестно решение			u(jc,t)	в	пересечении	о б л а с т е й ^ x , t ) : f-d			»
Z\x\^n^(x,i):ju.-t					. С другой	стороны, решение в о б ­
ласти	^(x,i):ju-t»\jc^				зависит от потенииала		в	этой	о б ­
ласти	и значения			а	. Таким образом,

											: i . 4 d )
3 .	Принцип			причинности и факторизация						оператора
	рассеяния
Если		потенциал				С(х,		t)=-0	, то рассеяния		нет, и опе ­
ратор	рассеяния			_ " = _ "				. При "малых* C(xtt)			е с т е с т в е н ­
но ожидать, что и оператор рассеяния мало										отличается от Ї .
Если рассмотреть					интегральные				уравнения	( 1 . 3 4 ) задачи н е ­
стационарного			рассеяния				в	пространстве векторных ^функций . з а ­
висящих от х				и	t	,	с	нормой \\a(x,t)\\s = sup V			{\a1ix,b)\t+
+ \ue(x,t)\i)dx				,	то	при условий				*
		+ 0 °	г	t°°
max		dt									( 1 . Э 0 )

легко доказать, что для этих уравнений сходится метод по ­ следовательных приближений, что позволяет получить следую­ щую оценку

\\3(C(X,t))-I\\±bp.

( 1 . 5 1 )

Используя этот факт, докажем следующий принцип причинно­

сти

для оператора рассеяния

6

Л е м м а

1 . 1 . Если

Рл^Рла.-0

,

то

Рха

=

0

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Пусть Р^а^

О

ш

Тогда

найдется

такое Л0>, 2

.

, что П(д

2 ) а

~ ^2

-2 а

~ ^

' а п^>к

любом

&>Q

П(1 х * д ^ а ^ °

'

И з

Р а

в е

н с т

в а

Рл^Рлаг0

потучаем

6Рха

= Qх&

, где

•

. Учитывая,

что

П - .

(t— О

, имеем

ЗРла=0л6.

( 1 . 5 2 )

В

равенстве

( 1 . 5 2 ) согласно

( 1 . 4 0 )

и

( І . 4 І )

можно

считать

оператор рассеяния зависящим лишь от потенциала,

определен­

ного

вне двух

конусов: Л, = {(.x,t):

t-£>A£\\

и

A " 2

= {(x,t)

: J.„-tї\х.\}

,

т . е . считать

& = 6§[-Ва-МлП-в(А-І-\ЩС(Х,Ь).

( 1 . 5 3 )

Таким

образом,

Рх6(У}-ва-1-1±1)-ва0-£-Ш)]^(х,Ща

=

0.{±34:)

Применяя

к

равенству ( 1 . 5 4 )

оператор

її

f

*

„ . и

учиты­

в а в . .

C L 4 9 ) ,

получаем

<л-,л,*т

п

gmia+8--t-\*\)\i-e(t-i-]x\)-eae-t-\x.\^

*

* * * M n (

^ t f * 0 .

( 1 . 5 5 )

Используя непрерывность ( 1 . 5 1 ) » , делаем вывод, что при до—

статочно малых

дг

в равенстве

( 1 . 5 5 ) оператор >3>

отли­

чается

от

/

на

оператор

по

норме,

строго

меньшей

1

. Но

тогда из

( 1 . 5 5 )

следует

П(J

х

+

ffi-)a~°

•

^'го

П Р ° -

тиворечит

выбору

J-o

. Т е м самым лемма

доказана.

Н&рпду со

свойством

оператора

рассеяния,

данного

в л е м ­

ме 1 . 1

.очень

важными являются

свойства

( 1 . 4 8 ) .

В

совокуп­

ности они определяют принцип причинности оператора рассеяния .

Принцип	причинности: Вели	ib -оператор рассеяния	н е ­
стационарной	задачи рассеяния для	системы ( 1 . 1 ) , то для	л ю ­
бого -I

1)Qxdiag6P^0,

2 )	Pxdiag	$~'Qx-0	,			( 1 . 5 6 )
•3) Из fz3Pza=0				следует Рг	а	= О
Сформулированный			принцип	причинности	приводит к очень		в а ж ­
ному	свойству факторизуемости оператора					рассеяния, если	и з ­

вестна общая структура оператора рассеяния, а именно, если

известно,		что оператор			ї>	отличается	от Z. на оператор Гиль­
берта-Шмидта .
	Т е о р е м а		1 У . 1 .			Оператор рассеяния		iS*	допускает
следующую		факторизацию
1)	diay£=I+W+			,						( 1 . 5 7 )
2 )	diag	£+W_		,						( 1 . 5 8 )
3 )	=	Bj-'d+bJ,								( 1 . 5 9 )
з')	d=a+A+r'<i+Aj.									(і.бо)
	Д о к а з а т е л ь с т в о .					Равенства	( 1 . 5 7 ) - (		1 . 5 8 ) - ( 1 . 5 9 )
эквивалентны принципу					причинности на основании				результатов
г л . 1	(см.формулы		1 . 1 3 ,			теорему 1 . 1 ) .
	Покажем, что		если		выполняются условия			( 1 . 5 7 )		и ( 1 . 5 8 ) ,
то_ (1 .. 59 )		эквивалентно				( 1 . 6 0 ) .
	Действительно,			из	( 1 . 5 7 ) и ( 1 . 5 8 ) получаем					существо—
ванне (dt'ag .57"			и		(diag			. Если		А - п р о и з -

вольный	матричный оператор •' A = [			)	, суще -
		\ аг1	a s e	J
ствует	А'	и существуют (diag А)~*	и	(diag	A"1) f

то легко получить следующее замечательное тождество :

A^(d;agA)6A-'ff(dmgA4y',

( 1 . 6 1 )

Пусть

имеет место

представление

( 1 . 5 9 ) .

Положим

1

+ А+=б(1+

е>+)в(diag

( 1 . 6 2 )

f+A_=G(I+

BJG(diagd-frf.

Тогда

(1+ A+

y'(l+Aj=(diaf

6)Є(І+

3+)~f(I+

B_)6(dicLg

й'ОІ

1 . 6 3 )

По из

( 1 . 5 9 )

получаем (І+В+У*

(І+а_у

= 6"'

. Под­

ставляя

это значение

в

( 1 . 6 3 )

и учитывая

( 1 . 6 1 ) ,

имеем

( 1 . 6 0 ) .

Совершенно

аналогично

из ( 1 . 6 0 )

получаем

( 1 . 5 9 ) .

Следует отметить, что результаты теоремы 1У . 1 были

сформулированы и доказаны в главе И ( см . теорему

П . 2 ) с

использованием

операторов

преобразования.

Вышеприведенное

доказательство проясняет физический смысл факторизуемости оператора рассеяния; факторизуемость оператора рассеяния выражает физическую причинность.

§ 2 . Описание операторов рассеяния нестационарной' задачи рассеяния для гиперболической системы на всей оси-

Рассмотрим

нестационарные задачи

рассеяния

для

с и с т е ­

мы

ди(х,&)

du(x,t)

,

( 2 . 1 )

dt

-

6 —

+ L(x,t)u(X,t)

-<х><х<

+ °°,

дх

'/

О

( 2 . 2 )

6={

j

-I

при

различных потенциалах

/

0

C,(X,t)\

?(x,t)^\

I

,

( 2 . 3 )

\Cg(x,t)

0

j

удовлетворяющих

условию,

что

C£^&,t)

(к-1,2)

комплексно-

значные

измеримые по х

и t

функции,

удовлетворяющие

оценкам

С

— г

;

( 2 . 4 )

\CA(*,t)\i

ТГ>

к=/,2;

где

£><7

фиксированно,

а постоянная

С

может

з а в и с е т ь от

C(x,t)

. Совокупность

операторов

рассеяния

таких

задач обо ­

значим

через

Ближайшая основная задача - дать описание класса ойера-

торов ^ 5 J - £

, т . е . дать

Необходимые

И достаточные

условия

того, что заданный оператор Т

является

оператором рассеяния,

или

более

точно,

что

/ ^ { ^ / ^

Отметим наиболее

важные

свойства

операторов

рассеяния

из класса

{ ^ } ^

'•

1 .

О ц е н к и .

Оператор рассеяния

J

имеет обратный

і?

,

при этом

F-S-1

и

f/=S~f-r

являются

матрич-

ными интегральными операторами Гильберта-Шмидта, ядра к о ­ торых удовлетворяют оценкам

\Flt,s)

| &

№

- ф

( 2 . 5 )

(эти опенки

установлены

в гл.П с м . ( 2 . 9 2 ) ) .

П. К о в а р и а н т н о с т ь .

Если

6>

оператор

рассеяния

из класса •[_?}•_

, то при любом

х

оператор

J~ Sff",

так—

же является

оператором

рассеяния

из класса

\o)t

(Этот

факт

установлен в

§ 1

настоящей

г л а в ы ) .

III. П р и ч и н н о с т ь .

Всякий

оператор

рассеяния

из

к л а с ­

са

допускает факторизацию

diag

S=.[+W+,

diag

&"1 -

1+

W_

( 2 . 6 )

6=

(І+А + ГГ(І

+ A_) ,

где A+ , W +

и

A.,

W _

- матричные интегральные вольтерров-

ские операторы с переменным верхним и соответственно

ниж­

ним пределами.

(Условие Причинности подробно обсуждалось

в

§

І

настоящей

г л а в ы ) .

Основной

результат,,

который

будет

доказан

,

заключается

в том, что свойства 1 , I I , 111 являются

определяющими

для о п е ­

раторов рассеяния

из класса { > ! > } с

• А именно,

справедлива

следующая

основная

^ Т е о р е м а

1 У . 2 .

Пусть оператор

/*"

имеет

обратный

_г~

. При этом F-g*-I

и if=f~'-I

интегральные

опера ­

торы, ядра которых удовлетворяют оценкам ( 2 . 5 ) .

Если при

любом

гх

оператор ^ р _Г

удовлетворяет

условию

при­

чинности ( 2 . 6 ) ,

т . е . существуют интегральные

вольтерровские

операторы Гйльберта-Шмйдта

А+(Я)

, Vt^fceJ

и

AjX)

,W„rx),

такие,

что

diag fffA=

Г+ W+(±),

ГK = I+ w-<*)>