uchebnik10

Если члены генеральной совокупности распределяются HOP~

мально, то и разности между ними будут распределяться HOP~

мально и случайная величина t= (d-D)/s'd будет иметь распре~

деление Стьюдента с k=n-l степенями свободы. Но-гипотеза

сводится к предположению, что J.!.1-J.!.2=D =0. Отсюда t-крите­

рий выразится в виде отношения ошибке, т. е. t=d/S{{. Если tф~tst

чимости и числа степеней свободы

за должна быть отвергнута.

средней разности к своей Д.lIЯ принятого уровня зна­ k=n-l, то нулевая гипоте­

Прu.мер 3. На протяжении ряда лет в условиях Одесской

опытной станции изучали влияние черного и апрельского пара

на урожай	ржи.	Результаты		опыта		учитывали		по массе
1000 зерен	(табл.	36).
								Таблнца 36
			Масса 1000 зерен по годам опыта
Посев на	пару	1898	1899	1901	1902	1903	1904	Среднее
Апрельскому		31,6	24,2,	24,8	29,1	29,9	31,0	28,43
Черному		31,1	24,0	24,6	28,6	29,1	30,1	27,91
Разность d,		0,5	0,2	0,2	0,5	0,8	0,9	а=О,52
Квадрат разностн d i 2		0,25	0,04	0,04	0,25	0,64	0,81	~d,2=2,03

в табл. 36 приведены выборки с попарно связанными вари­

антами: несомненно, что каждый год имел свои специфические

условия, которые одинаково влияли на урожай ржи, посеян­

ной как по черному, так и по апрельскому пару. Поэтому обра­

батывать полученные данные нужно с учетом тех условий, n которых проводили эксперимент. Из табл. 36 видно, что уро­

жай ржи по апрельскому пару несколько выше, чем по черно­

му. Средняя разность a=J:.di/n=3,1/6=0,52 г. Определяем

ошибку этой разности:

Sa=V+[ 2,~з -(0,52)2J=( 0,34~0,27 -VО,014=0,12г.

u	t		0,52	4,33.	Для k=6-1 =5 и а= 1% tst=4,03
Критерии		ф=---'--
			0,12
(см. табл. V ПРИ,10жениЙ).					Так как fф>fst,	то Но-гипотезу
отвергают	на		высоком	уровне значимости		(0,001 <Р<О,ОI).

Следовательно, с вероятностью Р>0,99 можно утверждать, что

разница между сравниваемыми выборками статистически дoc~

товерна.

Прu.мер 4. В результате семилетних исследований урожай­ ности ячменя и овса в условиях нечерноземной зоны РСФСР были получены следующие данные (табл. 37).

119

					Таблица 37
	Урожай, ц!га
Годы			Разннца d,	d;-d	(d;-d)'
	ячменя	овса
1928	7,7	8,26	-0,56	-1,54	2,37
1929	9,0	7,22	1,78	0,80	0,64
1930	9,4	8,43	0,97	-0,01	0,00
1931	7,4	5,57	1,83	0,85	0,72
1932	7,4	6,35	1,05	0,07	0,00
1933	10,9	8,00	2,90	1,92	3,69
1934	8,0	9,13	-1,13	-2,11	4,45
Сумма	59,8	52,96	+6,84	-	11,87
Среднее	8,54	7,56	0,98	-	-
Разница	между средним		урожаем ячменя и овса		составила
8,54-7,56=0,98 цjгa.		Ошибка этой разницы S(j= 11			1187	=
					7·6'

= V 0,283=0,53. Отсюда tф=0,98jО,53= 1,85. Эта величина не

превышает критический уровень ts t=2,45 для 5%-ного уровня значимости и числа степеней свободы k= (7-1) =6. Следова­

тельно, нулевую гипотезу здесь отбросить нельзя.

Оценку средней разности можно произвести по доверитель­

ному интервалу, построенному на основании полученной разно-

сти d и ее ошибки Sii. Если нижняя граница доверительного

интервала окажется с положительным знаком, это будет сви­

детельствовать о достоверности разницы. Если же нижняя гра­

ница доверительного интервала будет с отрицательным зна­

ком, это будет служить указанием на случайный характер наблюдаемой средней разности.

Так, в примереЗd±tSii =0,52+1,96·0,12=0,52±0,24. Нижняя

граница 95%-ного доверительного интервала (0,52-0,24=0,28) оказалась с положительным знаком, тогда как в примере 4

d±ts.:t=0,98+1,96.0,53=O,98+1,04 и нижняя граница довери­

тельного интервала (0,98-1,04=-0,06) оказалась с отрица­

тельным знаком, -что не дает основания для отклонения нуле­

вой гипотезы.

О Ц е н к а раз н о с т и м е ж Д у д о л я м и. Выборочная

доля зависит от числа единиц в выборке, имеющих учитывае­

мый признак, а общее число таких единиц в генеральной сово­

купности определяет генеральную долю Р. Оценкой разности

между генеральными долями P.-P2=D служит разность меж­

ду выборочными долями Pl-P2=d. Отношение этой разности к своей ошибке дает случайную величину t=d/Sdp ' которая

следует t-распределению_Стьюдента. Но-гипотезу, или предпо­

ложение о том, что Рl =Р2, отвергают, если tф~tst для k=nl + +n2-2 и принятого уровня значимости а. Ошибка разности

между долями, взятыми из приблизительно равиовеликих выбо­ рок (когда численности групп различаются не более чем на

25%), вычисляют по формуле

Sd = Vr	Рl(1 -	Pt) + Р2(1 - Р2) =	Vl	Ptqt -t-	pzqz, (81)
р	nl	n2		n!	n2
где q= l-р.	Если доли выражены в		процентах от общего чис­

ла наблюдений, ошибку разности между ними определяют по

формуле

/-P-1-(-1O-O--P-t)--p-z-(-IO-O--p-z-)			.
Sdр= V		-г		(82)
	nl	n2
Сопоставляемые группы nl и n2 могут быть выражены абсо­
лютными числами ml	и m2. Ошибка наблюдаемой между ними

разности определяется по следующей формуле:

(83)

но так как ml!nl=Рl; m2!n2=Р2; (nl-ml)!nl=ql; (n2-m2)!n2=

=q2, то формулу (81) можно представить и в таком виде:

Sdp = V n1Pt (1- Pl)+n2P2(1- Р2)=V ntP1Ql +n2PzQ2.'

Когда сравнивают доли из неравновеликих выборок и при 75% <р<25%, ошибку разности между ними определяют по

формуле

(84)

Р определяют как средневзвешенную из Рl И Р2 долей, или же из абсолютных численностей групп:

Р=	Pt nl + Р2n2 -= ml + m2		•	(85)
	nl + nz	nl + nz
В этих формулах	nl и n2 -	численности	групп, на	которых

определяют доли РI = ml/nl и Р2= m2!n2. Если доли выражают

в процентах от n, то вместо q= l-р нужно брать q= 100-р.

Если же неравновеликие группы выражены абсолютными чис­ лами ml и m2, ошибку разности между ними определяют по

формуле

• (86)

121

прuм.ер 5. В потомстве от скрещивания двух золотисты;

хомячков с самками-альбиносами того же вида было полученс

в первой группе - 14 золотистых и 9 особей-альбиносов, а вс второй группе - 12 золотистых и 8 особей-альбиносов. РаЗНl<

ца между полученными в потомстве золотистыми особями сс, ставила 14-12=2 единицы. Определяем ошибку этой разниць:

	, ------
Sd = 1/		14·9 + 12·8		='V 10,28=3,2.
р	V	23	20
Критерий tф=2/3,2=0,62			(эта величина не		превосходит тои­
ку ts l=2,02 для	k=23+20-2=41			и 5%-ного	уровня значим(,

сти; см. табл. V Приложений). Отсюда ясен вывод: Но-гипс.

тезу отвергнуть не.пьзя; разница между численностью золоти~

тых хомячков, полученных в потомстве разных производителеf.

оказалась статистически недостоверноиu.

Прuм.ер 6. Изучали влияние эндотоксина на выживаеМОСТr

облученных животных. Результаты опыта приведены в табл. зс..

Таблица 3~

группы животных

Выжило

Погнбло

Всего

I(онтрольная

Опытная

В с ег о

3 (21,4%)	11	(78,6%)	14
23 (63,9%)	13 (36,1 %)		36
26		24	I 50

Доля выживших в контроле р, =3/14=0,214; в опыте Р2=

=23/36=0,639. Разница dp =0,639-0,214=0,425. Нужно наЙТl

ошибку этой разницы. В данном случае объемы выборок (n, =

= 14 и n2= 36), из которых взяты для сравнения доли живот

ных, различаются более чем на 25 %. Определяем взвешеннуlt

долю: р 0.2i4.14+0.639·36	з-i-23 =052'	=1-052=04t
14 + 36	50' ,q	,	,

Подставляем найденные величины р и q в формулу (84):

Sdр= 1V/' 0,52.0,48(~+~)=yo,025=0,157.

14 36

Критерий t=0,425/0,157=2,71 превосходит критическую то(;­

ку tst=2,70 для k=50-2=48 и 1%-ного уровня знаЧИМОСТl:

Нулевая гипотеза опровергается на высоком уровне знаЧИМОСТl'

(Р<О,ОI). Следовательно, с вероятностью более 99% можнс

судить о положительном действии эндотоксина на выживаt-·

мость подопытных животных.

122

Описанные выше критерии проверки равенства долей в двух

выборках оказываются пригодными	при не слишком	больших
и не слишком малых значениях р	(25% <р<75%).	Особенно

это относится к случаю небольших выборок. Свободным от

подобного рода ограничений и поэтому более универсальным

оказывается способ проверки равенства долей, основанный на использовании угловой трансформации (fP-nреобразования Фи­

шера). При этом методе сравниваемые доли выражают в про­ центах с введением поправки йейтса на непрерывность, равной

'/2n, которую вычитают из большей и прибавляют к меньшей

доле. Затем по таблице значений 'Р = 2 arcsin Vр

(см. табл.

VIII Приложений) находят величины для исправленных долей:

р,%+100/(2n) и Р2%-100/(2n), берут нх разность и относят

ее к ошибке, определяемой по формуле

(87)

Условием для непринятия нулевой гипотезы служит следующее

выражение:

t	Cf'1-1f2	('P,-tbl" /	nln2 ~tst
ф	Vl/nl+l/n2	V	n,+n2

для k=nl +n2-2 и принятого УРОБНЯ значимости.

Так, относительно оценки влияния эндотоксина на выживае­

мость облученных животных (см. табл. 38) имеем: контроль

(р, %) 21,4+ 100/(2.14) =24,97%; опыт (Р2%) 63,9-100/(2·36) =

=62,51%. По табл. VIII Приложений для Pl=24,97						находим
<Pl = 1,047 и для Р2=62,51 <Р2= 1,824.				Отсюда критерий достовер­
ности
	1,824 -		I .047	0.777	=247.
	.. ; -	1	1	0.315	'
	V	14+ 36
Эта величина	превосходит		критическую		точку tst= 1,96 для
k= 14+36-2=48 и а=5%			(см. табл. V Приложений). Нулевая
гипотеза опровергается		на	уровне	значимости (0,01 <Р<0,05).
Оценка	разности между выборочной					и гене­
р а л ь н о й д о л я м и.		При оцеике		разности между		известной

генеральной долей Р и долей выборки р нулевая гипотеза сво­

дится к предположению, что разница между ними возникла

случайно. Критерий Стьюдента в таких случаях выражается в виде отношения разности (Р-р) =dp к своей ошибке, которую определяют по формуле

рО -р) ,

(88)

n

123

где n-объем выборки. Как и в предыдущих случаях, усло­

вием для непринятия нулевой гипотезы служит критерий

Iф= Р-Р/ ';;:- 1st для	k =n-l	и принятого уровня значимо-
Sd p
сти (а).
Пример 7. Изучали	влияние	возраста производителей на

пол потомства у крупного рогатого скота. Для спаривания с разновозрастными быками подбирали коров одинакового воз­

раста. Результаты испытаний приведены в табл. 39.

							ТаБJlица 39
	РОДИJlОСЬ телят			-	Ошибка
Возраст
			Доля		разности		Критерий
быков.		нз них	телок р	Р-р	Sd	p	tф
лет (от-до)	всего
		телок
2-3	141	77	0,55	0,05	0,043		1,16
4-5	89	43	0,48	0,02	0,053		0,38
6-7	88	41	0,46	0,04	0,053		0,75
>7	118	49	0,42	0,08	0,046		1,74

Доля	телок в	генеральной совокупности						принята		равной
Р=О,50.	Ошибку	разности			между	генеральной и			выбоnочной
долями	определяли		по	формуле		(88): Sd	р	=. /	O,5·0~5 =
= 110,0018=0,043								v	141
			и т.	д.	В табл. 39 приведены					значения

tф-критерия Стьюдента для каждой группы. Поскольку все они

не превосходят критическую точку ts t=2,0 для 5%-ного уровня значимости (см. табл. V ПРJf.lIOжениЙ), нулевая гипотеза оста­

ется в силе. Вопрос о влиянии возраста производителей на пол

потомства в данном исследовании остался открытым.

F-критерий Фишера (F-распределение). Для проверки

Но-гипотезы о равенстве генеральных дисперсий (0'21 =0'22) нор­

мально распределяющихся генеральных совокупностей t-крите­

рий оказывается недостаточно точным, особенно при оценке разности дисперсий малочисленных выборок. В поисках лучше­

го критерия Р. Фишер нашел, что вместо выборочной разности

81-82 удобнее использовать разность между натуральными ло­

гарифмами этих величин, т. е. ln 81-ln 82, где 81~82' Эта раз­

ность, обозначенная Фишером буквой z, распределяется нор­

мально при наличии как больших, так и средних по объему

статистических совокупностей.

При определении величины z можно вместо иатуральных

использовать десятичные логарифмы, так как z= 2,3026 (lg 81-

-lg 82) или	z=2,3026 19 (81/81), а также z= 1,1513 19 (821/822),
где 521:>822.	д. Снедекор предложил вместо логарифма отноше-

194

ний использовать отношения выборочных дисперсий, обозначив

этот показатель в честь Фишера буквой Р, т. е.

			-	2/2	2'-.	2	(89)
			F -51 52		при 51 -:7	52'
Так	как	принято	брать		отношение	большей	дисперсии к
меньшей, то		критерий P~1. Если 521 =522, то р= 1.					Чем значи­
тельнее	неравенство		между выборочными дисперсиями, тем

больше будет и величина Р, и, наоборот, чем меньше окажется

разница между дисперсиями, f(F}

тем меньше будет величина Р.

Величина F имеет непре-

рывную функцию распределе­

ния и зависит только от чисел

степеней свободы k1=n1-1 и • k2=n2-1. F полностью опре­

деляется выборочными дис­

персиями и не зависит от ге­

	неральных		параметров,	так		F
	как предполагают, что			срав­	Рис. 21. График плотности вероятио­
	ниваемые выборки, характери­
					сти F-распределения для типичиых
	зуемые дисперсиями 512 и 522,				значений степеии свободы k 1	и k2 И
	взяты из	генеральных		сово­	критические граиицы Р\ и	Р2 (по
	купностей	с	(}'1 2=(}'22 или из		Н. В. Смирнову и Дунииу-Варковско-
	одной и той		же генеральной		му, 1965)

совокупности. Функция рас-

пределения возможных значений величины F при небольшом n

имеет форму асимметричной кривой, которая по мере увеличе­ ния числа испытаний (n-+оо ) приближается к кривой нормаль­ ного распределения (рис. 21).

Функция F-распределения табулирована для 5%-ного (р= =0,05) и 1%-ного (Р=0,01) уровней значимости и чисел сте­ пеней свободы k1 для большей дисперсии и k2 для меньшей. Критические тОЧки для F-критерия содержатся в табл. VI При­

ложений. В этой таблице степени свободы для большей дис­

персии kl расположены в верхней строке (по горизонтали), а

степени свободы	для	меньшей дисперсии k2 -	в первой графе
(по вертикали).	Если	сравниваемые выборки	извлечены из

одной и той же генеральной совокупности или из разных сово­

купностей с дисперсиями (}'21 и (}'22, равными друг другу: (}'21= (}'22,

то величина F-критерия не превысит критические точки (Fst), указанные в табл. VI Приложений для k l и k2, И принятого

уровня значимости а. Если же выборки взяты из разных сово­ купностей с их параметрами (}'21 и (}'22, не равными друг другу,

то Fф~Fst И нулевая гипотеза должна быть отвергнута. Пример 8. В табл. 35 содержатся данные о влиянии кобаль­

та на массу тела кроликов. Рассчитанные для этих данных

дисперсии таковы: в опытной группе 521 =2596,3, в контроле

125

S22 =3579,0.	дисперсионное		отношение Р=3579,О/2596,3= 1,3.
В табл. VI	Приложений для 5%-ного			уровня значнмости
(Р=0,05) и	чисел степеней		свободы k 1 =9-1 =8 (см. верхнюю
строку таблицы)		и k2 =8-1 =7 (см. первую графу той же таб­
лицы) находим		F8 t=3,5. Так как Fф<F8t,		нулевая гипотеза

остается в силе (Р>0,05). Это означает, что генеральные пара·

метры сравниваемых групп а2 1 = а22 И	что применение		t-крите­
рия для проверки Но-гипотезы в отношении		оценки	разности
между выборочными средними .1:1 и Х2	имеет	достаточные осно­

вания.

F-критерий можно применить и для оценки разности между долями из иеравновеликих выборок. Нулевая гипотеза отвер­

гается при условии, что

При этом k 1 находят по горизонтали, а k2 - в первом столб­ це табл. VI ПриложеииЙ. Так, обращаясь к примеру 6 о влия­

нии эндотоксина на выживаемость подопытных животных (см.

табл. 38), имеем <l'1=J,047 и <1'2=1,824. Значения <1'1 и <1'2 най­

дены по табл. VHI Приложений. Учитывая, что nl = 14 и n2=36,

находим р= (1,824-1,047)214·36/(14+36) =0,604(504/50) =6,09.

Для k1 = 1, k2 =48 и 5%-ного уровня значимости критическая точка F8 t=4,0 (см. табл. VI Приложений). Но-гипотеза опро­ вергается на 5%-ном уровне значимости (Р<0,05). Таким об­

разом подтверждается ранее сделанный вывод о положитель­

ном влиянии зндотоксина на выживаемость подопытных жи­

вотных.

Если оценивают разность между средними Хl и Х2 выборок,

извлеченных из совокупностей, которые распределяются по за­

кону Пуассона, F-критерий строят в виде отношеиия

- Хl	'Р		(k	=2(X +l);
Рф- _	~ st	для	1	_	z
Xz + 1			k2=2xl
И принятого уровня значимости (а).
Оценка разности	между	коэффициентами вариации. Раз­

НОСть между коэффициентами вариации сравниваемых групп,

извлеченных из нормально распределяющихся совокупностей,

можно оценить с помощью t-критерия Стьюдента. Приближен­ ной оценкой разности CVI-СV2=dсlJ служит ее отношение к

своей ошибке, которая равна корню квадратиому из суммы ошибок коэффициентов вариации сравниваемых групп, т. е.

SdCv = VS~Vl+s~v..

(90)

Нулевую гипотезу отвергают, если tф>fst для принятого уровня

значимости и числа степеней свободы k=nl +n2-2.

126

Прuм.ер 9. Выше было найдено (см. табл. 35), что опытная

(n! =8)	и	контрольная		(n2=9) группы кроликов характеризу­
ются средними			Х! =638		и Х2=526 г.	Соответственно
8! = V 2596,3=50,95 и					S2'= V 3597,0=59,97. Отсюда			Си! =
= 100(50,95/638) =8,0%				и Си2= 100(59,97/526) =			11,4%.	Разннца
dco = 11,4-8,0=3,4%. Определяем ошибки этих							показателей по
формуле (65):
6со.= 1 /		-(8-'0-)2-[-0-,5-+-'-(-8-,0-)-2] = У9,143·0,506=V4,63=2,15;
	V	8 - 1			100
sCv.=	/	(11 ,4)2	l0,5+		(11'4)2= V 16,245·0,513=5,04=2,24.
	};	9 -1			100
Ошибка разности			sdcv=Y2,15+2,24 =У4,39::::::: 2, 10.					Крите­
рнй tф=3,40/2,10= 1,62.				Эта величина не превосходит критнче­
скую точку ts t=2,13 для k=8+9-2= 15						и а=5%, что		не дает

основания для отвергания нулевой гипотезы.

Разность между коэффициентами варнации можно оценить

путем сопоставления доверительных интервалов, построенных

для генеральных параметров сравниваемых групп. При этом границы доверительных интервалов определяют по формулам

			Рн=		Си
				1 + К У 1 +2CV2				(91)
			Рв =		Си	,		(92)
				1 -	К У 1 + 2Си2
где Рн -	нижняя,	t	а Рв -	верхняя границы			доверительного	ин­
тервала;	К=		;	t -	нормированное		отклонение	(для

2 (n - 1)

<Хl=5% t=I,96).

Определим границы доверительного интервала для опытной

группы, выразив коэффициент вариации в долях единицы, т. е.

Си=0,08:

к	l,~ =0,52;				Р	н	=	~08		=0,08=0,053,
	i 2·7						1 + 0,52	1 +2·0,082		1,52
или	5,3%;	Р	в	=			0,08	_	0,08	-0,167, или
					1 -0,52 Vl +2.0,082				0,48

16,7 %.

Аналогично определяем границы доверительного интервала

для контрольной группы:					= 0,114
К	1,96	=049'	Р =	0,114
	= V2.8	"	и	1 +О,49Уl +2·0,1142	1,496

127

	=0,076, или	7,6 %;	р =	0,114	_ 0,114	0,226,
			в	1-0,49VI+2.0,1142	0,504

или 22,6%.

Итак, в первом случае границы доверительного интервала оказались от 5,3 до 16,7%, во втором - от 7,6 до 22,6%. Таким

образом, границы доверительного интервала, построенного для

контрольной группы, близки к границам интервала опытной

группы кроликов, что указывает на отсутствие существенных

различий между коэффициентами вариации этих групп.

У.3. НЕПАРАМЕТРИЧЕСКИЕ КРИТЕРИИ

Правильное применение параметрических критериев для про­

верки статистических гипотез основано на предположении о

нормальном распределении совокупностей, из которых взяты

сравниваемые выборки. Однако это не всегда имеет место, так

как не все биологические признаки распределяются нормаль­

но. Немаловажным является и то обстоятельство, что исследо­

вателю приходится иметь дело не только с количественными, но и с качественными признаками, многие из которых выра­

жаются порядковыми номерами, индексами и другими услов­

нЫми знаками. В таких случаях необходимо использовать

неnараметрические критерии.

Известен целый ряд непараметрических критериев, среди

которых видное место занимают так называемые ранговые кри­

терии, применение которых основано на ранжировании членов

сравниваемых групп. При этом сравниваются не сами по себе

члены ранжированных рядов, а их порядковые номера, или ран­

ги. Ниже рассмотрены некоторые непараметрические критерии,

применяемые для проверки нулевой гипотезы при сравнении как независимых, так и зависимых выборочных групп.

Х-критерий Ван-дер-Вардена. Этот критерий относится к

группе ранговых критериев, его применяют для проверки нуле­

вой гипотезы при сравнении друг с другом независимых выбо­

рок. Техника расчетов Х-критерия сводится к следующему. Сравниваемые выборки ранжируют в один общий ряд по воз­

растающим значениям признака. Затем каждому члену ряда

присваивают порядковый номер, отмечающий его место в об­ щем ранжированном строю. Далее по порядковым номерам

одной из выборок, обычно меньшей по объему, находят отно­

шение R/(N+l), где N+l=nl+n2+1, т. е. сумма всех членов

сравниваемых групп, увеличенная на единицу, а R - порядко-

u

выи номер членов ряда, их «ранг».

С помощью специальной таблицы (см. табл. IX Приложе­ ний) находят значения функции ф[Ri(N+ 1)] для каждого зна­ чения R/(N+i). Суммируя результаты (обязательно с учетом

знаковl), получают величину Хф=2::ф[R/(N+l)],которуюсрав-

128