uchebnik10

Причиной таких «исключений» является тот факт, что каждый

биологический признак представляет собой функцию многих

переменных: на него влияют и генетические, и средовые факто­

ры, что и обусловливает варьирование признаков. Поэтому зави­

симость между биологическими признаками имеет не функцио­

нальный, а статистический характер, когда в массе однородных

индивидов определенному значению одного признака, рассматри­ ваемого в качестве аргумента, соответствует не одно и то же чис­ ловое значение, а целая гамма распределяющихся в вариацион­

ный ряд числовых значений другого признака, рассматриваемого

в качестве зависимой переменной, или функции. Такого рода

зависимость между переменными величинами называется корре­

ляционной или корреляцией 1.

Функциональные связи легко обнаружить и измерить на еди­ ничных и групповых объектах, однако этого нельзя проделать с

корреляционными связями, которые мощно изучать только на

групповых объектах методами математической статистики. Кор­

реляционная связь между признаками бывает линейной и нели­ нейной, положительной и отрицательной. Задача корреляцион­

ного анализа сводится к установлению направления и формы

связи между варьирующими признаками, измерению ее тесноты

и, наконец, к проверке достоверности выборочных показателей

корреляции.

Зависимость между переменными У и Х можно выразить ана­ литически (с помощью формул и уравнений) и графически (как

геометрическое место точек в системе прямоугольных коорди­

нат). График корреляционной зависимости строят по уравнению

функции Yx=f(x) или xy=f(y), которая со времен Гальтона по­

лучила название регрессии. Здесь Ух и Ху - средние арифметиче­ ские, найденные при условии, что Х или У примут некоторые зна­ чения х или у. Эти средние называются условными. Регрессион­ ному анализу посвящена следующая глава. Здесь же будут рассмотрены параметрические и непараметрические способы

анализа линейных и нелинейных статистических связей.

VIII.t. ПАРАМЕТРИЧЕСКИЕ ПОКАЗАТЕЛИ связи

I(оэффициент корреляции. Сопряженность между переменны­

ми величинами У и Х можно установить, сопоставляя числовые

1 Этот термнн (от лат. correlatio - соотношенне, связь)	впервые прнме­
ннл Ж. Кювье в труде «Лекцин по сравинтельной анатомию>	(1806). Матема­

тнческое обоснование метода измерения корреляции было дано в 1846 г. дру­

гим французским ученым О. Браве. Обосновывая метод, Браве имел в внду «теорню ошибок в плоскости», перенося закон ошибок Гаусса на случаи двух переменных У н Х в область кристаллографии, которой он занимался. Раз­ работка н примененне метода корреляции к измерению зависимости между

бнологнческнмн прнзнакамн былн сделаны Ф. Гальтоном и К. Пнрсоном. Галь­

тону прннадлежнт и введенне термнна «корреляцня:, в бнометрню (1886).

209

значения одной из них с соответствующими значениями другой. Если при увеличении одной переменной увеличивается другая,

это указывает на положительную связь между этими величина­

ми, и, наоборот, когда увеличение одной переменной сопровож­ дается уменьшением значений другой, это указывает на отрица­

тельную связь. Подобную взаимосвязь устанавливают при нали­ чии однозначных отношений между переменными У и Х, когда

речь идет о приращении или уменьшении функции по заданным

значениям аргумента. Иная ситуация наблюдается в случае

варьирующих признаков. Здесь приходится исследовать собст­

венно не приращение или уменьшение функции, а сопряженную вариацию (ковариацию) , выражая ее в виде взаимно связанных

отклонений вариант от их средних У и х.

Ковариация (cov) есть усредненная величина произведений

(Xi-X) (Yi-y) отклонений каждой пары наблюдений от их сред­

них, т. е. COV= (1/n)[~ (Xi-X) (Yi-y)]. Очевидно, что величина

этого показателя будет в значительной мере зависеть от того,

насколько часто в общем ряду произведение (Xi-X) (Yi-Y) бу­ дет иметь один знак - плюс или минус. В первом случае пары

вариант должны отклоняться от своих средних в одном направ­

лении (т. е. XI>X и YI>fj или Xi<i и Yi<fj). в другом случае,

если Xi>X, то Yi<Y или наоборот. При этом преобладание вели­ чин одного знака в принципе способствует большему абсолютно­

му значению коэффициента ковариации, так как величины с раз­ ными знаками в сумме дают меньшую абсолютную величину.

Среднее значение всех произведений указывает, в какой мере

большим (или меньшим) значениям Xi соответствуют большие

(или меньшие) значения Yi.

Недостаток коэффициента ковариации заключается в том, что

этот коэффициент не учитывает случаи, когда коррелируемые

признаки выражаются разными единицами измерения. Напри­

мер, масса тела может коррелировать с его линейными размера­ ми, длина колосьев - с массой содержащихся в них зерен и т. д.

Недостаток, присущий ковариации, устраняется, если вместо

отклонений (Xi-X) (Yi-Y) использовать их отношения к средним'

квадратическим отклонениям Sx и Sy. В результате получается

показатель, который называют э,w,nирическим коэффициентом

корреляции г:

(144)

Коэффициент корреляции можно вычислить, не прибегая к расчету средених квадратических отклонений, что упрощает вы­ числительную работу, по следующей аналогичНой формуле;

210

(145)

Коэффициент корреляции - отвлеченное число, лежащее в пределах от -1 до + 1. При независимом варьировании призна­

ков, когда связь между ними полностью отсутствует, г=О. Чем

сильнее сопряженность между признаками, тем выше значение

коэффициента корреляции. Следовательно, при 1гl >0 этот по­

казатель характеризует не только наличие, но и степень сопря­

женности между признаками. При положительной или прямой связи, когда большим значениям одного признака соответствуют

большие же значения другого, коэффициент корреляции имеет положительный знак и находится в пределах от О до + 1, при

отрицательной или обратной связи, когда большим значениям

одного признака соответствуют меньшие значения другого, коэф­ фициент корреляции сопровождается отрицательным знаком и

находится в пределах от О до -1.

Коэффициент корреляции нашел широкое применение в

практике, но он не является универсальным показателем корре­

ляционных связей, так как способен характеризовать только ли­

нейные связи, т. е. выражаемые уравнением линейной регрессии

(см. гл. IX). При наличии нелинейной зависимости между

варьирующими признаками применяют другие показатели связи,

о которых речь пойдет ниже.

Вычисление коэффициента корреляции. Это вычисление про­

изводят разными способами и по-разному в зависимости от чис­

ла наблюдений (объема выборки). Рассмотрим отдельно специ­

фику вычисления коэффициента корреляции при наличии мало­

численных выборок и выборок большого объема.

М а л ы е в ы б о Р к и. При наличии малочисленных выборок

коэффициент корреляции вычисляют непосредственно по значе­

ниям сопряженных признаков, без предварительной группировки

выборочных данных в вариационные ряды. Для этого служат при­

веденные выше формулы (144) и (145). Более удобными, осо­

бенно при наличии многозначных и дробных чисел, которыми

выражаются отклонения вариант Xi и Yi от средних х и у, слу­ жат следующие рабочие формулы:

ппп
n ~ ХШI -	~ XI ~ Yt
1=1	1=11=1	•	(146)
ГХу==~~==~======~Г===~======-'
V n ~Х7 - (~Хд2	V n ~ У7 -	(~ У1)2

(147)

211

Dx+Dg-Dd

		2YDx Dy	t		(148
где	Dx =!. (Xi-X) 2=~X2i-(!.Xi) 2/n;			Dy =!. (Yi-Y) 2=
=~y2i-(!.Yi)2/n		и Dd =!.d2i-(!.di)2/n.	Здесь Xi		и Yt-nar'
ные варианты сопряженных признаков Х и				У; х и fj - средни~
арифметические;		d= (Xi-Yi) - разность	между		парными вС'
риантами сопряженных признаков Х и У;			n -	общее число nar·

ных наблюдений, или объем димерной выборочной cOBoKYnHocTF.

Таблица 9f

Масса тела	гамадри-		Масса	тела		дете'
лов,матерей		x i '						х/у/		х2/	у2/
кг			нышей		У/'	кг
10,0				0,70				7,000	100,00		0,4900
10,8				0,73				7,884	116,64		0,5329
11,3				0,75				8,475	127,69		0,5625
10,0				0,70				7,000	100,00		0,4900
1О,1				0,65				6,565	102,01		0,4225
11, \				0,65				7,215	123,21		0,4225
11,3				0,70				7,910	127,69		0.4900
10,2				0,6\				6,222	\04,04		0,372\
13,5				0,70				9,450	182,25		0,4900
12,3				0,63				7,749	151,29		0,3969
14,5				0,70				10,150	210,25		0,4900
11,0				0,65				7,150	121,00		0,4225
12,0				0,72				8,640	144,00		0,5184
11,8				0,69				8,142	139,24		0,4761
13,4				0,78				10,452	179,56		0,6084
11,4				0,70				7,980	129,96		0,4900
12,0				0,60				7,200	144,00		0,3600
15,6				0,85				13,260	243,36		0,7225
13,0				0,80				10,400	169,00		0,6400
12,1				0,75				9,075	146,41		0,5625
~=237,4				14,06				167,919	2861,60		9,9598
Из этих формул следует, что для вычисления коэффициент,­
корреляции		необходимо			предварительно				рассчитать		величин~
!.Xt, !.Yi,	!.XiYi,		!.Xi 2	И	!.Yi		2, а	также	(при	использоваНИF
формулы	(146)		еще и !.di				(обязательно		с учетом		знаков!)}
!.di 2 •
Прuмер 1. Изучали зависимость между массой тела гамадрь

лов-матерей и их новорожденных детенышей. Под наблюдениеlo

находилось 20 обезьян. Результаты наблюдений и их обработК<. приведены в табл. 96.

Определяем суммы квадратов отклонений (девиаты): пх=
=286160- 237,42		43~62' D =99598_14,062 0076.
•	20	"IJ'	20'

212

Подставляем эти величины в Формулу (147): 'ху-

-= 167,919 - (1/20)(237,4·14,06)	167,919 - 1~6.892	1,027	=	+0564.
]/43,662·0,076	Jf3,318	1,822		'

10лученная величина (Гху=О,564) указывает на наличие поло­

:штельной средней силы корреляционной связи между массой

'ела гамадрилов-матерей и массой тела их детенышей.

Прuм.ер 2. На основании накопленных в хозяйстве данных о

кирномолочности коров И их 12 одновозрастных дочерних особей lыла составлена следующая выборка (табл. 97).

					Таблица 97
Процент жира	в МОJlоке
коров "1	дочерннх	xj 2	I/j 2	X/-I/j-d	d j l
	особей 1/1
3,10	3,65	9,6100	13,3225	+0.55	0,3025
3,17	3,11	10,0489	9,6721	-0,06	0,0036
3,76	3,57	14,1376	12,7449	-0,19	0,0361
3,61	3,61	13,0321	13,0321	±О,ОО	0,0000
3,27	3,44	10,6929	11,8336	+0,17	0,0289
3,61	3,71	13,0321	13,7641	+0,10	0,0100
3,80	3,61	14,4400	13,0321	-0,19	0,0361
3,65	3,98	13,3225	15,8404	+0,33	0,1089
3,34	3,36	11,1556	11,2896	+0,02	0,0004
3,65	3,89	13,3225	15,1321	+0,24	0,0576
3,45	3,45	11,9025	11,9025	0,00	0,0000
4,05	3,79	16,4025	14,3641	-0,26	0,0676
~=42,46	43,17	151,0992	155,9301	0,71	0,6517

Вычислим коэффициент корреляции между жирномолоч­ юстью коров И их дочерних особей. Расчет вспомогательных

1еличин, нужных для определения девиат, приведен в табл. 97.

lаходим значения	девиат:	Dx =151,0992-(42,46)2/12=
-= 151,0992-150,2376=.0,8616;		Dy = 155,9301-(43,17)2/12=

= 155,9301-155,3041 =0,6260; Dd=O,6517- (0,71) 2/12=0,6517-

-0,0420=0,6097. Подставляем известные величины в формулу

148) :

rху=	0,8616 +0,6260 - 0,6097	0,8779	0,8779 =0598.
	2 Jfо,8616· 0,6260	- 2:::-:Y~O,===53;::;;:9:;;:;36'	1,4688	'

Сорреляция между жирномолочностью родительских особей и их 10томства у крупного рогатого скота оказалась положительной

1 довольно высокой.

Эмпирический коэффициент корреляции, как и любой другой

1ыборочный показатель, служит оценкой своего генерального

213

параметра р и как величина	н
	случаиная сопровождается

ошибкой:

_

s,=V1 r2 . (149)

n-2

Отношение выборочного коэффициента корреляции к своей ошибке служит критерием для проверки нулевой гипотезы­

предположения о том, что в генеральной совокупности этот по­

казатель равен нулю, т. е. р=О. Нулевую гипотезу отвергают на

принятом уровне значимости а, если

	tф=г {	n -	2	>ts/·
		1 -	г2
				-

Значения критических точек tst для разных уровней значимости и чисел степеней свободы k=n-2 приведены в табл. V Прило­

жений.

Так, значимость коэффициента корреляции между массой

тела гамадрилов-матерей и их новорожденных детенышей оцени-

вается следующим образом t	ф	=0,5641,f	20 - 2 =0,564 х
		V	1 - (0,564)2

Х У 26,397 =0,564·5, 138=2,90.

В табл. V Приложений для k=20-2= 18 и а= 1% находим tst =2,88. Нулевую гипотезу отвергают на высоком уровне значи­

мости (Р<0,01).

достоверность выборочного коэффициента корреляции мож­

но проверить по специальной таблице, в которой содержатся

значения критических точек fst для уровней значимости а=5% и

а= 1% с учетом	числа	степеней	свободы k=n-2.	Так, для
k= 18 и а= 1% в табл. ХУI Приложений находим f 8 t=0,56.
Установлено,	что при	обработке малочисленных		выборок
(особенно когда	n<30)	расчет	коэффициента корреляции по

приведенным выше формулам дает несколько заниженные оцен­

ки генерального параметра р. В таких случаях лучшую оценку р

получают при использовании поправки [1 + 1- r21 , на кото-

2(n - 3)

рую умножают эмпирический коэффициент корреляции, т. е.

,.	[	1	+	l - r2	]	.	(150)
ГХУ=Гху				2(n -3)
Применим эту формулу к расчету коэффициента корреляции
между жирномолочностью		коров и их				дочернего	потомства

(табл. 97). В данном случае объем выборки n= 12						и Гху=0,598.
,. О 598 [	1	+1 - (О.598)~ ]	=0,	59n	3	О,	62 -
Отсюда Гху=,		2(12--3)		0·1,0 6=			О. Опре-

214

деляем критерий достоверности:	t	Ф	= 0,620	' I	12 - 2 =
= 0,620V16,2 -0,620·4,0 125=2,56.				V	1 -	(0,620)2
В табл. V Приложений для k=12-2=10 и				а=5%		находим

tst =2,23. Так как tф=2,56>tst=2,23, нулевую гипотезу отвер­

гают на 5%-ном уровне значимости (0,01<Р<0,05). Этот вывод

подтверждается и при оценке величины Гхи*=0,620 с помощью

табл. ХХI Приложений, в которой для k= 10 и а=5% находим

f Bt=O,58.

z-п р е о б раз о в а н и е Фи ш ера. Правильное применение

коэффициента корреляции предполагает нормальное распределе­

ние двумерной совокупности со­

пряженных значений случайных

величин У и Х. Из математиче­

ской статистики известно, что при

наличии значительной корреляции

между переменными величинами

Х и У (Гху>О,5) выборочное рас­

пределение коэффициента корре­

ляции для большого числа малых

выборок, взятых из нормально

распределяющейся генеральной

совокупности, значительно откло­

няется от нормальной кривой. Об

этом наглядно свидетельствует

рис. 24, на котором изображены

кривые распределения эмпириче­

р=+О.8

-0.5

о

+ 1

Рис. 24. I<ривые распределеиия ЭМ­

пирического коэффициеита корре­ ляции при n.. 12 для разных зна­

чений генеральиого параметра (р)

(по А. 1<. МИТРОПОЛЬСКОМУ, 1971)

ского коэффициента корреляции при n= 12 для значений гене­

рального параметра р=О; 0,4 и 0,8. Видно, что при значениях р,

приближающихся к единице, кривая распределения эмпириче­ ского коэффициента корреляции становится все более асиммет­ ричной. Следовательно, выборочный коэффициент корреляции не будет точной оценкой генерального параметра, если он вычис­

лен на малочисленной выборке и его абсолютное значение пре­

вышает 0,5.

Учитывая это обстоятельство, Р. Фишер нашел более точный

способ оценки генерального параметра по значению выборочно­

го коэффициента корреляции. Этот способ сводится к замене 'ха

преобразованной величиной z, которая связана с эмпирическим

коэффициентом корреляции следующим образом:

z = -1	1n 1+г	или z= 1,15129 1g	1 + г .
2	l - r		l-г
Распределение величины z является почти			неизменным по

форме, так как мало зависит от объема выборки и от значения

коэффициента корреляции в генеральной совокупности. Если

215

эмпирический коэффициент корреляции меняет свое значение от

-1 до		+ 1, то величина z меняет свое значение от - 00 до							+ 00,
а	ее	распределение	быстро	приближается		к	нормальному
(рис. 25) со средним значением z=_I_ 1п					(1 + Р		+	Р	)
и	дисперсией 02 =			2	1 -	Р		2 (n -	1)
			1
		z	n-3
		;=0 n		jJ = 0,8
			~......

-1	о	f	2	z
Рис. 25.	Распределение	величины z при	n=12	(по
	А. К. Митропольскому, 1971)

Преобразование коэффициента корреляции в величину z про­ изводят по специальной таблице (см. табл. XXII Приложений) . В этой таблице содержатся величины z, соответствующие значе­

ниям эмпирического коэффициента корреляции г. Критерием

достоверности показателя z является следующее отношение:

tz=~=zVn-З.

Sz

Этот критерий используют в тех случаях, когда вместо коэф­

фициента корреляции берут соответствующее ему число z. Нуле­

вая гипотеза отвергается на принятом уровие значимости а и

числе степеней свободы k=n-2. Значения критических точек tst приведены в табл. V Приложений.

Применение z-преобразования позволяет с большей уверен­

ностью оценивать статистическую значимость выборочного коэф­

фициента корреляции, а также и разность между эмпирическими

коэффициентами корреляции fl-r2=dr, когда в этом возникает

необходимость.

Проверим нулевую гипотезу в отношении z-преобразованного коэффициента корреляции между жирномолочностью коров и их

дочернего потомства, который с поправкой на малый объем вы­ борки оказался равным г=0,620. В табл. ХХII Приложений для этой величины находится значение z=0,725, откуда критерий

tz =0,725 V12- 3=0,725·3,0=2, 18. Эта величина оказывается

216

ниже критической точки fst =2,23 для k= 12-2= 10 и а=5%

(см. табл. V Приложений) . Следовательно, отвергнуть нулевую

гипотезу на этом уровне значимости нельзя. Этот вывод не со­ гласуется с ранее сделанным заключением о том, что г=0,620

можно считать величиной достоверной на 5%-ном уровне значи­

мости.

Минимальный объем выборки для точной

о Ц е н к и к о э Ф Ф и ц и е н т а к орр е л я Ц и и. Только что рас­

смотренный пример показывает, с какой осторожностью следует

делать заключение о статистической значимости выборочного коэффициента корреляции, вычисленного на малообъемных вы­

борках. Очевидно, предпочтение в таких случаях следует отда­

вать оценке r по преобразованной величине z.

Можно рассчитать объем выборки для заданного значения коэффициента корреляции, который был бы достаточен для опро­ вержения нулевой гипотезы (если корреляция между признака­

ми у и Х действительно существует). Для этого служит следую­

щая формула:

t2	(151)
n=-+3,
z2

где n - искомый объем выборки; t - величина, заданная по при­

нятому уровню значимости (лучше для а= 1%); z - преобразо­

ванный эмпирический коэффициент корреляции.

Так, в отношении только что рассмотренного примера для

а= 1%, которому соответствуют t=2,58;		г=0,598 и z=0,693,
находим
n= (2,58)2	+3=139+3=169=17.
(0,693)2	'	,

Это означает, что для окончательного решения вопроса о ста­

тистической значимости эмпирического коэффициента корреля­

ции между жирномолочностью коров и их дочернего потомства

необходимо увеличить число наблюдений по меньшей мере до

n=17.

Б о л ь ш и е в ы б о Р к и. При наличии многочисленных исход­

ных данных их приходится группировать в вариационные ряды

И, построив корреляционную решетку, разносить по ее клеткам

(ячейкам) общие частоты сопряженных рядов. Корреляционная решетка, как уже было показано в гл. VII, образуется пересече­

нием строк и столбцов, число которых равно числу групп или

классов коррелируемых рядов. Классы располагаются в верхней строке и в первом (слева) столбце корреляционной таблицы, а общие частоты, обозначаемые символом fху, - в клетках кор­

реляционной решетки, составляющей основную часть корреляци­

онной таблицы.

217

Классы, помещаемые в верхней строке таблицы, обычно рас­

полагаются слева направо в возрастающем порядке, а в первом

столбце таблицы - сверху вниз в убывающем порядке. При та­

ком расположении классов вариационных рядов их общие час­

тоты (при наличии положительной связи между признаками Х и У) будут распределяться по клеткам решетки в виде эллипса

по диагонали от нижнего левого угла к верхнему правому углу

решетки или (при наличии отрицательной связи между призна­

ками) в направлении от верхнего левого угла к нижнему право­

МУ углу решетки. Если же частоты 'хи распределяются по клет-

		кам	корреляционной
	Таблица 98	решетки		более или
		менее		равномерно,
Объем выборки	Значенне К	не	образуя фигуры

		,	элли пса,		это	будет
50~n>30	К= I+3.321g n		указывать		на отсут­
			ствие	корреляции
IOO~n>50	K=51g n
200~n~IOO	K=7lgn		между	признаками.
300~n~200	K=8lgn		Распределение
			частот	fху по		клет­

кам корреляционной

решетки дает лишь общее представление о наличии или отсут­

ствии связи между признаками. Судить о тесноте или силе связи,

ее направлеиии можно более или менее точно лишь по значению

и знаку коэффициента корреляции. При вычислении коэффициен­

та корреляции. с предварительной группировкой выборочных

данных в интервальные вариационные ряды не следует брать

слишком широкие классовые интервалы. Грубая группировка

гораздо сильнее сказывается на значении коэффициента корре­

ляции, чем это иМеет место при вычислении средних величин и

показателей вариации.

Учитывая это обстоятельство, авторы известного руководства «Теория статистики» Дж. Юл и М. Кендэл (1960) рекомендуют избирать величину классового интервала не крупнее 1/20 вариа­

ционного размаха коррелируемых признаков, группировать ди­

мерную совокупность наблюдеиий не менее чем в 15-25 клас­

сов. Эта ценная рекомендация имеет, однако, один существенный недостаток: она не согласуется с объемом выборки, не учиты­

вает то, что между числом классов и величиной классового ин­

тервала л существует определенное соотношение, в общем виде

оно выражается формулой (1), в которой знаменатель К нахо­

дится в зависимости от объема выборки n. Опыт показал, что

в области корреляционного анализа величину К можно поста­

вить в зависимость от объема выборки примерно следующим

образом (табл. 98).

Эта таблица позволяет подойти к определению величины

классового интервала дифференцированно в зависимости от

218