uchebnik10

'де xj='f,xi!n - групповые средние; 'f,XA - сумма групповых ~редних для каждой из градаций фактора А; 'f,XB - сумма груп­

IOвых средних для каждой из градаций фактора В; а - число

'оадаций фактора А; Ь - число градаций фактора В (в груп­ !аХ А); n - численность вариаит в отдельных градациях комп­

"екса; N ='f,n - объем комплекса.

Пример 15. Изучали действие сока и паров чеснока, лука и lерца на заживление ГНОЯЩихся раи. Исследование проводили

Ia одновозрастной группе подопытных животных. Эффект оце­ _швали в условных единицах (в баллах). Результаты опыта Iриведены в табл. 78.

Таблица 78

Способ воздействия

Чесиок

Лук

Перец

Средиее

СОК

Пары

Среднее

~

Х,

n

~XI

~Хiln=Жi

Жi2

(~Xi)2/n

~Xi2

~ЖА

(~ЖАIЬ)2

~ЖВ

(ив/а)2

	7867	7652		3265		5,33
	546	5364		2433		4,09
	6,14		4,75	3,50		-
						Таблица 79
	А,		А,	А,
				В,		Сумма
В,	В,	В,	В,		В,
786	546	765	253	236	243	а=3
7			64	5	3	Ь=2
4	3	3	5	4	4	N=23
28	15	18	20	16	12	109
7,0	5,0	6,0	4,0	4,0	3,0	29
49	25	36	16	16	9	151
196	75	108	80	64	36	559
198	77	11 О	90	74	38	587
7+5=12		6+4=10		4+3=7		-
(12/2)2=		(10/2)2=		(7/2)2==		h A =73,25
=36,00		=25,00		= 12,25
7+6+4=17			5+4+3=12			-
I	32.,14		I	16,00		h B =48,14

189

Обозначим изучаемые факторы через А, а способы их воз­

действия - через В и подвергнем эти данные дисперсионному

анализу. Расчет вспомогательных величин приведен в табл. 79.

Для определения общих девиат сначала находим величину

Н= а:х,)2 _ 1092 =516,56.			Рассчитываем				общие девиаты:
N	23					аЬ
D ='f.xi2-	H =587-516,56=70,44; D			Х	=	",<'f. x,)2 -Н=559-
v						,.;,.	n
						J
-51 6,56= 42,44 и De= 70,44-42,44=28,00.
Числа	степеней	свободы:	ky=N-l=23-1=22; kx=ab-
-1=3·2-1=5;		ke=N-аЬ=23-6=17.				Дисперсии: si=

=42,44/5= 8,49; se2 =28,OO/17= 1,65. Отсюда Fф=8,49/1,65=5,1.

Эта величина превосходит критическую	точку Fs t=4,34	для
а= 1%. Следовательно, нулевую гипотезу	отвергают на	высо­

ком уровне значимости (Р<О,ОI).

Переходим к расчету некорректированных девиат. Предвари-

тельно определяем величину Н=( ~x, )2=( 29 )\2 =23,3. Под-

	аЬ	3·2
ставляем известные величины в	формулы	(132), (133), (134)
и (135):
D~=N( ~a~~ -Н)=23( 1:1	2з,36)=23.1,807=41,56;

D~=N (h: _Н)=23e3~25_ 2з,36)=23.1,507=24,31;

D~=N( :~-H)=23(48~14-2з,36)=23.0,71= 16,33;

D~B=D~- (D~+D~)=41,56 - 24,31 +16,33=0,92.

Проверяем правильность расчетов: D'x=D'A+D'B+D'AB= =24,31+ 16,33+0,92=41,56. Расчет девиат произведен правиль­

но. Находим поправочный коэффициент: K=Dx/D'x= ==42,44/41,56= 1,0212. Исправляем факториальные девиаты:

DA=D'AK =24,31·1,0212=24,82; DB=D'BK= 16,33·1,0212= 16,68;

DAB =D'ABK=O,92·1,0212=0,94. Проверяем . правильность рас­

четов: 24,82+ 16,68+0,94=42,44=Dx. Расчет девиат произведен

правильно.

Определяем числа степеней свободы для факториальных

дисперсий: kA=a-l=3-1=2; kb =b-l=2-1=1; kAB =

=kAkB=2·1 =2; ke= 17 (см. выше). Относим девиаты к числам

степеней свободы и сводим результаты анализа в заключитель­

ную таблицу (табл. 80).

Из данных табл. 80 ясно, что нулевая гипотеза отвергается на высоКом уровне значимости (Р<О,ОI) как в отношеиии фак-

190

~'opa А, так и в отношении фактора В; недоказанным остается

:овместное влияние этих факторов на результативный признак.

~ледовательно, достоверно установлено, что лечебный эффект

JT использования препаратов лука, чеснока и перца при лече­

!ии гнойных ран различен. Доказано, что эффективность лече­ :!ия этими препаратами зависит и от способов их применения.

Таблица 80

						F,t
Варьироваиие	Степеии	Девиаты	Диспе~.	Fф
	свободы k	D	сии s		5%	1%
По фактору А	2	24,82	12,41	7,5	3,59	6,11
По фактору В	1	16,68	16,69	10,1	4,45	8,40
Совместно АВ	2	0,94	0,47	0.28	3,59	6,11
Остаточное	17	28,00	1,,65	-	-	-
Общее	22	70,44	-	-	-	-

в тех случаях, когда выборка распределяется в вариацион­ iЫЙ ряд удобной формой группировки исходных данных, под­

-,ежащих дисперсионному анализу, служит решетчатая (корре1Яционная) таблица.

Пример 16. Изучали продуктивность пчелиных маток трех 'рупп различных пород (фактор А) в зависимости от условий

IХ расплода (фактор В). Продуктивность маток (результатив­ IЫЙ признак Х) оценивали по числу отложенных яиц (в сотнях uтук) В среднем за два года. Полученные результаты и их об­

)аботка приведены в табл. 81.

Здесь через f обозначены частоты классов (групп), распре­

~еленные по ячейкам таблицы; ах - отклонения равноотстоящих

'рупп от условного нуля. Остальные символы объяснены выше.

Как и в предыдущем примере, предварительно находим ве-

,ичину Н= (~faxL= 1162		= 269, 12 и определяем общие де-
N	50
шаты: Dy='f. ('f.fax2 )-H =334-269,12=64,88; Dx = ~			(~~ax)2_
-Н= 293,3-269, 12 = 24, 18;		De =64,88-24, 18 = 40,70.	Числа
:тепеней свободы:	ky =50-1=49; kx =3·2-1=5; ke =50-6=

=44. Дисперсни: 5х2 =24,18/5=4,836; 5е2 =40,70/44=0,925. От­

;юда Fф=4,836/0,925=5,23.	В табл. VI Приложений для			а=
=1 %; kx =5 и ke=44 находим '81=3,5. Нулевую			гипотезу от­
,ергают на высоком уровне значимости (Р< 0,0 1) .
Находим Н=( ~Х/ )2= (13,94)2		5,40. Рассчитываем		фак-
аЬ	(3·2)
"ориальные (некорректированные)		девиаты по	формулам
132)-(135).

191

:(/

20-21,9	5
18-19,9	4
16-17,9	3
14-15,9	2
12-13,9	1
10-11,9	О

n

'2.fаж

'2.Та,,2

(~fax'2

n

"i.!ах	=х-·
n	I
х!2

'2.ХА

( "i.~A У

'2.Хв

( "i.: B У

	А,		А!			А.
аж	В,	В,	8,	В,	81	в,

1	1	2	1		1
4	2	1	2	2	3
3	4	3	4	3	3
1	1	1	3	2	2
9	8	7	10	7	9
32	19	18	21	14	12
120	51	54	53	32	24
113,8	45,1	46,3	44,1	28,0	16,0
3,56	2,38	2,57	2,10	2,00	1,33
12,67	5,66	6,60	4,41	4,00	1,77

3,56+2,38=5,94 2,57+2,1=					2,0+1,33= [
			=4,67			=3,33
( 5,:4 2) = 8,82 (			4~7 У=		(	3;3 У =
			=5,45			=2,77
3,56+2,57 +2,00=8,13				2,38+2,10+1,33=
					=5,81
( 8,13	У	=7,34		( 5,81		\2
3					3	) = 3,75

Табllица 8

Сумма

а=3

Ь=2

N=50

116

334

293,3

13,94

35,11

-

h A =17,D4

-

hB=11,o9

Табllица 8~

						F. t
	Степеии	Девиаты	Дисперсии		5%	1%
Варьироваиие	свободы k	D	..'	Fф
По фактору А	2	15,05	7,52	8,1	3,21	5,12
По фактору В	1	8,06	8,06	8,7	4,06	7,25
Совместно АВ	2	1,07	0,54	0,58	3,21	5,12
Остаточное	44	40,70	0,925	-	-	-
Общее	49	64,88	-	-	-	-

192

D~= 50e5~11- Н)=50 (5,85-5,40)=50·0,45=22,5;

D~= 50 С7~04- Н)=50 (5,68 - 5,40) =50 ·0,28= 14,0;

D~= 50 CI~09- Н)=50(5,55 - 5,40)=50·0, 15=7,5;

D~в=22,Б- (14,0+ 7,5)= 1,0.

Поправочный коэффициент K=Dx/D'x=24,18/22,50=1,0747.

Корректируем неисправленные	девиаты: DA = 14,0.1,0747=
= 15,05; DB=7,5·1,0747=8,06;	DAB= 1,0·1,0747= 1,07. Опреде­

лив числа степеней свободы, сводим результаты анализа в таб­

лицу (табл. 82).

Нулевую гипотезу отвергают на высоком уровне значимости

в отношении как фактора А, так и фактора В (Р<О,ОI). Сов­ местное влияние факторов АВ не установлено.

Для облегчения вычислительной работы желательно, где это

возможно, переводить неортогональные комплексы в ортогональ­

ные путем исключения «лишних» наблюдений из соответствую­

щих градаций. При этом исключение должно быть случайным,

нетенденциозным.

Оценка силы влияния факторов. Силу влияния того или иного

фактора или их совместного действия на результативный при-

			u
знак определяют с помощью следующих показателеи:
2	-2	2	(136)
hA=SA/Sy;
2	-2	2	(137)
hB=SB/SY;
2	-2	2	(138)
hAB=SAB!SY'
где §2А= (s2A-s2е)/Ьn, 82в= (s2b-s2е)/аn			И S2 AB = (S2 AB-

-52е) /n - факториальные дисперсин, определяемые по значе­

ниям межгрупповых (<<неисправленных») И остаточной диспер­

сий с учетом числа групп а в градациях фактора А и числа

групп Ь в градациях фактора В, а также численности вариант в

группах n. Если комплекс неравномерный или пропорциональ­

ный, величину n определяют по формуле

n= 1	{N _ ~ (n[)2 }.	(139)
ab-l	N

Знаменателем в формулах (136)-(138) служит величнна

S2y=§2A+S2B+S2AB+S2e. Причем, если влияние одного из регу­

лируемых факторов или их совместное действие на результатив­

ный признак не установлено, т. е. статистически недостоверно,

этот компонент из знаменателя исключают.

Прu.мер 17. При выяснении влияния микроэлементов (фак-

7-1674

193

80).

s2 B=2,65;

тор А) и породных свойств (фактор В) на жирномолочность

коров (признак Х) достоверным оказалось лишь влияние факто­ ра В. Определить силу влияния этого фактора на признак. Выше

было найдено: S2B=2,65; s2e =0,26; n=3 и а=3. Определяем

52в= (2,65-0,26)/(3·3)=2,39/9=0,266. Подставляем нужные данные в формулу (137): h2 b=0,266/(0,266+0,26) =

=0,266/0,526=0,50. Тот же показатель, определяемый по спосо­ бу Плохинского, оказывается несколько выше:'h2 B=DB/Dy = =7,94/15,78=0,53. Проверим достоверность этого показателя.

1. По Снедекору, h2B =0,50. Исходные данные:

s2e=0,26; N=36; Ь=4 (см. табл. 71). Отсюда Fф=2,65/0,26=

=10,2. По табл. VI Приложений для kb =b-l=4-1=3; ke=

=N-b=36-4=32 и а=l% находим Fst =4,46. Так как

Fф>Fst, нулевую гипотезу отвергают на высоком уровне значи­ мостн (Р<О,ОI).

2. По Плохинскому, h2B =0,53. Ошибка показателя силы

влияния sh 2в= (1-0,53) (4-1) / (36-4) = 1,41/32=0,044. Отсюда

Еф= 0,53/0,044= 12,05. Эта величина превышает Fst=4,46, что

позволяет отвергнуть нулевую гипотезу на высоком уровне зна­

чимости (Р<О,ОI).

Прu.мер 18. Определить силу влияния фитонцидов лука, пер­

ца и чеснока (фактор А), а также способов их воздействия (фак­ тор В) на заживление гнойных ран (признак Х). В данном слу­ чае комплекс неравномерный. Здесь N=23; а=3; Ь=2 (см.

табл. 79); s2A =12,41; s2B=16,68; s2e=I,65 (см. табл.

Находим усредненную величину n (по Снедекору) :

n=	1	-(23 _	42	+32 +32 +52 +42 +42 )=з.81.
3·2-1				23
Рассчитываем	факториальные дисперсии:				~2	s~ -s~	-
					SA=	nЬ
12,41-1.65	_	10.76 =	1 412'		16,68 - 1,65
= 3,81.2					---"--=
		7,62	"	nQ		3,81.3

=15.03 = 1 315.

11.43'

Знаменатель		S2	y					откуда
			= 1,412+ 1.315+ 1,650=4,377,
= 1,412	О з~. h'l _				1,315	=0300- h2 =	1,650		-о 377•
••377		'	,	в	4,377	' "	4,377		'

Отсюда следует, что доля общей вариации признака, определяе­

мая влиянием фf!.ктора А, равна 32,3%, тогда как доля общей вариации, связанная с влиянием на признак фактора В, равна 30,0%. Остальные 37,7% общей ваRиации признака вызваны влиянием неорганизованных (случайн'ь(х) факторов.

Те же показатели, вычисленные по методу Плохинского, ока­

зались равными h2A-DА/D.=у=24,82/70,44-0,352; h2B =DB/D y-

= 16,68/70,44=0,237; h2 D./DII = 28,ООП0,44= 0,398. Сумма

194

h2A+h2B+h2e==0,352+0,237+0,398=0,987, т. е. не =1. Это и по­

нятно, если учесть, что здесь взяты не исправленные величины,

а просто девиаты и величииа h2АВ не вычислялась; при таких

обстоятельствах сумма всегда будет меньше единицы.

		Проверим достоверность этих показателеЙ.
		1. По Снедекору. Исходные данные:	N=23; а=3; Ь . 2;
S2	A	=]2,4]; S2 B =]6,68; s2 =I,65. Отсюда для h2		A	=0,323 крите­
		e
рий FА= ]2,4]/1,65=7,52. Эта величина			превосходит критиче­

скую точку Fst =5,85 для k=a-]=3-1=2; ke=N-а=

=23-3=20 и а=] %; Ев= 16,68/1 ,65= ]0,]]. Эта величина пре­

восходит критическую точку Fst =8,02 для kb=a-] =2-1 = 1; ke=23-2=21 и а=] %. Но-гипотезу отвергают на 1%-ном уров­

не значимости.

2. По Плохинекому. Ошибка для h2A =0,352 составит
Sh2 =0-0,352)(3- ])/(23-3)=],296/20=0,065. Отсюда				ЕА=
А			превосходит FBt =3,49 для
=0,352/0,065= 5,42.	Эта	величина
k1=2; k2=20 и а=5%. Ошибка для h2B=0,237 состаВИ1				$ь2 =
=(1-0,237)(2-1)/(23-2)=0,763/2]=0,036. Отсюда				ZJ
				Ев=
=0,237/0,036= 6,58.	Эта	величина	превосходит FBt =4,32 для

k1= 1 и k2 =21, а также а=5%. Таким образом, Но-гипотеза от­

вергается по Снедекору на ] %-ном, а по Плохинскомуна 5%-ном уровне значимости (0,0] <Р<0,05).

VII.3. АНАЛИЗ ТРЕХФАКТОРНЫХ КОМПЛЕКСОВ

Выше уже было показано, что с увеличением числа органи­

зованных факторов, воздействующих на результативный признак,

увеличивается и число их возможных сочетаний, усложняется

символика, особенно при определении девиат. В остальном орга·

низация и анализ многофакторных комплексов принципиально

не отличаются от простых комплексов. Схему анализа трехфак­

торного равномерного комплекса можно представить в виде еле·

дующей заключительной таблицы (табл. 83).

Здесь А, В, с- организованные факторы, воздействующие на результативный признак Х; nА=nасколичество вариант в от· дельных градациях фактора А; 1lв= nЬс - количество вариант

в каждой градации фактора В; nс = nаЬ - количество вариант в

каждой градации фактора с; а, Ь, с - число градаций или групп

факторов А, В, с; n -		численность вариант в отдельных града­
циях комплекса; 'f,n=nabc=N- общее число				вариант, входя.
щих В дисперсионный комплекс, его объем; hAB					~(~xАВ)2 -
					nс
-Н; hAC	~(~XAc)2	Н; hBC= ~(~XBc)2 -Н-			вспомогатель.
	nЬ		па
ные величины; Н= ~XI)2			общая для всех	девиат величина.
		N

195

Анализ трехфакторных	комплексов начинают, как обычнс.
с определения ~Xi, ~ (~Xi) 2	И ~X2i. Затем рассчитывают Дf­

виаты общую Dy , факториальную, или межгрупповую, Dx и ОСТе

	точную De; устанавливают числа			степеней свободы ky , kx и "'р
				Таблица 8:
	Вариация		Степенн свободы k	Девиаты D
	Общая		klJ=N-1	Dy=~(~~)-H
	Межгрупповая		k,,=abc-l	D,r= ~(~j}2 _ Н
				n
	Внутригрупповая,			D_==DIJ-D..
	или остаточиая			DA=~(~A)2 -Н
	По фактору А
				ПА
	:.	В	kb =b-l	DB=~(~B)2 -Н
				NВ
		е	k c =c-l	Dc = ~ (~.xc)2 _ Н
				nс
	Совместиого		kA.B=kA.k B	DA.b=hA.b-(DА.+Dв)
	действия АВ
	:.	Ае	kA.c=kA.k c	DA.c=hAC-(DА.+Dс)
	:.	ве	kBC=kBkc	DBC=hbc-(Dв+Dс)

:.Аве kA.BC=kA.kBk c DA.BC=D..-(DА.+Dв+Dс+

+DA.B+DA.c+DBC )

Делением девиат на числа степеней свободы определяют диспег· сии S2 x и s2 e• Дисперсионное отношение находят по факториаЛr ной дисперсии, отнесенной к остаточой дисперсии, т. е. Fф=

=S2x / S 2e (при S2x~S2e). Если Fф~F8t для kx , ke и а, то HO-ГИПl'·

тезу отвергают, что дает основание для перехода к расчету фаъ ториальных девиат DA, DB , DC и девиат совместного деЙСТВИr DAB, DAc , DBC, DABc. Результаты вычислений сводят в заКЛЮЧI­

тельную таблицу с последующими выводами. Таким образом, ка}

и в рассмотренных выше случаях, наибольших усилий и вним"

ния требуют расчеты девиат. Другие действия сравнитеЛЬНl

просты и не требуют дополнительных разъяснений.

Прuм.ер 19. Описанный ход анализа легче усвоить из соответ

ствующего примера. В табл. 84 сгруппированы и частично обр&

ботаны данные о влиянии трех независимых факторов А, В и С На результативный признак Х. Здесь n=4, а=2, Ь=2, С=4 1:Xi - сумма вариант в отдельных группах или градациях КОМГо

лекса, а Xi - групповые средние арифметические. Остальны~

символы понятны из табл. 84. Объем комплекса N = 4·2·2·4= 6·.

Величина Н= 17282/64==46656. Определяем девиаты: DII =1:x2-

196

-Н=48 698-46 656=2042;		D	x	=1:(1: x /)2 -Н= 194092 _
				n	4
- Н= 1867;	De=Dy-Dх= 175.	Числа степеней			свободы: ky=
=N-l =63;	kx= (abc)-I= 16-1= 15;				ke=ky-kx=

=63-15=48. Дисперсия: S2 x= 1867/15= 124,47 и S2 e= 175/48=

=3,65. Критерий Fф= 124,47j3,65=34,10>FBt =2,48 для kx =15.

~e=48 н а=О,ОI. Но-гипотезу отвергают на высоком уровне зна­

лiмости (Р<0,01).

Таблица 84

	Гра:дации			Состав градаций		(XI)				х-•
	факторов
							:ЕХI	(:Exl ),	:Ех/
А	В	С	1	2	3	4
		С\	17	18	21	20	76	5776	1454	19,0
	8\	С2	19	21	22	22	84	7056	1770	21,0
		СЗ	20	22	23	23		7744	1942	22,0
							881
		с.	20	23	24	25		8464	2130	23,0
							92
А\							I
		С\	19	22	24	23	88	7744	11950	22,0
	82	С2	21	22	25	24	92	8464	2126	23,0
		СЗ	21	24	26	25	96	9216	2318	24,0
		с.	23	23	25	25	96	9216	2308	24,0
		С\	24	26	29	28	1071	11449	2877	26,8
	8\	С2	27	28	32	30	117	13689	3437	29,3
		СЗ	26	30	31	32	119	14161	3561	29,8
		С4	30	29	33	32	124	15376	3854	31,0
А	2
		С\	29	3d	32	33	124	15376	3854	31,0
	82	С2	31	32	35	34	132	17424	4366	33,0
		СЗ	34	35	38	37	144	20736	5194	36,0
		с.	36	38	39	36	149	22201	5557	37,3
l,;YMMa			-	-	-	-	1728	194092	48698	-

Переходнм к расчету факториальных девиат DA, DB , Dc.

-:начала определяем суммы вариант 1:Xi для каждой градации ~омплекса (см. табл. 84). Затем, суммируя чнсловые значення

:icex возможных сочетаний независимых факторов А, В н С, на­

	:одим 1:ХА,	1:хв н 1:хс. Начнем с определения		1:ХА и 1:хв
	табл.85).	DА= 1: (1:хА)2_	Н= 7122 + 10162 _	Н=48100-
	Отсюда
		пас	32
	~46 656 =
		1444;

197

~А

Таблица 8i:

В1

В.

l:XA

А!

76+84+88+92 = 340

88+92+96+96=372

712

А2

107+117+119+124=467

124+ 132+ 144+149=549

1016

~XB

807

921

Таблица 8.

~\ С1

С.

Са

С,

А!

76+88=164

84+92=176

88+96=184

92+96=188

А2

107+124=231

117+32=249

119+144=263

124+149=273

~XC

395

425

447

461

D

B

~(~XB)2_ Н =

8072 +9212

_

Н=46859,О6-Н=203,О6.

nЬс

32

и А2 по Cl - 4,

Сочетая значения факторов А1

находим

1:x~

(табл. 86).

Определяем

~(~xc)2

Н

3952+4252+4472+4612

Dс=

nаЬ

-- =

4·2·2

-

H=7481~80 -

Н=46811,25 -46 656= 155,25.

Расчет девиат совместного

действия D AB , DAC, D BC

И DAB('

совершается

последовательно в два приема: сначала находя~

величины h AB ,

h AC и h Bc ,

затем определяют девиаты COBMecTHOГt

действия.

Исходные

данные

для

определения

h AB

и

hA~

приведены

в табл. 85

и 86, а для определения hBc - в табл.

87

содержащей сочетание числовых значений факторов

В1

и

Б~

ПО СI-4•

Отсюда

hАВ =~(~xАв)2 _

Н= 3402 + 3722 +4672 +5492 _

Н=-

nс

4·4

=

773474 -Н=48342,13-46656=1686,13; hAC =

~(~XAc)2

16

nЬ

_ Н _1642 + 1762 + 1842 + 1882 +2312 + 2492 +2632 +2р2 _

Н =

4·2

198