Колебания и волны

Лекция 1

1. Колебательное движение. Свободные, затухающие, вынужденные колебания

Колебательными называют процессы, имеющие определенную повторяемость во времени.

Колебания могут быть механическими, электрическими и.т.д. (например численность волков и зайцев в лесу). Колебательные процесс могут использоваться в жизни, а могут оказывать вредные последствия (например, маятник в часах и обрушение моста под ротой солдат, идущих в ногу).

В случае механических колебаний повторяются изменения положений, скоростей и ускорений каких-либо тел.

Силу, под воздействием которой происходит колебательный процесс, называют возвращающей силой.

Колебания могут быть свободными (собственными) или вынужденными. Свободные колебания являются незатухающими, если не происходит рассеивания энергии в окружающую среду.

Вынужденные колебания совершаются под воздействием внешней периодически изменяющейся силы (вынуждающей силы).

Гармоническими колебаниями называют колебания, при которых смещение тела от положения равновесия совершается по синусоидальному закону.

Для ознакомления с величинами, характеризующими колебательный процесс, рассмотрим простую физическую модель, например, колебания тела на пружинке без трения (рис. 1).

m

Рис. 1

Если начало координат совместить с положением равновесия тела, а затем отклонить его на расстояние х, то возвращающая сила, согласно закону Гука, будет F = –kx. Согласно второму закону Ньютона, уравнение движения будет ma = F = –kx или, учитывая, что a = d²x/dt² ,

F = –kx = m(d²x/dt²) или (d²x/dt²) – (k/m)x = 0. (1)

Будем искать решение уравнения в виде: x = Acos(₀t + ₀), тогда

dx/dt = –A₀sin(₀t + ₀), d²x/dt² = –A₀² cos(₀t + ₀). (2)

Подставляя (2) в (1) получим

(k/m)Acos(₀t + ₀) – A₀² cos(₀t + ₀) = 0, (3)

откуда для угловой частоты колебаний получим:

₀ = (k/m) (4)

Таким образом, решением уравнения является синусоида (косинусоида), то есть изменения амплитуды отклонения тела от положения равновесия, его скорость и ускорения будут происходить в соответствии с рис. 2. Начальную фазу по возможности надо принять за 0.

х Т

х₀

t, сек

v

t, сек

а

t, сек

Рис. 2.

При наличии затухания (трения) добавится сила трения F_тр – rv, пропорциональная скорости и уравнение движения примет вид:

(d²x/dt²) + 2(dx/dt) – (k/m)x = 0, (5)

Где введено обозначение 2= r/m. Его решением будет также синусоида, но с экспоненциально убывающей амплитудой х = exp(–t) Acos(₀t + ₀) – затухающее колебание.

Для вынужденных колебаний добавится вынуждающая сила F_вн = f₀ cos Ωt и уравнение будет иметь вид:

(d²x/dt²) + 2(dx/dt) – (k/m)x = f₀ cos Ωt, (6)

Решение которого выходит за рамки данного курса. В случае, когда частота вынуждающей силы Ω совпадает с собственной частотой ₀ = (k/m) наступает явление резонанса, при котором амплитуда колебаний резко возрастает.

Примером свободных колебаний может служить математический маятник – материальная точка массы m, подвешенная к неподвижной точке на невесомой нерастяжимой нити (или стержне) длиной l и совершающая движение в вертикальной плоскости под действием силы тяжести – mg (рис. 3).

Уравнение динамики вращательного движения в этом случае имеет вид:

I = N = –mgl sin, (7)

l



m

mg

гдеI – момент инерции тела (в данном случае I = ml²), N – момент действующей силы,  – угловое ускорение тела. Принимая во внимание, что  = d/dt = d²/dt² и I = ml², уравнение (7) примет вид :

ml²(d²/dt²) = –mgl sin. (8)

Для малых углов можно считатьsin = , тогда окончательно получим:

d²/dt² + ₀² = 0, (9)

где ₀² = g/l.

Рис. 3

С подобным уравнением мы уде встречались (1) и знаем, что его решением является гармоническое колебание с частотой ₀:

 = a sin (₀t + ₀). (10)