- •1. Формула Тейлора 2-го порядка с остаточным членом в форме Пеано для функции нескольких переменных.
- •2. Теорема о смешанных производных.
- •7.3.1. Теорема о смешанных производных
- •3. Формула Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа для функции одной переменной.
- •4. Формула Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа для функции нескольких переменных.
- •5. Критерий выпуклости функции. Доказательство . Следствие.
- •6. Критерий выпуклости функции. Доказательство . Следствие.
- •7. Лемма о знакопостоянной функции .
- •8. Необходимое условие глобального экстремума функции.
- •8.3.2. Необходимое условие глобального экстремума
- •9. Метод Лагранжа отыскания экстремумов (доказательство теоремы).
- •10. Лемма о системе линейных уравнений. Следствие.
- •1. Лемма о многочлене Тейлора .
- •2. Формула Тейлора с остаточным членом в форме Пеано.
- •3. Вывод формулы для . Частный случай для.
- •4. Асимптоты функции.
- •5. Разложение синуса по формуле Маклорена.
- •6. Разложение косинуса по формуле Маклорена.
- •7. Условие строгой монотонности функции (1-е утверждение теоремы 8.1).Теорема
- •8. Условие нестрогой монотонности функции (2-е утверждение теоремы 8.1).
- •9. Необходимое условие экстремума функции нескольких переменных.
- •10. Достаточное условие экстремума функции нескольких переменных.
ПЕРВЫЕ ВОПРОСЫ (1 БАЛЛ)
1. Формула Тейлора 2-го порядка с остаточным членом в форме Пеано для функции нескольких переменных.
Теорема 7.3. Если функцияв окрестноститочкиимеет непрерывные частные производные до второго порядка включительно, то
справедлива формула
. (5)
где ,,.
Доказательство. Если , то формулу (1) можно записать в виде:
.
Из формулы (9) в § 7.3 следует, что
.
Докажем, что
.
Так как производные второго порядка функции непрерывны, то
, . (6)
Из условия следует, поэтому из условиявытекает. Теперь, учитывая равенство (6), имеем:
, где .
Докажем, что . Для этого достаточно для каждогопостроить окрестность, в которой справедливо неравенство(теорема 3.12). Так как, то найдется окрестность, в которой. Обозначим символом. Тогда в окрестности, учитывая условия, справедливо неравенство
. ■
Равенство (5) называется формулой Тейлора второго порядка с остаточным членом в форме Пеано.
2. Теорема о смешанных производных.
7.3.1. Теорема о смешанных производных
Лемма. Даны функция , определенная в окрестности точки
, и две функции одной переменной
, ,
где ,.Тогда справедливо равенство
.
Доказательство. Имеем следующие цепочки равенств:
, (1)
. (2)
Правые части формул (1) и (2) равны, значит, равны и левые их части, т.е.
. ■
Теорема 7.1. Функция имеет в некоторой окрестности точкисмешанные производныеи, которые в точкенепрерывны. Тогда в этой точке смешанные производные равны, т.е.
, .
Доказательство теоремы достаточно провести в случае функции двух переменных, т.е. и.
Рассмотрим две функции
, ,
где ,.
Функция имеет производную на отрезке. Тогда по формуле Лагранжа конечных приращений имеем:
(3)
Функция имеет производную на отрезке. Тогда по формуле Лагранжа конечных приращений имеем:
. (4)
Подставляя разность производных из формулы (4) в равенство (3), получим
. (5)
Совершенно аналогично получим выражение для приращения функциив точке, применяя дважды формулу Лагранжа конечных приращений:
. (6)
Из леммы следует, что левые части равенств (5) и (6) равны, значит, равны и их правые части, т.е.
. (7)
После сокращения обеих частей равенства (7) на произведение , получим равенство, в котором перейдем к пределу прии
. (8)
Так как частные производные инепрерывны в точке, то из равенства (8) вытекает требуемое равенство
.