Вища Математика для Економістів

4.

d(t)

p 2p 3p;

s(t) 2p 2p p 2;

p(0) 1; d(0)

1.

5.

d(t)

2p 2p p 13; s(t) 3p 4p 4p 1;

p(0) 2;

d(0) 1.

Відома

еластичність

виробничої

функції

y f (x) :

Ex

(y)

x

dy

. Визначити саму

функцію

при

заданих

початкових

y dx

умовах.

6.

Ex (y)

x 2x 2

; y

2.

7. Ex (y) a const; y

x 1 1.

2

1 x x

x 1

8. E

x

(y) 1 2x

2; y

x 1

1.

x 2

10.

Ex

(y)

;

y

x 0

1.

1 x

12.

Ex

(y)

1 x

2

;

y

1.

y2

x 1

9. Ex (y)

11. Ex (y)

13. Ex (y)

2x x 2
	; y		5.
x			x 1

x 3 2x 2 1; y				1.
ln x; y		x 1 2.		x 1

Проінтегрувати рівняння розширеного відтворення при заданих параметрах та початкових умовах.

14.

H 0,8;

S 0,3;

f

1

;

P

t

15 грош. од.

t

0

15.

H 0,01t; S 0,6;

f 1;

P

t 0

10 грош. од.

f e t ;

16.

H 0,7;

S 0,2;

P

t 0

20 грош. од.

17.

H 0,9;

S 0,4;

f

t

;

P

25 грош. од.

t 1

10

18.

H 0,5;

S 0,3;

f

t 2

;

P

10 грош. од.

100

t 1

19.

H 0,6t;

S 0,2;

f 0,1;

P

t 0

20 грош. од.

Повні витрати виробництва є функцією у від обсягу виробництва х. Граничні та повні витрати виробництва задовольняють заданому диференціальному рівнянню. Знайти функцію повних витрат.

20.

y

4y x 0;

y(0) 0.

21.

y k

y

;

y(1) 1.

x

22.

y 50 103

x;

y(0) 0.

23.

y x 100; y(100) 40 103.

24.

y

2y 4;

y(0) 0.

25.

y

y

e x

0; y(0) 0.

x

26.

y

2y

x 3

0;

y(10) 100.

27.

y

y

x;

y(100) 100.

x

x

491

28.	y	y	1 0;	y(100) 500.	29. y		3y 9 0;	y(0) 0.
		x
30.	y y 10 0;			y(0) 9.

492

РОЗДІЛ XІ РЯДИ

§1. Числові ряди. Основні поняття та означення. Збіжність і сума ряду.

Числовий ряд – це узагальнення поняття суми, коли підсумовування ведеться до нескінченності. Але така нескінченна сума має сенс, коли сумуються не будь-які числа, а тільки ті, що складають числову послідовність.

an ,	Нехай a1,a2 ,....,an - деяка числова послідовність. Позначимо її
	де n змінюється від 1 до . Нескінченна сума, елементи

послідовності якої сумуються, називається числовим рядом, елементи послідовності an (дійсні або комплексні) – членами ряду.

Нескінчена сума позначається символом

an	a1 a2 ... an	... .	(1)
n 1

З послідовності an можна скласти нову послідовність, де

S1 a1;S2 a1 a2;Sn a1 a2 ... an .

Сума перших n елементів називається n -ю частинною сумою

ряду:

	n
Sn a1 a2 ... an	ak .	(2)
	k 1

Якщо існує скінчена границя послідовності частинних сум Sn ряду (1), то він називається збіжним, а значення цієї границі –

сумою ряду:

S limSn .	(3)
n

Якщо границя послідовності Sn є нескінченною або взагалі не існує, то ряд називається розбіжним.

Сума останніх членів ряду, починаючи з деякого n 1 і до нескінченності, називається залишком ряду n -ого порядку:

rn an 1 an 2 ...	ak .	(4)
	k n 1

Приклад 1. Геометрична прогресія. Нескінченні ряди розглядались і в елементарній математиці. Найяскравішим прикладом є нескінченна геометрична прогресія

a,aq,aq 2,...,aqn 1,aqn ,... .

(5)

Знайдемо вираз частинної суми Sn . За означенням

493

Sn a aq ... aqn 1; qSn aq aq 2 ... aqn .

Звідки Sn qSn a aqn . Приходимо до формули

Sn	a 1		qn
					.	(6)
			q
	1

Нескінчена геометрична прогресія збігається тільки у тому разі, коли q 1. Тоді при n маємо, що qn 0 , і

S	a	.	(7)
1 q

Збіжність залишку. Необхідна умова збіжності.

Якщо збігається ряд (1), то збігається й будь-який його залишок (4), і навпаки, якщо збігається залишок rn , то збігається й ряд (1).

Необхідна умова збіжності полягає у тому, що загальний член ряду an повинен прямувати до 0, якщо n прямує до нескінченності:

liman 0 .	(8)
n

Дійсно, якщо ряд (1) збігається, то існує границя S limSn . Але

n

ж тоді і limSn 1 S , звідки
n
liman	lim(Sn	Sn 1 ) limSn	limSn 1	S S 0 .
n	n	n	n

Зауваження. Ця ознака є необхідною, але не є достатньою,

тобто якщо вона не виконується, то ряд є розбіжним, а якщо виконується, то це не означає, що ряд збігається.

Приклад 2. Розглянемо ряд

					1							1
								1
						n
Маємо	n 1									2
				liman							lim
			n								n
Але		1						1
Sn	1										...
	2							3
Звідси
				limSn							lim
			n								n

1 ... .

3

1

n

0 .

1	n	1 n .
n		n

n ,

тобто ряд є розбіжним, хоч необхідна умова збіжності виконується.

494

Дії з рядами

1.Якщо відкинути скінчене число початкових членів ряду чи, навпаки, додати кілька нових початкових членів, то це не впливатиме на збіжність ряду. Тобто, якщо він був збіжним чи розбіжним, то таким і залишиться.

2.Якщо почленно додавати елементи двох збіжних рядів,

які мають суми S1 та S2 , то отримаємо ряд, який також буде збіжним, а його сума буде дорівнювати S1 S2 .

§2. Ряди з додатними членами

Критерій збіжності. Сума ряду з додатними членами буде скінченою, а ряд – збіжним, якщо послідовність частинних сум Sn обмежена зверху.

Достатні ознаки збіжності додатних рядів. Теореми порівняння

Теорема 1. Нехай задано додатні ряди

an і bn

n 1

n 1

і, починаючи з деякого номера n (наприклад, n n0 ), виконується нерівність

an bn .

(9)

Тоді із збіжності ряду з більшими членами випливає збіжність ряду з меншими членами, а з розбіжності ряду з меншими членами – розбіжність ряду з більшими членами.

Теорема 2. Нехай, починаючи з деякого номера n , bn 0 і існує границя

lim an k , 0 k . (10)

n bn

Тоді при 0 k ряди збіжні чи розбіжні одночасно.

Гармонійний ряд

Гармонійним називається ряд

	1		1	1		1	...	1		... .	(11)
	n 1 n			2		3		n

Цей ряд першим в історії математики був досліджений на збіжність. Необхідна умова збіжності виконується:

495

liman	lim	1	0 .
n	n n

Але ще Я. Бернулі довів, що цей ряд є розбіжним.

Гармонійний ряд і геометрична прогресія найчастіше вибираються для порівняння згідно з теоремами 1 і 2. Також використовують узагальнений гармонійний ряд:

		1		1		1		1
			1				...		...	(12)
		p		p		p		p
	n 1 n			2		3		n

Він збігається, якщо p 1, і розбігається, якщо p 1. Приклад 3. Дослідити на збіжність числовий ряд

		1							1						1										1
																											... .
	2n	1 2			2n 1										3										3
n 1								1 2							3 2										5 2
Починаючи з другого члена, виконується нерівність
	dn							1							1										bn .
				2n 1 22n 1													22n				1
Ряд
								1					1					1							1
	bn																									...
								2n 1				2						3							5
	n 1				n 1 2										2										2
є геометрична прогресія.			Її знаменник													q					1	1, так що прогресія
																					4

збіжна. За теоремою 1 маємо, що досліджуваний ряд також є збіжним.

Приклад 4. Дослідити на збіжність числовий ряд

								1 n									1 2				1 3
						1							1															... .
								2									2				2
Знайдемо							n 1	1 n									1 2			1 3
										1				n					1						1
						1 n
									n 2										n 2
lim an lim							lim						n 2				lim							n				0 .
n		n 1 n 2					n 1							n 2			n			1				1
																			n 2
									n 2
													n 2																1
Необхідна умова виконується, але																			an					прямує до нуля як						,
	1		1																									n
тому що				.		Враховуючи								це,			виберемо як ряд порівняння
n 2		n

гармонійний ряд і застосуємо теорему 2:

496

1 n

an

n n 2

lim

1 n 2

lim

1,

lim

1

n bn

n

n 1 n 2

n

Тобто досліджуваний ряд повинен бути розбіжним, бо

гармонійний ряд розбігається.

Ознаки Даламбера, Коші, Маклорена-Коші

Ознака Даламбера.

Якщо

an 0 ,

починаючи з деякого

номера, і існує границя (скінчена або нескінчена)

lim

an 1

q ,

(13)

n an

то при q 1 ряд збігається, при

q 1

-

розбігається. Якщо q 1, то

ознака не дає відповіді на питання збіжності.

Приклад 5. Дослідити на збіжність числовий ряд

1

1

1

1

... .

n 1 n!

2!

3!

Зауважимо, що n! 1 2 3... n . За ознакою Даламбера

1

an 1

n 1 !

n!

1 2 3 ... n

1

lim

lim

lim

lim

0 1

lim

1

n 1 !

n a

n

n

n

n 1 2 3 ...n n 1

n n 1

n!

Тому ряд збігається.

Приклад 6. Дослідити на збіжність ряд

n

1

2

3

... .

n 1 n 1

2

3

4

За ознакою Даламбера

2

n 1

1

2

1

an 1

n 2

n

lim

lim

lim

n 1

lim

1

n

2

n a

n

n n n 2

n

n

1 1

1

n

n

Ознака відповіді про збіжність чи розбіжність ряду не дає. Але за необхідною ознакою збіжності маємо

497

liman	lim	n		lim			1			1
							1
n	n n 1			n
					1

n

liman 0 , тобто ряд є розбіжним.

n

Радикальна ознака Коші. Якщо an 0 , починаючи з деякого номера, і існує границя (скінчена або нескінчена)

lim n an

q ,

(14)

n

то при q 1

ряд збігається, при q 1 -

розбігається. При q 1 ознака

відповіді на питання, розбіжний ряд чи збіжний, не дає.

Приклад 7. Дослідити на збіжність числовий ряд

1

1

1

1

... .

n 1 lnn n 1

ln2 ln2 3 ln3 4

За радикальною ознакою

1

lim n an

lim

0 1

,

n

n ln n 1

тобто ряд збігається.

Інтегральна ознака Маклорена-Коші. Нехай члени ряду

додатні і монотонно спадають:

і f x -

a1 a2

... an .... 0

така неперервна

монотонно

спадна функція,

що

f 1 a1, f 2 a2 ,..., f n an ,...

,

тоді

ряд і

невласний інтеграл

І-го

роду

f x dx

(15)

1

збігаються або не збігаються одночасно.

Приклад 8. Дослідити на збіжність числовий ряд

n

1

1

... .

n 1 ln n 1

n 1

2 ln 2 3 ln 3

Члени ряду додатні і монотонно спадають:

11

... .

2 ln 2 3 ln 3

	Введемо неперервну функцію				f x	1		. Тоді
						x 1 ln x 1
f 1	1	, f 2	1	,... .
	2 ln 2		3 ln 3

498

Розглянемо невласний інтеграл

		dx			b	d ln x 1
				lim
		x 1 ln x 1				ln x 1
				b
	1				1

lim ln ln b 1 ln ln2

b

lim ln ln x 1 1b

b

Інтеграл розбігається. Тому за ознакою Коші-Маклорена ряд також розбігається.

§3. Знакозмінні ряди

Знакозмінним називається ряд, в якому є нескінченна кількість як додатних, так і від’ємних членів.

Якщо ряд (1) збігається одночасно з рядом з модулів

an

a1

a2

...

an

...,

(16)

n 1

то ряд (1) називається абсолютно збіжним.

Якщо ряд (1) збігається, а ряд (16) розбігається, то ряд (1)

називається умовно збіжним.

Теорема Коші. Щоб збігався знакозмінний ряд (1), достатньо, щоб збігався додатній ряд з модулів (16).

Ця умова не є необхідною для збіжності ряду, але коли вона виконується, ряд збігається абсолютно.

Ознака Лейбніца. Якщо знакозмінний ряд має вигляд

	n 1
1 an ,		(17)

n 1

де an 0 n N , і його члени монотонно спадають за абсолютною величиною, тобто an 1 an n N , і існує границя

liman 0 ,	(18)
n

то ряд збігається.

Ознака Лейбніца не дає відповіді на запитання, як збігається ряд: абсолютно чи умовно. Тут потрібне додаткове дослідження.

Приклад 9. Дослідити на умовну або абсолютну збіжність числовий ряд

		n 1					1					1						1
	1				1																... .
n 1	3 n					3 2						3 3					3 4
По-перше, перевіримо, чи виконується необхідна умова
збіжності:												1
			liman			lim											0 .
			n				n 3 n

499

Необхідна умова виконується. Модулі членів ряду утворюють монотонно спадну послідовність

1	1			1				1		... .
3 2			3 3					3 4

Тому за ознакою Лейбніца ряд збігається. Щоб з’ясувати, умовно він збігається чи абсолютно, розглянемо ряд з модулів

	1			1				1			1
			1										... .
	3 n		3 2			3 3					3 4
n 1

Цей ряд є частинним випадком узагальненого гармонійного

ряду (12), коли p 1 . При P 1 ряд розбігається. Розбіжність легко

3

перевірити, використовуючи інтегральну ознаку. Інтеграл

			2								b2/3 1
	dx			lim	3	x			1b	3
							3
	3
		x		b 2
1								2

є розбіжним. Тому розглянутий знакозмінний ряд збігається умовно. Приклад 10. Дослідити на умовну та абсолютну збіжність ряд

			sinn											sin				sin 2
																						... .
						n	2							1						2	2
		n 1
Очевидно, що		sinn							1			. Ряд з додатними членами
		n 2					n 2
										1					1				1
													1							... .
										2
						n 1 n								4				9

також є узагальненим гармонійним рядом при р=2. Ряд збігається, тому що P 1. За першою теоремою порівняння буде збіжним і ряд

		sinn
		n	2
n 1

Це ряд з модулів членів теоремою Коші його збіжність знакозмінного ряду.

	sin		sin 2	... .
	1		22

заданого знакозмінного ряду. За забезпечує абсолютну збіжність

§4. Функціональні ряди

Область збіжності

Розглянемо послідовність U n x , елементами якої є функції,

визначені і неперервні в деякій області D . З елементів функціональної послідовності складається функціональний ряд

500