- •1. Формула Тейлора 2-го порядка с остаточным членом в форме Пеано для функции нескольких переменных.
- •2. Теорема о смешанных производных.
- •7.3.1. Теорема о смешанных производных
- •3. Формула Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа для функции одной переменной.
- •4. Формула Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа для функции нескольких переменных.
- •5. Критерий выпуклости функции. Доказательство . Следствие.
- •6. Критерий выпуклости функции. Доказательство . Следствие.
- •7. Лемма о знакопостоянной функции .
- •8. Необходимое условие глобального экстремума функции.
- •8.3.2. Необходимое условие глобального экстремума
- •9. Метод Лагранжа отыскания экстремумов (доказательство теоремы).
- •10. Лемма о системе линейных уравнений. Следствие.
- •1. Лемма о многочлене Тейлора .
- •2. Формула Тейлора с остаточным членом в форме Пеано.
- •3. Вывод формулы для . Частный случай для.
- •4. Асимптоты функции.
- •5. Разложение синуса по формуле Маклорена.
- •6. Разложение косинуса по формуле Маклорена.
- •7. Условие строгой монотонности функции (1-е утверждение теоремы 8.1).Теорема
- •8. Условие нестрогой монотонности функции (2-е утверждение теоремы 8.1).
- •9. Необходимое условие экстремума функции нескольких переменных.
- •10. Достаточное условие экстремума функции нескольких переменных.
6. Критерий выпуклости функции. Доказательство . Следствие.
Теорема 8.4. Функция дифференцируема на интервале. Следующие условия равносильны.
1. Функция выпукла вверх (вниз) на интервале .
2. Производная не возрастает (не убывает) на интервале .
Доказательство
21.Возьмем произвольную точку на интервалеи покажем, что график функции находится под (над) касательной, проведенной в точке, т.е.для любой точки. Возможны два случая: или .
Если , то, применяя теорему Лагранжа на отрезке, получим
, . (4)
Так как производная является невозрастающей (неубывающей) функцией, то изследует. Отсюда и равенства (4) имеем
.
Если же , то, применяя теорему Лагранжа на отрезке, получим
, . (5)
Так как производная является невозрастающей (неубывающей) функцией, то из неравенстваследует. Отсюда и равенства (5) имеем
. ■
Следствие. Функция дважды дифференцируема на интервале. Тогда равносильны условия.
1. Функция выпукла вверх (вниз) на интервале .
2. Вторая производная неположительна (неотрицательна) на интервале .
Доказательство. Используя теорему 8.4 и второе утверждение теоремы 8.1, в котором роль функции играет производная, получим следующую цепочку равносильных утверждений:
функция выпукла вверх (вниз) на интервале
производная не возрастает (не убывает) на интервале
производная на интервале . ■
7. Лемма о знакопостоянной функции .
Лемма 1 . Если функция является знакопостоянной и
, то найдется такое число , что знак выражения
(3)
совпадает со знаком функции , если .
Доказательство. Перепишем формулу (2) в виде
.
Так как
,
то точка при любых значениях,…,,…,, одновременно не равных нулю, принадлежит сфере.
Квадратичная функция непрерывна при любых значениях
переменных, и значит, непрерывна на сфере, которая является замкнутым и ограниченным множеством (следствие из теоремы 4.9) . Так как функция является знакоопределенной, то>0 в каждой точке сферы.
Из 2-й теоремы Вейерштрасса следует, что функция принимает свое наименьшее значениев некоторой точке сферы, которое больше нуля, т.е.. Отсюда следует, что
. (4)
Так как , то из теоремы 3.11 вытекает, что если, то найдется такое число, что неравенствобудет справедливо, как только. Отсюда следует, что
.
Следовательно, знак выражения совпадает со знаком, как только.■
8. Необходимое условие глобального экстремума функции.
8.3.2. Необходимое условие глобального экстремума
Лемма. Система уравнений , ,имеет решения при любых значениях , если векторылинейно независимы.
Доказательство леммы приводится в приложении 3. ■
Следствие. Если система векторов линейно независима, то найдется такой вектор, что
(). (1)
Доказательство. Из леммы следует, что система уравнений
()
имеет решение , которое удовлетворяет условию (1).■
Теорема 8.10 (необходимое условие глобального экстремума функции). Функция определена на множестве
, .
Функции ипри любом дифференцируемы в точке глобального экстремума функции,. Тогда система векторов
, ;,
где , линейно зависима.
Доказательство от противного, т.е. пусть система векторов
, ;
линейно независима. Из следствия к лемме следует, что найдется такой вектор , что
, , (,,).
Так как мерный векторудовлетворяет условию
,
то из свойства градиента следует, что можно построить такое число , что при всех
. (2)
Так как мерный векторудовлетворяет условию
, , (,),
то можно построить такое число (теорема 6.9), что при всехточка
(3)
Обозначим символом . Тогда при всехусловия (2) и (3) справедливы, что противоречит определению глобального экстремума.■