2. Магнитное поле движущегося заряда. Закон Био – Савара – Лапласа

Электрическое поле, которое создавал покоящийся точечный заряд, в силу изотропности пространства имело центрально-симметричный характер. Если заряд q движется с некоторой скоростью v, то появляется выделенное направление, которое совпадает с направлением касательной к скорости в каждый момент времени. Таким образом можно ожидать, что магнитное поле движущегося заряда будет иметь осевую (цилиндрическую) симметрию, рис. 3. Очевидно, что оно должно звисеть от величины заряда, скорости, а также положения рассматриваемой точки относительно заряда. Установлено, что:

В = k q [vr] / r³ , (4)

где k – постоянная, зависящая от выбора системы единиц.

Рис. 3. К определению характера магнитного поля движущегося заряда

В системе СГСМ k = 1, единица измерения – гаусс (Гс). В системе СИ единица измерения магнитной индукции – тесла (Тл), а k = ₀/4.

Теперь рассмотрим произвольный проводник, по которому протекает электрический ток I. Число носителей тока на участке проводника dl будет составлять nSdl и каждый, в соответствии с (4) будет создавать магнитное поле В_i =₀/4.e [vr] / r³ (предполагается, что носителями тока являются электроны), а v – средняя скорость их упорядоченного движения, принимающая участие в создании магнитного поля. Тепловое движение электронов имеет в каждый момент случайное направление и при суммировании вклада в магнитное поле не даст.

Пользуясь принципом суперпозиции, можно определить суммарное поле всех носителей заряда:

dB =  В_i = nSdl ₀/4 e [vr] / r³ = Sdl ₀/4 [jr] / r³ =

S j ₀/4 [dl r] / r³ = ₀ I /4 [dl r] / r³ (5)

Здесь было учтено, что nev = j, Sj = I, а также сделана замена jdl = jdl.

Соотношение (5) носит имя закона Био – Савара – Лапласа.

Рис. 4. К выводу закона Био – Савара – Лапласа.

Рис. 5 Магнитное поле проводника с током

Из соотношения (5) видно, что направление магнитной индукции перпендикулярно плоскости проходящей через элемент тока dl и рассматриваемую точку.

Пользуясь формулой (5) можно вычислить магнитное поле бесконечного проводника с током, рис. 5.

dB = ₀ I /4 dl sin / r².

Учитывая, что r = b/ sin, dl = r d / sin = b d / sin²,

dB = ₀ I /4 b d sin sin² / b² sin² =₀ I sin /4b (6)

Суммарное значение индукции для всего проводника получится, если выражение (6) проинтегрировать по углам от –  до + .

B = ₀ I sin /4b = ₀ 2I /4b (7)

Линии магнитной индукции прямого тока представляют собой систему охватывающих провод концентрических окружностей, рис. 5. Подобное поле носит название вихревого поля: линии напряженности его замкнуты и не имеют начала и конца.

Для таких полей вводится понятие «циркуляции вектора напряженности» вдоль замкнутого контура: Bdl по контуру l. Легко показать, что:

Bdl = ₀ 2I /4 l  2l = ₀ I (8)

Выражение (8) носит название теоремы о циркуляции вектора магнитной индукции, которая равна суммарному току, пронизывающему контур умноженному на ₀.