книги из ГПНТБ / Дертингер Г. Молекулярная радиобиология. Действие ионизирующих излучений на элементарные биологические объекты

СТОХАСТИЧНОСТЬ

А3 ДЕЙСТВИЯ ИЗЛУЧЕНИЙ

Вэтой главе предпринята попытка описать действие излуче­ ния как стохастический процесс, т. е. как следствие цепи случай­ ных событий. Уточнение теории попадания само по себе при­ водит к признанию того, что на индукцию ответной реакции влияет не только число попаданий, но и целый ряд случайных событий, связанных с биологическим уровнем.

Вопрос о том, действительно ли эти процессы, вызываемые биологической вариабельностью, стохастичны по своей природе, безусловно требует внимательного изучения. Во всяком случае стохастичность жизненных процессов приводит к так называе­ мой динамической нестабильности биологической системы, кото­ рую можно наблюдать в эксперименте. Хорошим примером служит синхронизация клеточных культур, которую обычно удается поддерживать не дольше, чем на протяжении несколь­ ких клеточных циклов. Это связано с первоначально несущест­ венными изменениями биологических параметров, которые за­ тем усиливаются случайными изменениями физиологических процессов и в конце концов приводят к полной утрате синхро­ низации. Динамическая нестабильность биологической системы усиливается действием радиации, и поэтому всесторонний ана­ лиз этого действия должен включать множественную стохасти­ ческую модель. Несмотря на то, что раздельное изложение био­ логической вариабельности и действия излучения ограничивает строгое стохастическое рассмотрение, это упрощение необходи­ мо, так как иначе математическая формализация была бы слиш­ ком сложной для восприятия. Изложение материала в. этой главе во многом следует изложению проблемы в книге [2].

Для стохастических рассуждений можно использовать раз­ личные математические формулировки. Поэтому отдельные раз­ делы этой главы могут показаться не связанными между со­ бой. В действительности здесь сделана попытка, выражаясь языком теории попадания, осуществить переход от мпогоударных к одноударным процессам. В ходе такого изложения стоха­ стическая идея будет оформлена в виде различных математиче­ ских формулировок. Вопросы размерности на данном этапе не будут приняты во внимание.

30

3.1. Кинетическая интерпретация кривых доза — эффект

Кинетические формулировки особенно пригодны для описа­ ния биологической стохастичности многоударных процессов. В противоположность теории попадания, которая чисто статична по своей природе, кинетическая теория дает информацию о ско­ ростях изменений в облученной системе. Эти изменения проис­ ходят в виде дискретных этапов, и биологическую стохастичность следует принять в расчет из-за различной вероятности

•я
п-1	*„-1
			Рис. 10. Развитие радиационного по­
	I	'	вреждения		от	нулевого	состояния
			(начало облучения) до состояния п
г			(тест-эффект)			с частотными		числами
			. v ' o , х п и		вероятностями		перехода
			а 0	а „ _ 1	[2].
1	I '	-
	Г ' -
0	•*о
перехода от одного			уровня	повреждения к			следующему. Это,
очевидно, логический			способ выразить тот факт					(неудовлетвори­

тельно отраженный теорией попадания), что сублетальные собы­ тия влияют на проявление ответной реакции. Кинетическое опи­ сание кривых доза — эффект основано на следующих предполо­

жениях: рассматриваемая система, например биологическая
популяция, характеризуется	рядом	состояний		0,	1,	2, ..., п
(рис. 10), отражающих порядок усиления повреждения,						причем
тест-эффект наступает после	достижения		п. В любой		момент си­
стема характеризуется «частотными		числами» этих			состояний,
т. е. относительным числом единиц х0, х\,			..., хп	в состояниях 0,
1, ..., п. Группа частотных чисел может			быть представлена как
вектор, описывающий состояние системы:
.V = (х0 ,	А-1, . . .	, х„).				(3.1)

Степень усиления радиационного повреждения соответствует пе­ реходам между состояниями повреждения с вероятностями ао, си, ..., а„_] (см. рис. 10). Хотя ничего не было сказано о зна­ чении индивидуальных состояний, связь с теорией попадания может быть установлена путем идентификации компонентов вектора х с относительным числом объектов. Компоненты, не несущие попадания, представлены как х0, а несущие одно попа­ дание— как х\ и т. д. Изменения в системе, подвергнутой облу-

31

чению, могут быть представлены в виде следующего линейного дифференциального уравнения:

dx	-
•Ш-Ах.	(3.2)

•Эта формула подразумевает, что скорость изменения в облучен­ ной системе определяется самим вектором и рядом вероятностей перехода ао, а\, ..., a„_i, которые могут быть выражены так на­ зываемой переходной матрицей А. Строгое доказательство урав­ нения (3.2) вытекает из теории цепей Маркова [1].

Систему линейных дифференциальных уравнений	(3.2)	мож­
но интегрировать:
x=eAD70.		(3.3)
При этом экспоненциальная функция определяется	рядом	Тей-
•лора:
• " - i t f r -		< » >

Начальное значение вектора хо характеризует положение, при котором все объекты находятся в состоянии «нулевого попада­ ния», т. е. частотные числа принимаются равными единице, в то время как все другие состояния исчезают:

* 0 = ( 1 , 0

0).

(3.5)

В данном случае существует возможность формально учитывать негомогенность облученного материала, допуская при этом, что часть индивидов еще до облучения находились в состоянии по­ вышенной поврежденности. Это можно проделать простой за­ меной начального вектора (3.5) каким-то другим подходящим вектором, что нетрудно сделать, используя для этого аналого­ вую счетно-вычислительную машину.

3.2. Многоударные кривые

Каким же способом из развитой выше схемы можно полу­ чить кривые доза — эффект? Для расчета «относительного числа выживших» необходимо только суммировать все частотные чис­ ла вплоть до состояния п—1, поскольку ответная реакция имеет место при состоянии п:

N/N9 = J^xk.

(3.6)

Если теперь принять, что переход между различными состояния­ ми одинаково вероятен (ao = ai = ... = a„_i = a), то матрица А, со-

32

ответствующая многоударному процессу, благодаря пуассоновскому распределению приобретает следующий вид:

- а	О	0	. . О	О	О
а	- а	О

Оа — а

А =		(3.7)
а	- а	О
О	а	— а

Используя эту матрицу и уравнение для начального состояния (3.5), получаем вектор состояния:

	aD,	аЮ2	anDn	\	(3.8)
		2!	' nl	J

Согласно уравнению (3.6), доля выживших

	NIN0 = e - a D	2	(aP)f e	(3.9)
			fe!

li=0

Это и есть уравнение для многоударной кривой, ранее выведен­ ное из теории попадания (2.2). Единственное отличие состоит в том, что объем мишени v заменен вероятностью перехода. Од­ нако эта формальная замена пригодна лишь в данном конкрет­ ном случае. В более сложных ситуациях, рассмотренных ниже, вероятность перехода не может быть приравнена к объему ми­ шени.

Матрица (3.7) еще не включает биологическую стохастичность, которую теперь надлежит ввести. Исходя из предыдущих предположений, для этого следует только считать неравными вероятности перехода. Соответствующая матрица, согласно не вызывающему сомнения обобщению (3.7), выражается следую­ щим образом:

- а 0	О	О		О
а п	— <*! О			О
О cxj		— а 2		О
А=				(ЗЛО)
О О		О	а „ _ 3 — а я _ 2	и
О О		О	О а „ _ 2	— a „ _ i

Для некоторых кривых доза — эффект, построенных на осно­ вании матрицы (3.10) в полулогарифмическом масштабе, харак­ терно определенное экстраполяционное число, т. е. кривые асим­

птотически	приближаются		к экспоненциальной зависимости
даже в том	случае, если		только одна вероятность перехода
отличается	от	остальных	[2]. Это убедительно показано на
рис. 11, где	пять	«четырехударных» кривых, полученных с по-

2

Г. Дертингер, X. Юнг

33

мощью аналоговой счетно-вычислительной машины, даны сов­ местно с соответствующими экстраполяционными числами е. Наклон кривых уменьшается по мере того, как увеличивается разность между одной вероятностью перехода и тремя другими, т. е. экстраполяционное число уменьшается. Однако экстраполяционное число ни п коем случае не должно рассматриваться

N/N0

0,5

0,2

0,1

0,05

Доза

Рис. 11. Кривые доза — эффект в кинетической модели для п=4.

При разных вероятностях перехода а самая крутая

из полученных кривых имеет бесконечное экстрапо­
ляционное число е.		Кривые с		е=27:	8:	3.4 и	2,4	рас­
считаны на основе предположения о						том,	что	из
вероятностей а	меньше		трех	остальных		соответствен­
но на факторы	0,66;	0,5;	0,33	и 0,25	[2].

как число мишеней. Это не очень существенно с практической точки зрения, так как в большинстве случаев при расчетах не получают значений целых чисел. Безусловно, неправильно кине­ тические кривые называть кривыми попадания, так как термин «попадание» неприменим к кинетическому описанию. Лучше всего обозначать их термином «многоступенчатые кривые», глав­ ным образом потому, что это название подчеркивает основное отличие кинетической кривой от кривой попадания.

3.3. Обратные процессы

Биологические системы часто обладают способностью элими­ нировать радиационные повреждения. Этот процесс описывается кинетической моделью, учитывающей обратные переходы между различными состояниями повреждения. Схематически реакция представлена на рис. 12, где предполагается, что вероятность X обратного процесса одинакова для всех состояний. Разделив пе­ реходную матрицу А на две части и включив их в уравнение (3.3), получают соответствующую кривую доза — эффект:

А = А(щ)+А{Ц,

(3.11)

34

где A(a,i) описывается	уравнением	(3.10). Матрица		А(Х)	содер­
жит постоянный вероятностный фактор			X для обратных		перехо­
дов, тенденция возврата к предыдущему			состоянию	выражается
с помощью матрицы	'
	к о .	. 0 0	0
	X X	о	о
	0—Х	о	о		(3.12)

оо — X я о

оо

о о

о О —X

Рис. 12. Кинетика действия из­ лучения, учитывающая обрат­ ные процессы [2].

Влияние обратного процесса на трехударную кривую пока­ зано на рис.. 13. Наклон кривой уменьшается с увеличением от­ носительной роли обратных процессов, и кривая постепенно при­ обретает экспоненциальную форму. Обратный процесс часто зависит от интенсивности излучения (или мощности дозы). Если предположить, например, что параметр X обратно пропорциона­ лен интенсивности излучения, то в семействе кривых, пред­ ставленных на рис. 13, увеличению интенсивности будет соот­ ветствовать перемещение кривых сверху вниз. Эту зависимость от интенсивности иногда называют «фактором времени», кото­ рый показывает, что кратковременное облучение с высокой интенсивностью часто более эффективно, чем длительное воздей­ ствие с низкой интенсивностью.

Кинетическую модель в принципе также можно изменить так, что она будет отражать влияние качества излучения на форму кривых доза — эффект. Влияние высокой плотности ионизации, как следует из схемы на рис. 10, возможно благодаря тому, что допускаются переходы в обход близлежащих стадий. В резуль­ тате меньшее число элементов переходной матрицы А равно

2* 35-

нулю н кривые доза — эффект приобретают форму, соответст­ вующую кинетике более низкого порядка, т. е. они стремятся к. чистой экспоненте. Более подробное обсуждение этого вопроса можно найти у Хуга и Келлерера [2].

Кинетическая	модель, подобно теории попадания, неудобна
в том отношении,	что основным предположениям присущи раз-

Рис. 13. Влияние обратных процессов на «трехударные» кривые [2].

личные постулаты о природе механизма радиационного воздей­ ствия. Вопрос о том, действительно ли форма кривых доза — эф­ фект отражает многоударный процесс или ее следует отнести за счет кинетики реакции высокого порядка, все еще остается без ответа. Эти сомнения тем более оправданы, если речь идет о мо­ лекулярной радиобиологии. В этой связи необходимо исследо­ вать вопрос о том, как получить S-образные кривые доза — эф­ фект без допущения многоударного процесса.

3.4. Формальное описание кривых доза — эффект

Формальное математическое описание S-образных кривых доза — эффект исходит из того, что большинство эксперимен­ тальных кривых в области высоких доз приближается к экспо­ ненте. Как было показано в предыдущем разделе, это может быть обусловлено только лишь биологической стохастичностыо, в связи с чем для начала примем уравнение

JL{N/NO)	= _ R { D ) . N / M O .	(3.13)
аи

Величина R(D), отражающая влияние биологической стохастичности, Хугом и Келлерером [2] названа реактивностью. Как сле­ дует из уравнения (3.13), при дозе D она равна наклону кривой доза — эффект, изображенной в полулогарифмическом масшта-

36

бе, и, таким образом, представляет собой	«дифференциальную
радиочувствительность»:
Я ф ) = - - £ - 1 п ( В Д ) .	(3.14)
аи

Если R постоянная'величина, имеем экспоненциальную кривую:

N/N0

В противоположность это­ му в случае кривых высоко­

го	порядка	необходимо
предположить, что			реактив­
ность	возрастает		с	дозой.
Истинную		функциональ­
ную	зависимость		следует
определять		отдельно		для
каждого конкретного				слу­

чая. В принципе таким спо­ собом можно описать много­ ударный процесс, выбрав

подходящую	функцию
R{D). Однако это даст нам
сложное	математическое
выражение,	показывающее,
насколько	искусственно

было допущение многоудар­ ного процесса в данной мо­ дели. Имеет больше смысла описывать S-образные кри­ вые с помощью функции R{D), которая увеличи­ вается экспоненциально от низкого к высокому уровню с увеличением дозы:

= e~RD

(3.15)

30	60	90	120
Время	УФ-облучения,		сек

Рис. 14. УФ-инактивация фага Т7. До­ бавление кофеина препятствует восста­ новлению клеткой хозяина [3]:

I — б е з кофеина; 2 — с кофеином .

	R(D)	-yD	(3.16)
В этом случае соответствующие кривые доза			эффект примут
вид
In	(N/N0)=-R0D-	Ri (1 — е - т ° ) .	(3.17)

Однако вполне возможны ситуации, при которых реактивность уменьшается экспоненциально с дозой, что можно учесть при обращении знака величины в уравнениях (3.16) и (3.17). В ре­ зультате получаются кривые с меньшим асимптотическим накло­ ном. Экспериментальный пример такого случая приводится на рис. 14. Авторы работы [3] снижение чувствительности объяс­ няют процессом ультрафиолетовой реактивации, т. е. поглоще-

37

нием второго кванта ультрафиолета, ведущим к частичной эли­ минации радиационных повреждений. Применив теорию вероят­

ности, ^они вывели формулу,	сходную с уравнением (3.17), в
которой Ro = 0, a Ri — величина	отрицательная, и, таким обра­

зом, выразили вероятность того, что интактный фаг инактиви-

руется при поглощении фотона, а у отражает вероятность			реак­
тивации на поглощенный фотон. Кривая	с более крутым		накло­
ном, полученная в присутствии кофеина,	имеет R = 2,5-\0~\ а
Y = 2-10~5. Это означает, что в среднем	повреждение	вызывает
один из 4000 фотонов и лишь один из 50 000 фотонов		реактиви­
рует поврежденный фаг.

Здесь следует отметить, что инактивация трансформирую­ щей способности и затравочной активности Д Н К часто дает кривые доза — эффект, наклон которых уменьшается по мере увеличения инактивации. Вопрос о том, можно ли объяснить эти кривые снижением чувствительности при увеличении дозы, рас­ сматривается начиная с гл. 11.

3.5. Кривые доза — эффект при образовании колоний

Как видно из рис. 14, формальный анализ кривых доза — эф­ фект имеет по крайней мере то преимущество, что позволяет определить их параметры. Тем не менее этим анализом не все­ гда можно пользоваться для интерпретации кривых, имеющих плечо, основанной на допущении о том, что реактивность объек­ та растет с дозой, или, другими словами, уменьшается их рези­ стентность. В связи с этим последний раздел посвящен главным образом мало изученной проблеме тест-эффекта. Когда иссле­ дуется способность к колониеобразованию, особенно важно знать, каково истинное значение получаемых при этом кривых

доза — эффект.	Образование колоний	как тест-эффект не яв­
ляется прямой	мерой радиационного	повреждения и, следова­

тельно, кинетики действия излучения. Оно лишь отражает по­ следствия радиационного повреждения, т. е. неспособность клет­ ки делиться и образовывать колонии. Таким образом, соответст­ вующие кривые доза — эффект также зависят от важного фак­

тора биологического стохастизма — «ожидаемой	величины»,
определяющей успешность клеточных делений после	облучения.

При интерпретации и математическом описании кривых, от­ ражающих образование колоний, следует учитывать вероятность того, что облученная клетка должна делиться достаточно часто для образования колонии. Хуг и Келлерер [2] обсуждают вопрос о том, в какой мере кривые, отражающие образование колоний, можно описывать с помощью теории игр («разорение игрока»). При этом получаются кривые с плечом даже в том случае, ко­ гда, в соответствии с предположением, вероятность делений на клетку снижается экспоненциально при увеличении дозы. S-об- разные кривые, отражающие способность бактерий образовывать

38

колонии, можно описать с помощью других, подходящих для данного случая статистических выражений. При этом экстраполяцноиное число не обязательно, как это часто считается, долж­ но соответствовать числу мишеней в облученных бактериях, поскольку не исключено, что оно может соответствовать крити­

ческому	числу дочерних клеток, образовавшихся		до того, как
клетки из-за сублетальных повреждений		утратили способность
к делению, т. е. к образованию колоний.
Этим	мы заканчиваем обсуждение	попытки	интерпретиро­

вать кривые доза — эффект. Учитывая, что очень подробное опи­ сание этих кривых позволяет избежать ошибочных концепций и «новых открытий», мы надеемся, что рассуждения на эту тему дадут возможность сделать практические выводы о способах анализа кривых доза — эффект в отдельных конкретных слу­ чаях. Здесь же следует упомянуть, что существуют особые кри­ вые доза — эффект, описывающие некоторые биологические кри­ терии (такие, как трансформирующая способность и затравоч­

ная активность		ДНК), о которых речь	пойдет	в	следующих
главах.
Л И Т Е Р А Т У Р А
1. Feller W. An introduction to probability theory			and its	applications.		V. 1.
New	York, John Wiley & Sons, 1957.
2. Хуг О.,	Келлерер	А. Стохастическая радиобиология. Пер. с			нем. Под	ред.

В.И. Корогодина. М., Атомиздат, 1969.

3.Ronto G. е. a. Strahlentherapie, 1967, 134, 151.