- •1. Формула Тейлора 2-го порядка с остаточным членом в форме Пеано для функции нескольких переменных.
- •2. Теорема о смешанных производных.
- •7.3.1. Теорема о смешанных производных
- •3. Формула Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа для функции одной переменной.
- •4. Формула Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа для функции нескольких переменных.
- •5. Критерий выпуклости функции. Доказательство . Следствие.
- •6. Критерий выпуклости функции. Доказательство . Следствие.
- •7. Лемма о знакопостоянной функции .
- •8. Необходимое условие глобального экстремума функции.
- •8.3.2. Необходимое условие глобального экстремума
- •9. Метод Лагранжа отыскания экстремумов (доказательство теоремы).
- •10. Лемма о системе линейных уравнений. Следствие.
- •1. Лемма о многочлене Тейлора .
- •2. Формула Тейлора с остаточным членом в форме Пеано.
- •3. Вывод формулы для . Частный случай для.
- •4. Асимптоты функции.
- •5. Разложение синуса по формуле Маклорена.
- •6. Разложение косинуса по формуле Маклорена.
- •7. Условие строгой монотонности функции (1-е утверждение теоремы 8.1).Теорема
- •8. Условие нестрогой монотонности функции (2-е утверждение теоремы 8.1).
- •9. Необходимое условие экстремума функции нескольких переменных.
- •10. Достаточное условие экстремума функции нескольких переменных.
3. Формула Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа для функции одной переменной.
Пусть функция раз дифференцируема в точке. Многочлен
(1)
называется многочленом Тейлора порядка для функции в точке.
Лемма. Если является многочленом Тейлора для функции вточке , то справедливы следующие утверждения:
Доказательство. Найдем все производные многочлена Тейлора, который запишем в виде , где,:
………………………….
…………………………..
, .
Отсюда следует, что ■
Теорема 7.1. Пусть функция раз дифференцируема в окрестноститочки. Тогда для любогосправедлива формула
, . (2)
Доказательство. Рассмотрим функцию . Теорема будет доказана, если установить, что
, .
Так как функции ираз дифференцируемы в окрестности, то и функциятакжераз дифференцируема в этой окрестности. Из леммы следует, что
Рассмотрим функцию . Тогда
Для пары функций ивыполняются условия леммы из § 5.5. Из этой леммы следует, что
, .
Так как ,, то
,
где точка лежит между точкамии.■
Функция называетсяостаточным членом формулы Тейлора, а формула (2) называется формулой Тейлора порядка с остаточным членом в форме Лагранжа. Так как точка является внутренней точкой отрезка, то найдется такое число,, что. Теперь остаточный член в форме Лагранжа можно записать в виде
, .
4. Формула Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа для функции нескольких переменных.
Теорема 7.2. Если функцияв окрестноститочкиимеет непрерывные частные производные до-го порядка включительно, то
справедлива формула Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа
, . (1)
Доказательство. Придадим переменным такие приращения, чтобы точкапринадлежала окрестности. Рассмотрим сложную функцию от одной переменной:
. (2)
Теперь запишем формулу Маклорена для функции с остаточным членом в форме Лагранжа:
, .
Отсюда при получаем
, . (3)
Из равенства (2) и следствия из теоремы 6.5 имеем:
.
Продолжая таким образом далее, получим
, . . . , .
Так как ,, то
,
Теперь из формулы (3) следует
.
5. Критерий выпуклости функции. Доказательство . Следствие.
Теорема 8.4. Функция дифференцируема на интервале. Следующие условия равносильны.
1. Функция выпукла вверх (вниз) на интервале .
2. Производная не возрастает (не убывает) на интервале .
Доказательство
12.Возьмем на интервале произвольные точки. Проведем
касательную к графику функции в точке. Тогда из выпуклости функции вверх (вниз) следует
(2)
Теперь проведем касательную к графику функции в точке. Тогда из выпуклости функции вверх (вниз) следует
. (3)
Сложим неравенства (2) и (3), и после простых преобразований получим
.
Итак, если , то, т.е. производнаяявляется невозрастающей (неубывающей) функцией.
Следствие. Функция дважды дифференцируема на интервале. Тогда равносильны условия.
1. Функция выпукла вверх (вниз) на интервале .
2. Вторая производная неположительна (неотрицательна) на интервале .
Доказательство. Используя теорему 8.4 и второе утверждение теоремы 8.1, в котором роль функции играет производная, получим следующую цепочку равносильных утверждений:
функция выпукла вверх (вниз) на интервале
производная не возрастает (не убывает) на интервале
производная на интервале . ■