uchebnik10

швают с критической точкой этого критерия Xst для принято­ '0 уровня значимости c:t и общего числа членов сравниваемых

Jыборок, т. е. N =nl +n2. Критические точки Х-критерия для

;%-ного и 1%-ного уровней значимости и общего числа членов

(вух выборок N = nl + n2 (с учетом разности nl-n2) содержат­

·Я в табл. Х Приложений.

Нулевая гипотеза сводится к предположению, что сравни­ laeMble выборки извлечены из генеральных совокупиостей с

Iдинаковыми функциями распределения. Если окажется, что

:Ф~Хst, нулевая гипотеза должна быть отвергнута на принятом

'ровне значимости.

Пример 10. Вернемся к результатам опыта по проверке дей­

'твия нового препарата на массу тела лабораторных мышей см. пример 2), где сравнивали две группы-опытную (nl=9)

: контрольную (n2= 11) - с попарно не связанными числовыми

:иачениями			признака.	Примеиим Х-критерий Ван-дер-Вардена
:	оценке	результатов		этого эксперимента.		Расчет		Х-критерия
10	ранжированным значениям				признака сравниваемых групп
Jриведен		в	табл. 40.
								Таблица 40
	Масса тела мышей. r				R
				ПОРЯДКО'				Ф( N:l )
				вый номер	N+l
	опыт		КОНТРОЛЬ	R
			60	1
			60	2
			62	3
	64		66	4	4/21 =0,190			-0,88
				5
	68			6	6/21 =0,286			-0,57
			68	7
			69	8
	70		70	9	9/21 =0,429			-0,18
				10
	72		71	11
			73	12	12/21 =0,571			+0,18
	75			13
				14	14/21=0,667			+0,43
	76		78	15	15/21 =0,714			+0,57
	79			16
			80	17	17/21 =0,810			+0,88
				18
	80			19	19/21 =0,905			+1,31
	83			20	20/21 = 0,952			+1,66
	nt=9		n2=11	-	-			+3,40
	В данном случае			N=nl+n2=9+11=20.		Для		этого числа
N=20) и 5%-ного уровня значимости с учетом							разности nl-
-n2= 11-9=2 в табл. Х Приложений находим							X st =3,84. Так

,-1674

129

как Хф=3,40<Хst=3,84, нулевую гипотезу не учитывать нель

зя; разница между контролем и опытом оказывается статист!­

чески недостоверноЙ.

Пример 11. Проанализируем с помощью Х-критерия Ва!­

дер-Вардена результаты опыта о влиянии кобальта на велич~

ну массы тела кроликов (см. табл. 35). Расчет величины Х=

=~'Ф[R/(N+l)] приведен в табл. 41.

					ТаБJlица 4
Масса тела КРОJlНКОВ, r				R	Ф( Н:l )
		ПорядковыlI	•
		номер
КОНТРОJlЬ	ОПЫТ	R	N+l
420		1
470		2
490		3
504		4
530		5
560		6			-0,28
580	561	7	7/18=0,389
		8			0,00
580	580	9	9/18=0,500
		10
600		11
	621	12	12/18=0,667		+М3
	630	13	13/18 =0,722		+0,59
	640	14	14/18=0,778		+0,77
	680	15	15/18 = 0,833		+0,97
	692	16	16/18=0,889		+1,22
	700	17	17/18=0,944		+1,59
nj=9	n2=8	-		-	+5,29

Найденная величина критерия Хф=~'Ф[R/ (N+ 1)] =5,29 пре­

восходит	критическую	точку	Xst =4,44 для 1%-ного	урови.
значимости и N=9+8=17 с			учетом разности nl-n2=1 (c~,.
табл. Х	Приложений),	что дает основание отвергнуть		нулеВУk

гипотезу на высоком уровне значимости (Р<О,Оl) и заключит...

что влияние кобальта на величину массы тела кроликов до(

товерно.

U-критерий Уи.nкоксона (Манна-Уитни). Гипотезу о ПрF

надлежности сравниваемых независимых выборок к одной l той же генеральной совокупности или к совокупностям СОДИНе

ковыми параметрами, т. е. Но-гипотезу, можно проверить с пt· мощью рангового критерия Уилкоксона (Манна-Уитни).

Для расчета U-критерия необходимо: 1. Расположить чиt.

ловые значения сравниваемых выборок в возрастающем Пt·

рядке в один общий ряд и пронумеровать члены общего ряд..

от 1 до N=nl+n2. (Эти иомера и будут «рангами» членов ря-

130

да.) 2. Отдельно для каждой выборки найти суммы рангов R

и определить величины

(93)

и

(94)

которые отображают связь между суммами рангов первой и второй выборки. 3. В качестве И-критерия использовать мень­

шую величину Иф, которую сравнить с табличным значением Иst. Условием для сохранения принятой Но-гипотезы служит

неравенство ИФ>Иst. Критические точки И-критерия Иst для

n!,	n2 и принимаемого	уровня	значимости а	содержатся в
табл. ХI Приложений.
	Пример 12. В примере 2 было показано, что разность в мас­
се	тела между опытной	(n! = 9)	и контрольной	(n2 = 11) груп­

пами лабораторных мышей является статистически недостовер­

ной. Проверим этот вывод с помощью И-критерия. Для этого

обратимся к табл. 40, в которой содержатся расположенные в

возрастающем порядке числовые Значения сравниваемых выбо­

рок и их «ранги».		Суммируя «ранги»			отдельно	для каждой
группы, находим		R! =4+6+9+ ... +20= 112; R2= 1+2+3+ ... +
+ 18=94. Подставляем			эти данные	в	формулы	(93)	и (94):
И! = 112-9··10/2=67; И2 =94-11·12/2=22. Меньшую							величину
Иф=22	сравниваем	с	табличным	значением Иst		для n!=9,
n2= 11	и уровня значимости а= 1%, которое равно					Иst= 19 (см.
табл. ХI Приложений). Поскольку				ИФ>Иst, отвергнуть прове­

ряемую Но-гипотезу нельзя. Следовательно, подтверждается

ранее сделанный вывод о статистической недостоверности раз­ личий, наблюдаемых между этими выборками.

Критерий знаков z. В тех случаях, когда результаты на­ блюдений выражаются не числами, а знаками плюс (+) и минус (-), различия между попарно связанными членами

сравниваемых выборок оценивают с помощью критерия зна­

КОВ z. Конструкция этого критерия базируется на весьма прос­

тых соображениях: если попарно сравниваемые значения двух зависимых выборок существенно не отличаются друг от друга, то число плюсовых и минусовых разностей окажется совершен­ но одинаковым; если же заметно преобладают плюсы или мину­

сы, это будет указывать на положительное или отрицательное

действие изучаемого фактора на результативный признак. Боль­

шее число однозначных разностей служит в качестве фактиче­

ски найденной в~личины z-критерия знаков. При этом нулевые

разности, т. е. случаи, не давшие ни положительного, ни отри­

цательного результата, обозначаемые цифрой О, в расчет не

5*

131

принимают и число парных наблюдений соответственно YMeHI-

шается.

Как и всякий другой выборочный показатель, z-критерю

u	u u
знаков является величинои	случаинои; он служит для провеr'

ки Но-гипотезы, т. е. предположеиия о том, что совокупност.

или совокупности, из которых взяты сравниваемые выборк,F. имеют одну и ту же или одинаковые функции распределеИИА Но-гипотеза отвергается, если ZФ~Zst для принятого уровня знс чимости а и числа парных наблюдеиий n, взятых без нулевы;

разностей. Критические точки Zst для двух уровней значимосп­

и числа париых наблюдений содержатся в табл. ХН Прил[· жений.

Пример 13. Изучали влияние туберкулина иа состав перr

ферической крови низших обезьян. Результаты наблюденИI'_

приведены в табл. 42.

				Таблица 4:.
		ЭозиноФилия В крови
	Номера			ЭФФект
	подопытных
		до введения	после введення	воздействия
	животных
		туберкулина	туберкулнна

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

+	+	+	+	+	О
+	+		+	+	+
+	+		+		+
+	+	+	+	+	+
+	+		+		+
+	+		+ + +		-
+	+		+		+
+		+	+ +		-
+ +			+	+	+
+ +			+	+	+
+	+	+	+		О
+	+		+		+
+ +			+		+
+ +			+		+

ИЗ табл. 42 видно, что после введения туберкулина КОЛИЧЕ-,

ство эозинофилов В периферической крови у большинств" обезьян оказалось пониженным. Так, из 14 наблюдений дв:: оказались нулевыми, т. е. n= 14-2= 12. Из этого числа поле·

жительных разностей насчитывается 10. Следовательно, Zф= lL По табл. ХН Приложений для n= 12 и а=5% находим Zst= lL Равенство ZФ=Zst дает основание отвергнуть Но-гипотезу н;, 5%-ном уровне зиачимости. Следовательно, с веРОЯТНОСТЬk 95% можно утверждать, что введение туберкулина (реакциf' Манту) вызывает заметное снижение эозинофилов в периферr

ческой крови обезьян.

132

Прим.ер 14. В табл. 43 приведены данные о годовых удоях

~OPOB И их потомства по второму и третьему отелам.

			Таблица 43
Удой коров, Kr		Разница выражена
			PaHrH
материнского			разннцы
ПОКОJlения	потомства	знаками	ЧНСJlами

3770	2991
3817	4593
2450	3529
3463	4274
3500	3103
5544	3949
3112	3491
3150	3559
3118	2916
3018	4580
4291	4510
3463	4144

-

+

+

+

-

-

+

+

-

+

+

+

779	8
776	7
1076	10
811	9
397	4
1597	12
379	3
409	5
202	1
1562	11
219	2
681	6

Прибавки в удоях потомства обозначены знаком <+), а

'дои потомства, оказавшиеся ниже удоев матереиu, - знаком

-), В той же таблице приведены и числовые показатели раз­

юсти между удоями коров материнского поколения и их потом­

~ТBa, а также ранги этих различий. Из табл. 43 следует, что из

2	парных наблюдении положительный			эффект обнаружился
J	8 случаях,	т. е. Zф= 12-4=8. Эта	величина оказалась ниже
~ритической		точки Zst= 10 для 5%-ного		уровня значимости и
l= 12 (см. табл. ХН Приложений).			Следовательно, нулевую
'ипотезу отвергнуть нельзя.
	Т-критерий Уилкоксона. Когда члены			сравниваемых выбо-

1ОК связаны попарно некоторыми общими условиями (зависи­ !ые выборки), различия между ними с достаточной точностью

JЦениваются с помощью рангового критерия Уилкоксона Т.

J:арный Т-критерий Уилкоксона является более мощным, чем

:ритерий знаков. Т-критерий рассчитывают следующим обра­

юм. 1. Ранжируют попарные разности, как положительные,

"ак и отрицателыlе,, в один общий ряд. При этом нулевые

1азности в расчет не принимают, а все остальные независимо от

1нака ранжируют так, чтобы наименьшая абсолютная разность

юлучила первый ранг, причем одинаковым по величине разно­

'Тям присваивают один		и тот же		ранг.	2.	Находят отдельно
'уммы	положительных	и	отрицательных		разностей. Меньшую
[з двух	сумм разностей,		без учета	ее знака,		используют в ка­

'естве фактически установленной величины Т-критерия. 3. Срав­

швают эту величину Тф с критическим значеннем TBt для при-

133

нятого уровня значимости а и числа парных наблюдений n.

которое берут без нулевых разностей. Нулевую гипотезу отвер­ гают, если Тф> Tst. Если же Тф~Тst. нулевую гипотезу не учи­ тывать нельзя: Критические значения парного критерия Уилкок­ сона Tst содержатся в табл. XHI Приложений.

Пример 15. Применим парный критерий Уилкоксона для

проверки Но-гипотезы относительно данных о годовых удоях

коров материнского поколения и их потомства, приведенных в

табл. 43. В последней графе этой таблицы помещены ранги абсолютных разностей между парными значениями годового удоя коров. Определяем суммы плюсовых и минусовых разно­

стей: Т(+)=7+10+9+3+5+11+2+6=53 и Тн=8+4+12+1=

=25. Меньшая разность дает Тф =25. Сравниваем эту величи­

ну с критическим значением Tst =15 для n=12 и а=5% (см. табл. XIII Приложений). Так как ТФ>Тst• то нулевая гипотеза

остается в силе.

Пример 16. В табл. 37 приведены результаты семилетних

исследований урожайности ячменя и овса в условиях Нечерно­

земной зоны РСФСР. В той же таблице приведены парные раз­

ности между урожаями этих культур в разные годы. Статисти­

ческая оценка результатов опыта привела к выводу о недосто­

верности средней разности между урожайностью ячменя и овса.

Проверим этот вывод с помощью непараметрнческого критерия

Уилкоксона. Выпишем в порядке возрастания разности d j и их

ранги R:

di	-0,56 +0,97 +1.05 -1,13 +1,78 +1,83 +2,90
R	1234567

Меньшую сумму рангов определяют по минусовым разно­ стям, т. е. Тф =1+4=5. Эта величина превосходит критическую

точку tst=3 для n=7 и 5%-ного уровня значимости (см. табл. XHI Приложений). Таким образом подтверждается ранее сде­

ланный	(с помощью t-критерия	Стьюдента) вывод о статисти-
и		u
ческои	недостоверности разницы	между урожаиностью ячменя
и овса.
	V.4. ОЦЕНКА IИОnОГИЧЕСКИ АКТИВНЫХ ВЕЩЕСТВ
При	испытании инсектицидов, лекарственных, радиоактив­
ных и	других биологически активных веществ обнаруживает­

ся, что особи однородной группы реагируют на одну и ту же

дозу по-разному (индивидуальная изменчивость!) и что разные

дозы могут вызывать одинаковый эффект у целой группы инди­

видов. Отсюда следует, что о силе действия на организм био­

логически активных веществ можно судить лишь по среднему результату.

134

Дозы сильнодействующих веществ испытывают на однород­

ных группах (мыши, крысы и другие объекты) по 6-10 осо­

бей в группе. На каждой группе изучают одну дозу. Обычно

применяют 5-9 доз в возрастающем по силе действия по­

рядке. Опыт проводят одновременно (обычно на протяжении одного дня) на всех группах особей. При этом учитывают чис­

ло особей, у которых обнаружился эффект, и число тех, у ко­ торых видимого эффекта от действия доз не обнаружено.

О среднем результате судят по обнаружению эффекта дейст­ вия доз у 50% подопытных индизидов.

Определить дозу, вызвавшую видимый эффект или леталь­

ный исход у 50% подопытных индивидов, можно разными спо­

собами - графически и аналитически. Установлено, что инди­

видуальные реакции подопытных животных на воздействие

биологически активных веществ распределяются, как правило,

нормально. Зависимость между дозой и эффектом действия графически выражается в виде S-образной кривой, или КУМУ­ ЛЯты (см. рис. 3). Кумулята, называемая кривой эффекта доз, может быть получена, если по оси абсцисс откладывают дозы

вещества, а по оси ординат - эффект воздействия этих доз на

подопытных животных. Центральная точка кумуляты совпада­

ет с центром распределения. Опуская из этой точки перпенди­

куляры на оси координат, можно определить среднюю дозу

эффекта. Проще, однако, среднюю дозу эффекта определить

аналитическими способами, один из которых приведен ниже.

Способ Спирмена - Кербера. Достоинство этого способа за­

ключается в том, что он позволяет не только рассчитать сред­

нюю дозу эффекта т, но и построить доверительный интервал

для генеральной средией J.L. Среднюю дозу эффекта определя­

ют по формуле

m=m-d(Рl-О,5), (95)

где т- минимальная доза, вызывающая эффект у 100% под­

опытных индивидов; d - разница между дозами; Рl - суммар­

ная доля реагирующих на дозы индивидов.

Среднее квадратическое отклонение вычисляют по следую­ щей формуле:

(96)

Здесь Р2 - сумма ряда накопленных долей реагирующих на

дозы индивидов.

Пример 17. На группе, состоящей из десяти лабораторных

мышей, испытывали действие ядовитого вещества. Дозы яда рассчитывали в миллиграммах на 1 кг массы тела подопытных животных. Эффект действия яда учитывали по летальным ис­ ходам. Результаты опыта приведены в табл. 44.

135

В данном случае n= 10, d= 10, т= 180 MrjKr, Рl=4,0 1· Р2= 11,8. Подставляем известные величины в формулы (95) [

(9'6): m=LDl S0 = 180-10(4,0-0,5) = 180-35= 145 Mrjкr;

sm= 10 V2.11,8-4,02-4,O-O,083=1O V3,517.= 10·1,875= 18,7':

Найденные величины m= 145 и Sm= 18,75 позволяют пr·

СТРОить доверительный интервал для генерального параметр~

т. е. истинной средней дозы эффекта: m+Llm, где Llm=ts;;. -

величина предельной ошибки средней m. В данном случаf-

Si7i=Sт!Vn= 18,75/VЮ=18,75/3, 16=5,93. Отсюда для 5%-ноп

уровня значимости и		соОтветственно t= 1,96					нижняя		гранищ.
доверительного	интервала		составляет			145-1,96·5,93= 145-
									Таблица 4"_
Доза. Mr!Kr		110	120	130	140	150	160	170	180	СУМ-
										ма
Число погибших	живот-	О	1	3	4	6	7	9	10	-
ных			0,1	0,3	0,4	0,6	0,7	0,9
Доля погибших	живот-	О							1,0	4,0
ных			0,1	0,4	0,8	1,4	2,1
Накопленная доля погиб-		О						3,0	4,0	11,8

ших животных

-11,62 = 133,38", 133 мгjKr и верхняя граница 145+ 11,62=

= 156,62",157 MrjKr. Это означает, что с вероятностью р=­ =0,95 можно утверждать, что генеральная средняя доза эd'·

фекта LDso находится в пределах от 133 до 157 MrjKr.

ГЛАВА УI

ПРОВЕРКА rИПОТЕЗ О ЗАКОНАХ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ

VI.f. ПРИМЕНЕНИЕ КОЭФФИЦИЕНТОВ АСИММЕТРИИ

И ЭКСЦЕССА ДЛЯ ПРОВЕРКИ НОРМАЛЬНОСТИ

РАСПРЕДЕЛЕНИЯ

Эмпирический вариационный ряд и его график-вариацJ.

онная кривая - не позволяют с полнОй уверенностью судить l

законе распределения совокупности, из которой взята выборк~

На величине любого варьирующего признака сказывается влия

ние многочисленных, в том числе и случайных, факторов, и('-

I Символ LDso обозначает дозу вещества, вызывающую летальный исхо).'

у 50 % подопытных особей.

.

136

кажающих четкую картину варьирования. Между тем знаиие

закона распределения позволяет избежать возможных ошибок

воценке генеральных параметров по выборочным характери­

стикам.

Гипотезу о законе распределения можно проверить разны­

ми способами, в частности с помощью коэффициентов асим­

метрии As и эксцесса Ех. При нормальном распределении эти

показатели равны нулю. В действительности такое равенство

почти не наблюдается. Выборочные показатели As и Ех, опре­ деляемые по формулам (48) и (49), являются случайными ве­

личинами, которые сопровождаются ошибками. В качестве кри­

терия нормальности распределения служат tAs и tEx, являющие­

ся отношениями выборочных коэффициентов As и Ех к их

ошибкам репрезентативности, которые определяют обычно по

следующим приближенным формулам:

	f	6			(97)
SAS=V;
		n+3
SEx=1 f		2	6	1	(98)
	24		.	•
V	n+5		Vn+5

в связи с тем что выборочные распределения коэффициен­

тов асимметрии и эксцесса в случае нормальности распреде­

ления признака при не слишком больших объемах выборок

(особенно это характерно для Ех) могут быть довольно дале­

ки от нормального вида, использование квадратических оши­

бок для As и Ех при n, меньшем нескольких сотен наблюде­ ний, оказывается рискованным. Поэтому более предпочтитель­

ным следует считать проверку нормальности распределения по

значениям этих коэффициентов с применением таблиц, приве­

денных в Приложении (см. табл. XIV и XV). в них указаны

критические точки для разных уровней значимости а и объ­

емов выборки n. Если коэффициенты As и Ех превосходят кри­

тические точки, содержащиеся в этих таблицах, гипотеза о

иормальности распределения должна быть отвергнута.

Так, в примере с изучением формы распределения длины

хвоинок сосны были получены значения As=-0,556 и Ех= =0,872. Для а= 1% и n=200 в табл. XIV Приложений нахо­ дим Asst =O,403, а в табл. XV-ЕХst=О,832. Так как эмпири­ чески определенные величины As и Ех превышают табличные

критические значения, можно сделать вывод о наличии у это­ го распределения значимых асимметрии и эксцесса.

I Более точно ошибки коэффициеитов As и Ех определиют по формулам

s.....	V	6(n -1)	иs	Ех	==	V24n(n -2)(n -3)(n -5)	•
As	(n + l)(n +3)					(n -l)2(n +3)(n +5)

137

VI.2. КРИТЕРИЯ ХИ·КВАДРАТ (х2·РАСПРЕДЕЛЕНИЕJ

Проверку гипотез о законах распределения также произво­

дят с помощью специально выработанных критериев. Один из

них, нашедший широкое применение в биометрии,- критерий

согласия, или соответствия х2 (предложен в 1900 г. К. Пирсо­

ном). Этот критерий представляет собой сумму квадратов От­

клонений эмпирических частот f от вычисленных или ожидае­

мых частот {', отнесенную к теоретическим частотам, т. е.

11	11
x2=~ (/-Г)2	= ~ (~).	(99)
1-1 f'	1-1 f'

Символ х2 не является квадратом какого-то числа, а выра­

жает лишь исходную величину, определяемую данной форму­

	лой. Буквой d обозначена	разность
	между эмпирическими и вычисленными
0,5 К=1	частотами.
0,4	Величина критерия х2 всегда поло­
0.3	жительна, так как отклонения эмпири­
0.2	ческих частот от ожидаемых	или вы­

численных частот возведены в квад­

рат. Поэтому при определении разно­

Рис. 22. Функции :х.2·рас·

пределении в зависимости

от разных чисел степеии

свободы k.

сти d знаки чисел можно не учиты­ вать, вычитая из больших зиачений меньшие. При полном совпадении эм­

пирических частот с вычисленными или

ожидаемыми частотами 1: (fi-f/) = о и

х2 =0.

Распределение вероятных значений случайной величины х2

является непрерывным и асимметричным (рис. 22), оно зави­

сит от числа степеней свободы k и приближается к нормаль­

НОй кривой по мере увеличения числа испытаний n. Поэтому

применение критерия х2 к оценке дискретных распределений

сопряжено с некоторыми погрешностями, которые сказываются

на его величине, особенно при малых выборках.

Для того чтобы оценки были более точными, выборка, рас­

пределяемая в вариационный ряд, должна содержать не менее

50 вариант. Поэтому часто считают, что применение критерия

х2 требует, чтобы в крайних классах вариационного ряда со­ держалось не менее пяти вариант. Если в крайних классах со­

держится меньше чем пять вариант, то вычисленные и эмпири­

ческие частоты объединяются до указанного минимума и со­

ответственно уменьшается число классов вариационного ряда 1.

I Существует инаи точка зреиии на мииимальиые значении теоретнческих частот ", которые могут находиться в разных классах вариациониого ряда.

Согласно ей, при n>5{) и k~6 одно из зиачеиий " может быть снижено да-

138