книги из ГПНТБ / Нижник Л.П. Обратная нестационарная задача рассеяния

R J t ^ T (7i,s)dq , si и л .

( 3 . 3 1 )

Устремляя

J

к

^

в

( 3 . 3 1 )

її і

к 5

в

( 3 . 3 2 ) f получаем

равенства

( 3 . 2 2 ) .

Совершенно

аналогично

доказывается

Т е о р е м а

1J3'.

Пусть

оператор

А = 1+3

допускает

левую факторизацию

А = C J - / < _ ) " ' ( f - К

.Тогда

для

любого

существует

интегральный

оператор

Гг=С1 + 5РгГ'в=

в(І + Р^Є)-',

( 3 . 3 3 )

Операторы

/ft

и

К _

однозначно

восстанавливаются по

формулам

к , (

М

) =

/ ; ^ . s >

,

t>,s

•

(3.3-4)

где

(І,J)

•—

ядро

оператора

§ 4 . Двусторонняя факторизация

О п р е д е л е н и е

1 . 2 .

Если

оператор А

допускает

правую

А = (1+

З+ХГ

+ В_)

и левую А = (І + С.Ц1+

Сф)

факторизацию, то будем говорить, что А

допускает

д в у с т о ­

роннюю

факторизацию.

Простым примером оператора, допускающего двусторон­

нюю

фокторизацню, является

оператор вида

A — I+R

,

гд е

R -

оператор

Г.—Ш. и

'

.

Действительно,

т о г ­

да

(I + R РЛ)~*

и

( Г + RQj^)'f

существуют, и

согласно

теореме 1 . 1 оператор А ' допускает как правую, так и левую

факторизацию.

Так же, как и для матриц, из правой факторизации фредгольмовских операторов еще не следует их левая фак­ торизация. Примером оператора, допускаюппим лишь правую факторизацию, может служить оператор

А =

it+

K4)'f

(I

+ KJ-Z

+ & ,

где

К^(ос,з)

=

/7

если

0<t<2,

-?.*-s<mLn(-1,t)

,

K_(a:Ts)=-f,

если

-2<t<0,

max(t,0<st

2

,

K _ ( J C О ,

К+(.х,з)—0

в остальных

случаях.

В этом случае уравнение

(Г+ВРа)а

=0

допусказт

нетривиальное

решение

1,

при - 2 < ас < + 2

О,

при

2

,

и, таким образом, на основании теоремы

1 , 1

оператор Л

левой факторизации не допускает.

Т е о р е м а

1 . 4 .

Пусть

оператор A—I+F

имееі

обратный

К*— I'+ &

,

г д е

F

и

ff —интегральные

о п е ­

раторы Гильберта-Шмидта. Оператор

А

допускает

д в у с т о ­

роннюю факторизацию тогда и только

тогда, когда

для л ю ­

бого Л.

система интегральных

уравнений

Л

J

( 4 . 1 )

-оо 3

=

f,(x)

однозначно разрешима при любой правой части -f^ f

Д о к а з а т е л ь с т в о . Рассмотрим однородную систему

— СТО

( 4 . 2 )

f* С О

В операторном виде систему ( 4 . 2 ) можно записать

				( 4 . 3 )
Если	из	второго	уравнения	( 4 , 3 ) Z g подставить в пер­
вое, а из	первого Ъ1		во второе,	получим
				( 4 . 4 )
Учитывая,		что		легко получить
равенства

F*f=*fF^-F~y. ( 4 . 5 )

Используем ( 4 . 5 ) для преобразования операторов, стоящих

в( 4 . 4 ) ,

Fq2V=F(I-Pd)*r	=	F*r-FPjLfr=-F-*f-FPtZy,		( 4 . 6 )
				( 4 . 7 )
Учитывая ( 4 . 6 )	и ( 4 . 7 ) ,	получаем
i-Fq^p^i+CF+y-h		FPJV)P2	=

tl+FP-Xl+trp,)	( 4 . 8 )

и аналогично

I-yPjfQ^a+VQja+FQj. ( 4 . 9 )

Уравнения ( 4 . 4 ) принимают вид

( 4 . 1 0 )

Предположим, что оператор A—Z^F

допускает

правую

и левую факторизацию, тогда и /К^І+і/

допускает

пра-

вую

и левую

факторизацию,

и согласно теореме

1.1

(1

+ FP^) !

существуют.

По тогда

уравнения

( 4 . 1 0 )

имеют

лишь

тривиальные

реше ­

ния

=

ї;,

=

О

.

Следовательно,

в силу

фредгольмово-

сти система. ( 4 . 1 )

однозначно разрешима

при

любой

правой

части

ff,

fz

Є

Ь£

Наоборот, пусть система ( 4 . 1 )

разрешима

при

любой пра­

вой части. Тогда однородная

система

( 4 . 2 )

имеет лишь

триви­

альное

решение

ij^Zg^O

. Н о

тогда

и

система

( 4 . 4 ) ,

а, следовательно, и

( 4 . 1 0 )

имеет

лишь

трігоиальньїе

решения.

Но тогда

уравнения

(1

+ УРЛ)

2

= О ,

(I

+ FP^Z

= О ,

(I+FQj^)Z

=

0

И

— О

имеют

лишь

триви­

альные решения Ї = О

, Согласно

теореме

1 . 1

в

этом

с л у ­

чае

оператор

I+F—A

и

I+%f—fl\~*

допускает

как

пра­

вую, так и левую факторизацию.

Теорема доказана.

Разрешимость

системы

( 4 . 1 )

эквивалентна

с у щ е с т в о в а ­

нию

матричного

оператора

(

1

'

\

,

- і

Таким образом,

существование

этого

оператора согласно т е о ­

реме

1 . 4

эквивалентно двусторонней

факторизуемости

опера­

тора

A=I+F , K1-I+*f

.

Дадим еще

три

аналогичных

критерия.

Т е о р е м а

1 . 5 .

Пусть

А = Г + F

, К1

- I

+ У

, где

F

н

if-операторы

Г.-Ш.

Следующие

условия

эквивалентны:.

1) оператор

А

допускает

двустороннюю

факториаацию-

2 )

существуют

для

любого

Л

операторы

a-PSQjVPj)-1,

U-QlVP^FQ^',

( 4 . 1 1 )

3 )

существует

для

любого

Л

оператор

( 4 , 1 2 )

4 )

существует

для

любого

оператор

I

Д о к а з а т е л ь с т в о . Пусть А

допускает

двусторон­

нюю

факторизацию. Тогда

A = I+F = (I+ W_)(I +

) = (1+ R +

+ R-)

( 4 . 1 4 )

Из

равенства

A A

^ — A

= I

получаем

FV= #F = -F-*r.

( 4 J 5 )

Преобразуем с

учетом ( 4 . 1 5 ^

и

( 1 . 9 )

оператооы

из

условия

2)

= (1+Р^РРл)С1+РАУРЛ)								( 4 . 1 6 )
Аналогично	получаем
l-QxyP-LFQ^ir+Q^Q^il+Q^FQ^							.	( 4 . 1 7 )
Учитывая ( 4 . 1 4 ) , а также				( 1 . 1 0 ) , имеем
Г + Р Л Р Р л = 1		+ РХ ( W+ + W - + W~ W + ) P J . =
- i + P ^ + P X		+ PX w_ рл + Рл w_ px w+ pd =
. (I* РГ Ъ'_РЛ)(1+			РЛ	W,PX).			{	4	Л 8 )
Совершенно	аналогично		получаем
1+РЛ V P J . - ^ I + PJi *			-	W	PJL К + ? ї ) ,
							( 4 . 1 9 )
2> QXFQX	= (1+ QXRFQX)(I+				QJLR-QZ) .
Учитывая ( 4 . 1 6 ) - ( 4 . 1 7 ) - ( 4 . 1 8 ) - ( 4 . 1 9 )						делаем	вывод,		что
существуют	операторы
<I+PXK*PJ1tt+PlK-PJ1('I*Px					^ Г ^	Р ^ Л	) ^ .	2	0 )

3 5

= (H-QxR_QxQxR+				Qj f(It$2V		Qj'tt*QXV+			QjL)\4.21)
Таким образом, из 1) следует 2 ) .
Рассмотрим			матричный оператор				из условия		3 )
		/	Г ,	-P.FQ					( 4 . 2 2 )
Учитывая,		что
							О
	1 ~								( 4 . 2 3 )
М
Легко	заключаем,		что условия		2 )	и 3 )	эквивалентны, и
									( 4 . 2 4 )
	V
Докажем теперь эквивалентность						условий 3 )		и 4 ) .	Существо ­
вание оператора из условия 4 )					эквивалентно			однозначной		р а з ­
решимости		при любом		he bр		уравнения
Обозначим		у , = ^	у ,	1/г=		, ^і = РЛ^		* b^-Q^h.		.
Тогда	( 4 . 2 5 ) можно			записать	в	виде	системы

( 4 . 2 6 )

Или

М	( 4 , 2 7 )

2.1\

Если

существует

•т о > следовательно, система

( 4 . 2 6 )

однозначно

разрешима,

а, следовательно,

разрешимо и

у р а в ­

нение

( 4 . 2 5 ) ,

т . е . из

3 ) следует 4 ) .

Наоборот,

если

у р а в ­

нение

( 4 . 2 5 ) однозначно разрешимо,

то система

( 4 . 2 3 )

о д ­

нозначно разрешима для любых

h1

и

hg

таких, что

hf-Ij

h^= Qx^-f

" °

т о г Д а -

система

( 4 . 2 6 )

разрешима

и при л ю ­

бых

Д, и

/z2 .

Действительно,

полагая

yf

= ї1 + Qj^ hf

и

уг

=

+ Pj_ hi

. систему

( 4 . 2 6 )

с

произвольными

h1

и

fig

сводим

к системе

у которой правые части удовлетворяют требованиям

						( 4 . 2 9 )
Таким образом, из условия 4 )				следует 3 ) . Мы	доказали,
что условия	2 ) — 3 ) - 4 )		эквивалентны, и в с е они следуют из
1 ) . На основании теоремы 1 . 4 делаем вывод, что из 3 )
следует 1 ) .				j
Действительно,		пусть Мj		— существует .	Докажем,
что система	уравнений		( 4 . 1 )	разрешима при любой		правой
части f1 , Л> 6 L g		.	Рассмотрим решение їі		, 12	в с п о ­
могательной	системы
	lrPlFQxlt		=PJLfi,			( 4 . 3 0 )

* Г	•
Это решение существует	и

Положим

(4 . 31 . )

Тогца

,

у 2

удовлетворяют

системе

( 4 . 1 ) .

Таким

образом,

из

существования

следует

разре ­

шимость системы ( 4 . 1 ) , т . е . из

3 )

следует

1 ) .

Т е м

самым

доказательство

теоремы

заканчивается.

Замечание к теорем^ 1 . 5 .

В

условиях

2 ) - 3 ) - 4 )

фигу­

рируют

лишь выражения

P^FQ^

и

Q^ifPj

.

Из

свойств

( 1 . 1 3 )

делаем

вывод,

что

Р^FQ-^

— Р-^F+

Qj^

и Ях^^

~Qx^-Pl'

Таким

образом,

условия

2 ) , - 3 ) ,

4)

содержат

лишь F+

и

іґ_

Учитьтая

симметрию

условий

в

теореме,

можно

в

2 ) ,

3 ) , 4 ) поменять местами

F

и if

. Тогда

эти

условия

бу ­

дут

содержать

лишь

F_

и

& +

. Таким

образом,

теорема

дает условия двусторонней факторизации 'оператороз в

терми ­

нах

вольтерровских

срезок

F+

,

ff_

или

F_

,

А~/=1+У,

Пусть оператор A-I+F

имеет

обратный

где

F

и

ff

— операторы

Г.-Ш.

Рассмотрим

разложение

операторов

F

и У

на

сумму

вольтерровских

операторов

соответственно с переменными верхними и нижними предела­

ми: F' — Ff	+ Е ,	У =	У+ + У-	. Поставим		следующую		з а д а ­
чу: будет	ли пара	операторов F+		и {/_	-	или р_	и	if^
однозначно	определять		исходный	оператор	А , и как		его

восстановить? Ответ на этот вопрос, аналогичный матрично­

му случаю, дает			следующая
Т е о р е м а			1 . 6 . Пусть		оператор А-1+	F	допускает
двустороннюю		фактрризацгао. Тогда существует					А~'= 1+ і/	,и
оператор	А	однозначноопределяется по двум					вольтерров—
ским операторам			F+	и У_ .	При этом, для	любого <2.		суще ­
ствуют	операторы			Г.—Ш.

Учитывая ( 1 . 1 3 ) , получаем

CF-Pj_FQx

4 . 3 2 )

Г,л-(1+«Ш-Р2Г+УХЬ>_РЛГ<-Г.

Оператор А представим в виде

( 4 , 3 3 )

где

к

( 4 . 3 4 )

а Г\ ^(.t,s)

— ядра операторов

(£-/,2,3,4)

Д о к а з а т е л ь с т в о .	Пусть	оператор
двустороннюю факторизацию. Тогда		согласно
существуют при любом Л операторы
и (I ~ QJI yPji F Qji)~f	.

i-P^Q&PjL-i'PxrQjfPi, I-Q1V_PJLF+Q^I-Q1^P1FQ1

/А допускает

теореме 1.5

^Pj)1

( 4 - 3 5 )

.

Поэтому существуют операторы Г- ^	(і-	/,2,3,4) , у к а з а н ­
ные в теореме. Рассмотрим оператор		^	. Легко убе -
диться в справедливости следующей	цепочки		равенств

3 9