5. Разложение синуса по формуле Маклорена.

Формула Маклорена с остаточным членом в форме Лагранжа для функции .

Производная -го порядка функцииимеет вид

.

Так как ,, а,то

,

, .

6. Разложение косинуса по формуле Маклорена.

3. Формула Маклорена с остаточным членом в форме Лагранжа для функции :

.

Так как ,,,то

,

7. Условие строгой монотонности функции (1-е утверждение теоремы 8.1).Теорема

8.1. Если функция имеет производную на интервале, то справедливы следующие утверждения.

1. Если на интервале то функция возрастает(убывает) на этом интервале.

Доказательство

1. Рассмотрим две произвольных точки ииз интервалаи пусть. Так как на отрезкевыполняются условия теоремы Лагранжа, то найдется такая точка, что справедливо равенство

. (1)

Из условия теоремы и равенства (1) следует цепочка импликаций:

на интервале

возрастает (убывает) на интервале .

8. Условие нестрогой монотонности функции (2-е утверждение теоремы 8.1).

Теорема 8.1. Если функция имеет производную на интервале, то справедливы следующие утверждения.

2. Производная на интервале тогда и только тогда, когда функция не убывает(не возрастает) на этом интервале.

Доказательство

2. Необходимость. Если на интервале , то из формулы (1) следуют цепочки импликаций:

на интервале

не убывает (не возрастает) на интервале .

Достаточность. Пусть теперь не убывает (не возрастает) на интервале. Отсюда, если — произвольная точка интервалаи, то

.

Так как функция дифференцируема в точке, то

.

9. Необходимое условие экстремума функции нескольких переменных.

Теорема 8.7 (необходимое условие экстремума). Функция имеет в точкелокальный экстремум. Тогда градиент функциив точкеравен нулевому вектору.

Доказательство. Так как

,

то для доказательства теоремы достаточно доказать, что все частные производные функции в точкеравны нулю. Полагаем значения всех переменных у функцииравными соответствующим координатам точки, кроме переменной. Тогда получим функцию, которая зависит от одной переменной и имеет в точкелокальный экстремум. Из теоремы 8.2 следует, что

, .

10. Достаточное условие экстремума функции нескольких переменных.

Теорема 8.8 (достаточное условие экстремума). Функция в окрестности критической точкиимеет непрерывные частные производные 2-го порядка. Справедливы следующие утверждения:

1. Если функция положительно определена, то — точка локального минимума функции .

2. Если функция отрицательно определена, то — точка локального максимума функции .

Доказательство. Градиент функции в точкеравен нулю, так

как является критической точкой этой функции. В этом случае формула (1) будет иметь вид

.

Из леммы 1 и 2 следует, что найдется такая окрестность , в которой знак приращенияфункции совпадает со знаком второго дифференциала в точке этой функции.

1. Если функция положительно определена, тов окрестноститочки , т.е. в этой окрестности, значит,— точка локального минимума функции.

2. Если функция отрицательно определена, тов окрестноститочки , т.е. в этой окрестности, значит,— точка локального максимума функции.

36