uchebnik10

дений по отношению к частным средним и вариации самих част·

ных средних по сравнению с общей средней величиной. Чем мень·

шую часть составит первый компонент по отношению ко второ·

му, тем теснота связи окажется большей. В пределе, когда ника­ кой вариации отдельных значений признака возле частных сред­

них не будет наблюдаться, теснота связи окажется предельно большой. Аналогичным образом, при отсутствии изменчивости

частных средних теснота связи окажется минимальной. Так как

это соотношение вариации может быть рассмотрено для каждого

из двух признаков, получается два показателя тесноты связи.

Таким образом, связь между переменными случайными вели­

чинами Х и У выражается по-разному в зависимости от того, по

значениям какой величины ранжируется совокупность. Этот при­

мер объясняет, почему корреляционное отношение характеризует

связь между признаками Х и У двусторонне, т. е. У по Х и Х по У;

отсюда два коэффициента этого показателя: hllx и hxll• Коэффи­

циент корреляции, как и корреляционное отнош.~ние,-· величина

относительная. Но в отличие от коэффициента корреляции кор­

реляционное отношение всегда является величиной положитель­

ной, способной принимать значения от О до 1. Коэффициент кор·

реляции - равнозначная мера для обоих корреляционно связан·

ных признаков Х и У, тогда как коэффициенты корреляционного отношения обычно не равиы друг другу, т. е. hxll =l=hllx • Равенство

между этими показателями осуществимо только при строго ли·

нейной зависимости между признаками. Корреляционное отно­

шение является универсальным Показателем: оно позволяет ха·

рактеризовать любую форму корреляционной связи - и линей· ную, инелинейную.

Коэффициенты корреляционного отношения hXIl и hllx опреде­

ляют рассмотренными выше способами, т. е. способом произве· дений и способом условных средних.

С п о с о б про и з в е Д е н и й. Коэффициенты корреляцион­

ного отношения У по Х и Х по У определяют по следующим фор·

мулам:

				(157)
к	,,(Ух_у)2 и	к		группо-
гдеsZx =-'- ~ f		s;y = -;;-~ fy C~y_х)2 -
п 1-1		1-1
, К		,~(	-)2	-общие
вые, as~=-;;- ~fУ(Уl-у)2		и s~=-;;- ~fx	XI-X
1-1		1-1

дисперсии. Нетрудно заметить, что величина n входит и в числи­

тель, и в знаменате./JЬ. А поскольку она взаимно сокращается, ко·

эффициенты корреляционного отношения можно представить в

229

виде корня из отношений групповых девиат к общим девиатам,

т. е.

h	= .. /	~fх(Ух-у)2 и	h	= ... /	~fу(Хg-Х)2. (158)
ух	V	~fУ(УI-у)2	ху	V	~fХ(Хl-Х)2

Здесь У и х - общие, а Ух и Х1lгрупповые средние арифметиче­ ские; fy - частоты ряда У, а fx - частоты ряда Х.

Следовательно, чтобы вычислить корреляционное отношение У по Х или Х по У описываемым способом, необходимо: 1) сгруп­

пировать первичные данные в форме корреляционной таблицы; 2) определить общие (у и х) и групповые (Ух и Ху) средние ариф­ метические; 3) возвести в квадрат отклонения групповых средних от общей средней данного ряда распределения, умножить на соответствующие частоты fi и результаты сложить; 4) умножить

суммы квадратов отклонений классовых вариант от их средних

на частоты этих отклонений и результаты сложить; 5) подставить полученные данные в формулу (158) и рассчитать корреляцион­ ное отношение У по Х или Х по У, а по необходимости и оба этИ

показателя.

Прuмер 7. Определить корреляционное отношение годового

удоя У коров горбатовекой породы по массе их тела Х. Сначала

находим среднюю арифметическую годового удоя коров у, а за­

тем и групповые средние Ух. Необходимые данные			помещены в
табл. 103: у=А+лх	''iJ...ax	= 1085+ 153 757	=2235,64 кг.
	n	100

Групповые средние ух представляют суммы произведений груп-

y~ 244		258	272	286	зоо	314	328	342	356
3213
3061									1
2909							2	2	2
2757
2605	1						1
2453					4	1	1	4
3201				1	2		4		4
2149					2	1	2	3
1997						1	2	2	2
1845				1	1	2	1	1	1
1693	1				1	1	1
1541		1		2	1	2
1389
1231				1	1
1085
f.,	2	1	О	5	12	8	14	12	10
-У., -	2149,00	1389,00	О	1601,80	2041,67	1864,00	2251,57	50,33	2361,80
	86.64	846,64	О	633,84	181,91	311,64	21,93	14,69	126,16
У",-У
f.,(У.,-и)'	15013,0	716799.3	О	2008765,7	423992,1	1104930,3	6132,9	2589,6	159163,5

230

повых частот ТХIl ряда Х на соответствующие срединные значения

классовых интервалов, отнесенные к сумме частот данного ин­

тервала по другому ряду fy. Например, частная средняя Ух=

=2149,00, что находится в первом столбце табл. 103, получена умножением частот fxy, расположенных в этом столбце корреля­

ционной решетки, на соответствующие срединные значения клас­ совых интервалов (ряд Х) с последующим делением суммы на

fx=2, т. е. Ух= (1·1693+1·2605)/2=2149,00 и т. д.

Определив групповые средние, находим разности между ними

и общей средней У данного ряда, а также разности между отдель­

ными классовыми вариантами Yi и общей средней У, которые воз­

водим в квадрат и умножаем на соответствующие частоты рядов

распределения. Полученные результаты суммируем. Описанные

операции помещены в табл. 103.

Подставляя найденные величины ~fх (Ух-У) 2 и ~fу (Yi-Y) 2 В

формулу (158), определяем корреляционное отношение годового

удоя коров У по массе их тела Х:

h	ух	= 1 /	7656205,8	=VO 410=0 640.
		V	18679828,0	'	,

Таким же образом рассчитываем и корреляционное отношение

Х по У, т. е. массы тела коров по их годовому удою: hxll =0,581

(читателю предлагается рассчитать эту величину).

С п о с о б у с л о в н ы х с р е Д н и х. Определяя коэффициенты

корреляционного отношения по формулам							(157), отклонения
классовых вариант Х/ и Yi				можно брать не только				от	средних
								ТаБJlица 10З
370	384	398	412	426	440			-	'11 (УгУ)'
						1	'11	у;-у
					1		1	977	954529
	1		2	1			3	825	2041 875
				1			3	673	1 358787
	2	2	1		1		10	521	2714410
1	1		1		1		8	369	1089288
1	1	1	2		1		11	217	517979
2	2				1		19	65	8а 275
			2				10	87	75690
2							12	239	685452
		1					10	391	1 528810
1	1	1	1				5	543	1 474245
							2	695	966050
							4	847	2869636
							1	999	998001
							1	1151	1 324801
7	8	5	9	2	5		100	2	I 18679828
2149,00	2510,00	2301,00	2469,89	2985,00	2665,80		-
86,64	274,36	65,36	234,25	749,36	430,16		-
52545,4	602187,3	21359,6	493857,6	1123080,8	925188,1	7656205,8

231

t.:>	Таблица 104
с.>
t.:>

~~

ах

//у

I

I

244 258 272

286

300

314 328\ 342 356

370

384 398 412

426

440

'У

ау '1Iа1l

f1I

а1l' f ХIJ

'''lIа",ЧI

3213
3061
2909
2757
2605	1
2453
2301
2149
1997
1845
1693	1
1541
1389		1
1237
1085		1
f..	2
й'"	-7	-6
f"a",	-14	-6
f"а,,2	98	36
fжуау	О	-5
(f"УХ	О 25,0

					1
			2	2	2
	4		1
1	2	1	1
	2	1	4	4	4
		1	2	3
1	1	2	2	2	2
	1	1	1	1	1
		2	1

21

1

	1		8	14	12	10
О	5	12
-5	-4	-3	-2 -1		О	+1
О	-20	-36 -16 ~14			О	+10
О	80	108	32	14	О	10
О	-18	-8	-15	+10 +8		+14
О	64,8	5,3	28,1	7,2	5,3	19,6

	1
	2	2
1	1
1	1	1
	2
2		1
2
	1	I
1

7	8	5
+2	+3	+4
+14	+24	+20
28	72	80

О+19 +5

О45,1 5,0

1

21

11

1

	2	1
		1
	2	1
		1
	1

9	2	5
+5	+6	+7
+45	+12	+35
225	72	245
+19	+11	+17
40,1	60,5	57,8

	+7	+7	49 +-7		49,00
3	+6	+18	108 НО		33,33
3 +5		+15	75	Н6	85,33
10	+4	+40	160 +18		36,13
8	+3	+24	72 +17		36,13
11	+2	+22	44 +13		15,36
19	+1	+19	19 +1		0,05
10	О	О	0+10		10,00
12	-1	-12	12	О	0,00
10	-2	-20	40 +1		0,10
5	-3	-15	45	-11	24,20
2 -4 -8			32	-4	8,00
4	-5	-20	100	~17	72,25
1	-6	-6	36	~3	9,00
1	-7	-7	49	-4	16,00
100	-	+57	841	-	391,15
-

+54

1100

-

363,8

хау)2lfж

арифметических Х и У, но и от условных средних х и у. В таких

случаях групповые и общие девиаты рассчитывают по формулам

D -I (/хуау)2	Н	!I	И	D -I (/хуШх)2		Нх, а также,
!lX-				X!l-	fy
fx
D!I= .2:f!la~-HII и	Dx=~fxa~-Hp где					и
			Н	(~fxax)2
			х	n

В развернутом виде формулы (157) выглядят следующим об­

разом:
hyx=l/ [~ (/Х;:Х)2	_ (~f:all)2 ]/ D g;
hxy =Уl.2:(/Х;:Х)2 -	(~f:ax)2]/ D x.	(159)

В этих формулах ау= (Yi-A y)/л,у и ах= (xi-A x ) /Лх -. отклонения

классов от условных средних, сокращенные на величину классо­

вых интервалов; значения ау и ах выражаются числами натураль­

ного ряда: О, 1, 2, 3, 4, .... Остальные символы объяснены выше.

Прuмер 8. Рассчитать способом условных средних корреляци­

онное отношение между удоем У и массой тела Х и между массой

тела и годовым удоем коров горбатовской породы. Расчет вспо­

могательных величин, необходимых для вычисления коэффици­ ентов корреляционного отношения hxy и hyx, приведен в табл. 104.

Значения fxya y и fxya x рассчитывают так же, как и при вычис­

лении коэффициента корреляции. Например, величина fxya x = =-18 (табл. 104) получена перемножением частот fxy на соот­

ветствующие отклонения ах ряда Х, а именно:

1·(+1)=+1

1·(-2) =-2

2· (-5) =-10

1·(-7) =-7

Сумма=-18 и Т. д.

Остальные действия понятны из табл. 104.

Закончив расчет вспомогательных величин, переходим к оп­

ределению общих и групповых девиат: D y = 1100-542/100=

= 1100-29,16= 1070,846; Dx =841-542/100=841-32,49=808,51;

D yx =391, 15-29, 16=361,99; пху= 363,80-32,49 =331,31. Подстав­

ляем эти величины в формулы:
hyx = V 130~IO'~:4 УО,338=О,581;	hxu=V :~~:~~ =

= VО~.-'4-=-1-:0=О.640.Получился такой же результат, что и выше.

•

233

Сравнивая способ произведений со способом условных средних,

нельзя не заметить преимущество первого способа, особенно в

тех случаях, когда приходится иметь дело с многозначными чис­

лами. Как и другие выборочные показатели, корреляционное от­

ношение является оценкой своего генерального параметра и, как

величина случайная, сопровождается ошибкой, определяемой по

формуле

Sh= Уl - h2 •

(160)

Уn-2

Достоверность оценки корреляционного отношения можно прове­

рить по i-критерию Стьюдента или f-критерию Фишера. Но-гипо­

теза исходит из предположения, что генеральный параметр равен

нулю. Так, в приведенном выше примере			tф •	О ' 581 УI00 - 2	=
				v 1 - (0,581)2
_ 5~ =7,07> 3,37 для k=n-2=98 и а=О,1 % (см. табл.
УО,662
V Приложений) , что позволяет		отвергнуть		Но-гипотезу	на
0,1 %-ном уровне значимости	(Р<0,001).
К такому же выводу приводит		и проверка По-гипотезы			по
F-критерию Фишера: Fф =	h2	N - a	, где N-объем		вы-
	1 - h2	а - 2

борки, а-число классов			вариационного		ряда. Именно: Fф=
_ (0,581)2	100	-15	28,73	=334>242		k =а-2=15-
1-(0,581)2	15	-2	8,61	'	,	1

-2= 13 (см. табл. VI Приложений по горизонтали); k2=N-а= = 100-15=85 (см. в той же таблице первый столбец по верти­ кали). Нулевую гипотезу отвергают на 0,1 %-ном уровне значи­

мости (P<O,OOl). Следовательно, можно считать доказанным,

что между годовым удоем У и массой тела Х коров горбатовской

породы существует положительная связь.

Коэффициенты детерминации. Для истолкования значений, принимаемых показателями тесноты корреляционной связи, ис­

пользуют так называемые коэффициенты детерминации, которые

показывают, какая доля вариации одного признака зависит от

варьирования другого признака. При наличии линейной связи

коэффициентом детерминации служит квадрат коэффициента

корреляции r2xy, а при нелинейной зависимости между признака­

ми У и Х - квадрат корреляционного отношения h2yx• Так, коэф­

фициент детерминации между массой тела коров Х и их годовым

удоем У составляет r2XY= (0,523) 2=0,274, или 27,4%. Это озна­

чает, что лишь 27,4% вариации признака Х опгеделяется варьи­

рованием признака У.

Корреляционное отношение является универсальным показа­

телем корреляционных связей, поэтому в качестве коэффициента

детерминации обычно применяют квадрат корреляционного отно-

234

шения. Именно корреляционное отношение между массой тела 'ко­ ров Х И их годовым удоем У составляет hgx =0,581 (см. выше).

Отсюда It2yx = (0,581)2=0,338, или 33,8%.

Коэффициенты детерминации дают основание построить сле­

дующую примерную шкалу, позволяющую судить о тесноте связи

между признаками: при г=0,5-;-.0,6 связь считается средней;

г<0,5 указывает на слабую связь и лишь при (~O,7 можно судить о сильной связи, когда около 50% вариации признака У зависит

от вариации признака Х. Разумеется, шкала эта весьма условна,

но она необходима при сравнительной оценке показателей кор­

реляционных связей.

Можно показать, что коэффициенты детерминации имеют

прямое отношение к показателям силы влияния факторов на ре­

зультативный признак. ЭТО особенно хорошо видно на примере

вычисления КОЭффициента детерминации h2yx = (0,581) 2= 0,338, или 33,8, % и показателя СИJJЫ влияния, определяемого по методу

Плохинского. Так, если массу тела коров Х рассматривать как

фактор, воздействующий на их годовой удой У, то сила влияния

этого фактора на результативный признак Х определяется сле­ дующим образом: используя данные табл. 104, находим Н=

=542/100=29,16. Девиаты: пу=~fyaz - н= 110029,16=

=1070,84; пх= (~!x~au)2 -Н=391,15-29,16=361,99; De= fx

=Dy -Dx =708,85. Отсюда показатель силы влияния (по Плохин-

D	391	'	15	=0,338,	или 33,8%, т. е. оба показа-
скому) h~x=_x-=

D y 1070,84

теля равны друг другу.

Тот же показатель, определяемый по методу Снедекора (чита­

телю предлагается вычислить его), оказывается равным 0,247,

или 24,7%. Эта величина оказалась близкой к квадрату коэффи­

циента корре.lIЯЦИИ (г2ух=0,274). Как и следовало ожидать, по­

казатель силы влияния, вычисленный по методу Плохинского,

о

оказался выше, чем тот же показатель, вычисленныи по методу

Снедекора. Преимущество метода Плохинекого заключается в

его универсальности и в простоте вычисления по сравнению с по­

казателем силы влияния, определяемым по методу Снедекора '.

Оценка формы связи. При строго линейной зависимости меж­

ду переменными величинами У и Х осуществляется равенство hyx=hxy . В таких случаях коэффициенты корреляционного отно­

шения совпадают со значением коэффициента корреляции. Со­ впадут при этом по своему значению и коэффициенты детерми­ нации, т. е. h2yx=r2XY' Следовательно, по разности между этими

I Следует, впрочем, помиить о том, что показатель силы влияиия факто,

ра коиструкции Плохинского отличается смещениостью своих оuеиок по отно,

шеиию к генеральиому параметру. (Прим. ред.)

235

величинами можно судить о форме корреляционной зависимости между переменными У и Х:

y=h2 _r 2•

(161)

Очевидно, при линейной связи между переменными У и Х показа­ тель у будет равен нулю; если же связь между переменными У и

Хнелинеина, то у>О.

Показатель у является оценкой генерального параметра и, как величина случайная, нуждается в проверке достоверности. При

этом исходят из предположения (НО) о том, что связь между ве­ личинами У и Х линейна. Проверить эту гипотезу позволяет

F-критерий Фишера:

F,=	у	N-a
1 -		h2 а-2

где а - численность групп, или классов вариационного ряда; N- объем выборки. Нулевую гипотезу отвергают, если Fф>Fвt для kI =a-2 (находят по горизонтали табл. УI Приложений), kZ=

=N-a (находят в первом столбце той же таблицы) и принятого

уровня значимости а.

Применим F-критерий для проверки гипотезы о линейной за­

висимости массы тела Х от годового удоя У коров горбатовской породы. Исходные данные: N = 100; hX1J = 0,581; h2yx = 0,338, чис­

ло классов вариационного ряда n= 15. Отсюда
F _ 0,338 -0,274	100 -15	_	0,064·85	5,44	=0632.
ф- 1-0,338	15-2	-	0,662·13	8,606	'

Следует иметь в виду, что F-критерий не универсален и не во всех случаях пригоден для получения вполне надежной инфор­

мации о форме связи между коррелируемыми признаками. Поэто­

му наряду с F-критерием Фишера при проверке гипотезы о фор­

ме связи между переменными величинами применяют довольно

простой и строгий критерий Блекмана: В=N (hZ-г2) ~ 11,37.

При наличии линейной связи этот показатель не превышает

11,37. Если же связь между признаками нелинейна, то N (h2-

- r2 ) > 11,37. Так, применительно к рассмотренному выше приме­

ру о связи между массой тела Х и годовым удоем У коров горба­

товской породы имеем hxy =0,581 и hZxy =0,338;		rxy=0,523;
r2xy=O,274, а также N = 100 и а= 15 (см. табл.	104). Отсюда
Вху= 100 (0,338-0,274) = 100·0,064=6,40< 11,37,	что	подтверж­
дает гипотезу о линейной зависимости между	этими призна­

ками.

Другой результат получается прн проверке гипотезы о форме связи между годовым удоем У и массой тела Х коров той же по­

роды. Так, применение F-критерия Фишера приводит к следую­

щему результату:

236

F _	(0,640)2-0,274	~= 0,410-0,274 ~=
Ф	1 - (0,640)2	13	1 - 0,410	13

=11,526 =1,51 <Fst =1,82

7,675

для k1=13, k2=85 и а=5%. Это означает, что гипотезу о линей­

ной связи между этими признаками не учитывать нельзя.

Однако применение критерия Блекмана приводит к иному ре­

зультату: Вух= 100(0,410-0,274) = 100·0,136= 13,60> 11,37, что

не подтверждает вывод о л'инейности связи У и х. Итак, два спо­

соба проверки - два противоположных результата. Какой же из

них ближе к истине? Ответить на этот вопрос позволит более

точный метод дисперсионного анализа (см. гл. IX).

VIII.2. НЕПАРАМЕТРИЧЕСКИЕ ПОКАЗАТЕЛИ СВЯЗИ

Коэффициеит I<орреляции Фехиера. Наряду с параметриче­

скими показателями для измерения корреляционной зависимо­

сти между признаками применяют и неnараметричес"ие по"аза­

тели. Одним из них является "оэффициент "орреляции, предло­

женный Г. Фехнером (1897):

С-Н		( 162)
г ----	•
ф- С +Н

Этот показатеJIЬ основан на учете знаков отклонений вариант от их средних арифметических. Здесь С - число совпадений оди­

наковых, как положительных, так и отрицательных, знаков раз­

ностей (х,-х) и (Yi-iJ), а Н - число несовпадающих знаков.

Как и пирсоновский коэффициент корреляции Гух, основанный

на учете не знаков отклонений, а их абсолютных значений, коэф­

фициент корреляции Фехнера может принимать значения от -1

до + 1. При положительной корреляции он имеет положительный,

а при отрицательной - отрицательный знак.

Применяя коэффициент корреляции Фехнера, следует иметь

в виду, что по сравнению с параметрическими показателями не­

параметрические являются лишь приближенными оценками свя­

зи. Поэтому вычисление последних можно ограничивать сотыми

долями единицы. Также нужно иметь в виду то, что закон рас­

пределения коэффициента корреляции Фехнера неизвестен, по­ этому вопрос об оценке достоверности r ф остается открытым.

Пример 9. В табл. 97 содержатся данные о содержании жира в молоке коров и их дочернего потомства. Воспользуемся этими

данными и вычислим (по Фехнеру) коэффициент корреляции между жирномолочностью сравниваемых животных. Сначала иа­

ходим средние арифметические жирномолочностй коров х=

=42,46/12=3,54 и их дочерних особей у=4З,17j12-З,60 (табл.

105) .

237

Затем подсчитываем число совпадающих инесовпадающи;·

знаков, которыми отмечены разности между значениями вариан~

и их средними арифметическими. Число совпадающих, как поле·

жительных, так и отрицательных, знако'В оказывается paBHЫ~_

С= 10, а число несовпадающих знаков Н=2. Отсюда коэффицр­

ент корреляции Гф = (10-2)/(10+2) =0,667=0,68. Этот показс

тель оказался несколько выше, чем пирсоновский коэффициен~

корреляции	(Гху=0,620).
				Таблица 10.
	Процент жира в MOJIOKe		ОТКJIонення	от средннх
Номера
наБJIюдеин!!	коров матернн-	коров дочери его	(х;-х)	(и;-У>
	ского ПОКОJIення х	ПОКОJIення у
1	3,10	3,65	-	+
2	3,17	3,11	-	-
3	3,76	3,57	+	-
4	3,61	3,61	+	+
5	3,27	3,44	-	-
6	3,61	3,71	+	+
7	3,80	3,61.	+	+
8	3,65	3,98	+	+
9	3,34	3,36	-	-
10	3,65	3,89	+	+
11	3,45	3,45	-	-
12	4,05	3,79	+	+
Сумма	42,46	43,17

Пример 10. Вычислим коэффициент корреляции Фехнера меж­

ду годовыми удоями тех же коров материнского поколения и и;·

одновозрастного потомства. Необходимые данные и их обработК<. приведены в табл. 106.

Средние арифметические: х=42696/12=3558,00; у=

=45639/12=3903,25. В данном случае число совпадающих зн<­ ков С=8, а число несовпадающих знаков Н=4. Отсюда гф=

= (8-4)/(8+4) =0,33. Следовательно, можно утверждать, ЧТt

между годовым удоем коров материнского поколения и и;·

одновозрастного потомства существует более слабая связь, че~

вотношении жирномолочности между теми же группами к(,

ров.

Коэффициент корреляции рангов. Из непараметрических nl1

казателей связи наиболее широкое применение нашел коэффици­ ент корреляции рангов, предложенный К. Спирменом (1904):

,s=l- 6~d2 ,	(163
n (n2 -1)

238