3. Поток вектора напряженности электрического поля и электростатическая теорема Гаусса. Вычисление электрических полей простейших систем зарядов

Понятие потока вектора часто встречается в различных разделах физики, использующих математический аппарат векторного анализа. В гидродинамике, где понятие потока было введено впервые, оно имеет смысл реального объема жидкости, протекающего через малую площадку S, перпендикулярную к вектору скорости жидкости за некоторый промежуток времени (V = S v dt). Если площадка будет расположена параллельно вектору скорости частиц жидкости, то поток жидкости через нее будет равен нулю. В случае расположения площадки наклонно под углом  к вектору скорости, поток можно вычислить по формуле S v cos dt. В единицу времени это будет составлять S v cos. Если ввести понятие вектора площадки S = S n, где n – это единичный вектор в направлении нормали к площадке S, для потока (вектора скорости) можно записать: V = S v = S v cos. Выражения подобного рода часто встречаются и в других разделах физики. Обычно их рассматривают для бесконечно малой dS площадки, в пределах которой вектор соответствующей величины не меняется, и называют потоком вектора через площадку dS. Для определения потока через некоторую поверхность S, необходимо провести суммирование (интегрирование) по всей площадке.

Так для электрического поля вводится понятие потока Ф вектора напряженности Е:

dФ_Е = Е dS = Е dS cos., Ф = Е dS , (9)

хотя никакое реальное течение с этим вектором не связано.

Поток вектора это скалярная величина и потоки нескольких векторов через одну площадку складываются алгебраически. Возвращаясь к графическому описанию электрического поля, можно сказать, что поток вектора Е характеризует количество силовых линий, пересекающих заданную площадку.

Теорема Гаусса связывает величину потока через произвольную замкнутую поверхность с зарядами, находящимися внутри этой поверхности. Для вывода этой теоремы рассмотрим сначала поле, создаваемое точечным зарядом и его поток через сферическую поверхность S с радиусом r, центр которой совпадает с этим зарядом. Поле на поверхности сферы в соответствии с (7) определяется выражением

Е = (1/4₀) Q/r² e_r. (10)

Поток вектора через элементарную площадку сферы dS будет

dФ_Е = (Еn) dS = 1/4₀ Q dS/r² , (11)

а через всю сферу радиусом r:

Ф_Е = 1/4₀ S Q/r² = Q/₀ . (12)

При графическом описании электрического поля мы отмечали, что поток вектора Е характеризует количество силовых линий, пересекающих заданную площадку. Рис. 5 поясняет, что выражение (12) будет справедливо для поверхности произвольной формы.

Рис. 5. Поток вектора Е через замкнутые поверхности различной формы

Из рисунка видно, что суммарный поток вектора напряженности электрического поля не зависит от формы поверхности, поэтому будет справедливо утверждение: поток вектора напряженности электрического поля через замкнутую поверхность равен алгебраической сумме заключенных внутри этой поверхности зарядов, деленной на ₀. Данное утверждение носит название теоремы Гаусса.

Пользуясь теоремой Гаусса нетрудно вычислить значение напряженности поля Е для некоторых простейших случаев.

1. Электрическое поле бесконечной, равномерно заряженной нити

Для вычисления напряженности электрического поля бесконечной, равномерно заряженной нити окружим ее отрезок длиной l цилиндром с радиусом основания R, ось которого совпадает с нитью (рис. 6 а). В силу симметрии задачи, потоки через верхнее и нижнее основания цилиндра будут равны нулю. Поток через цилиндрическую поверхность будет равен Ф = Е S_цил. = Е 2 R l. Заряд Q, находящийся на отрезке нити внутри цилиндра можно выразить через линейную плотность заряда  (заряд приходящийся на единицу длины нити) Q =  l. Тогда в соответствии с теоремой Гаусса запишем:

Ф = Е 2 R l =  l/₀, (13)

Откуда: Е =  /2 R ₀, то есть напряженность поля нити убывает обратно пропорционально расстоянию до нее.

2. Электрическое поле бесконечной, равномерно заряженной плоскости

Для вычисления напряженности электрического поля бесконечной, равномерно заряженной плоскости в качестве замкнутой поверхности выберем цилиндр, с площадью основания S, ось которого перпендикулярна рассматриваемой заряженной плоскости (рис. 6 б). В силу симметрии задачи, в данном случае будет отсутствовать поток вектора Е через боковые поверхности цилиндра, а поток через основания будет составлять 2 S Е. Заряд Q участка плоскости, находящегося внутри цилиндра выразим через поверхностную плотность заряда  (заряд, приходящийся на единицу площади поверхности) Q =  S. В соответствии с теоремой Гаусса запишем

Ф = 2 S Е =  S/₀, (14)

откуда Е = /2 ₀, то есть напряженность электрического поля равномерно заряженной бесконечной плоскости не зависит от расстояния до этой плоскости.

3. Электрическое поле двух параллельных бесконечных, равномерно и противоположно заряженных плоскостей

Для этого случая удобнее воспользоваться принципом суперпозиции. Поле вне плоскостей в этом случае будет равно нулю, поскольку напряженности каждой из плоскостей равны по величине и противоположны по направлению, в то время как поле между плоскостей удвоится и будет равно:

Е = / ₀ (15)

а б

Рис. 6. Примеры вычисления напряженности

электрического поля.

Лекция 2