uchebnik10

Подставляя найдеииые величииы в формулы			(114) и (115),
IПределяем	девиаты:	DII = 1384,90- (142,4) 2/15= 1384,90-
-1351,85=33,05; DA = 1379,16-1351,85=27,31;			De=33,05-
~-27,31 =5,74. Получился тот же результат, что			и выше. Даль-

(ейший ход анализа понятен из предыдущего примера.

Если межклассовые промежутки рядов Х и У одинаковы, де­

Jиаты проще определять по следующим формулам:

Dg = ~ (/ха;)-Н;

(116)

		DA=~ ихуах)2 -Н,							(117)
				fg
'де Н= (~!хах)2;		ах-	отклоиеиия		классов	от	условиого		нуля;
	N					(114) и		(115).
Jстальные символы те же, что и в формулах
								Таблица 66
	Удобрении		У. т/га -	фактор А
Урожай Х.						f"	ах	f"a"	f"а'"
пjга	1	2	3	4	5
20			1		5	6	4	24	96
19		1	3	5	4	13	3	39	117
18	2	2	8	4		16	2	32	64
17	1	3	5		1	10	1	10	10
10	2		3			5	О	О	О
	.
1"	5	6	20	9	10	50	-	105	287
					1
1"'lIа",	5	10	34	23	33		~ (f"уа,,) = 105
(fху ах)2	5,0	16,67	57,80	58,78	108,90	~ (fX!I ах)2 = 247,15
fy							fy
Прu.мер 5. Испытывали влияние различиых доз вносимых в
почву оргаиических удобреиий иа урожай						пшеиицы. Получеи­

ные результаты и их обработка приведеиы в табл. 66.

Как и в предыдущем примере, крылья этой таблицы служат для вычисления вспомогательиых величин. Подставляя эти ве­ личины в формулы (116) и (117), находим: DII =287-1052/50=

=287-220,50=66,50; DA =247, 15-220,50=26,55; De=66,50-

-26,65=39,85. Определяем числа степеией свободы: kg =50-

-1=49; kA =5-1=4; ke =50-5=45. Находим зиачеиия дис-

169

персий: SA2 =26,65/4= 6,66; 5е2 = 39,85/45 =0,89.	Отсюда	Fф=
=6,66/0,89=7,5>Fst =3,76 для kA =4, ke =45 и	а=О,ОI	(см.

табл. VI Приложений). Нулевая гипотеза отвергается на высо­

ком уровне значимости (P<O,Ol).

Ранговый анализ. р а в н о ч и с л е н н ы е (п о о б ъ е м у)

к о м п л е к с ы. Правильное применение дисперсионного анализа

основано на предположении о нормальном распределении сово­

купностей, из которых извлечены выборки, входящие в диспер­ сионный комплекс. Если это условие не выполняется или о ха­

рактере распределения нет сведений, применяют неnараметри­

ческие методы анализа. Этот метод не требует, чтобы исходные данные были представлены абсолютными величинами; здесь

допустимо использование относительных величин.

Метод основан на сравнении сумм рангов в градациях дис­

персионного комплекса. Исходные данные ранжируют, т. е. рас­

полагают (в пределах градаций) в ряд по возрастающим зна­

чениям признака. Затем каждому значению признака присваи­

вают порядковый номер, его ранг. (Понятие ранжирования уже

было описано в гл. V, например применение ранговых крите­ риев, в частности И-критерия Уилкоксона.)

При наличии равномерных дисперсионных комплексов раи­ говый анализ проводят с помощью критерия Фридмана по

формуле

2 _		12~(~Яд2	-	3 ( +1)	(118)
XR-		nа(n + 1)		па,
где ~Ri - сумма рангов в каждой				градации; n -	числеиность
вариант в каждой	градации; а -		число градаций.		Полученное

значение '1.2R сравнивают с критическим значением этого крите­

рия по табл. XIX Приложений в случаях, когда а=3 и 2::::;;;n::::;;;

::::;;;9 или а=4 и 2::::;;;n~4. При больших значениях а и n'1.R2-+'1.2

и можно	сравнивать	'1.2Rф С критическими значениями по
табл. VII	Приложений	для принятого	уровня значимости а и
числа степеней свободы k=a-l. Но -			гипотеза, или предполо­

жение о том, что суммы рангов в градациях равны, а их разли­

чия случайны, отвергается, если '1.2R;;;::: '1.2в/.

Прuмер 6. В трех разновозрастных группах детей со здоро­

выми зубами определяли гигиенический индекс (ГИ), выражае­

мый в условных единицах. Полученные результаты и их обра­

ботка приведены в табл. 67.

Как видно из данных табл. 67, значения ГИ ранжируются по пробам (по строкам), а ранги суммируются по градациям

(по столбцам). Например, ранжируем величину ГИ в первой строке: наименьшей величине ГИ= 1 (3 года) соответствует ранг, равный единице, а одинаковым значениям ГИ в 4 и 5 лет

соответствуют и одинаковые раиги (2+3)/2=2,5. Сумма рангов комплекса должиа быть равиа nа(а+ 1)/2. т. е. в даииом при-

170

мере 6·3·4/2=36. Сумма рангов комплекса 1: (~Ri) =8,5+ 12+

+ 15,5=36.

Следовательно, расчеты произведены правильно. Теперь по
формуле (118) вычислим	12·8 52	+ 122	+ 15	,	52	-3·6·4=
	'1 . 2='	6·3·4
= 76,08-72= 4,08.

По табл. XIX Приложений д.lIЯ а=0,05, n=6 и а=3 находим

X2st=7,00. Так как эта величина превосходит фактически полу­

ченное значение критерия Фридмана (4,08), то Но-гипотеза сохраняется. Таким образом, разница в гигиеническом индексе

у детей разного возраста оказалась в приведенном примере не­ достоверной.

						Табnица 67
			Возраст детей• .пет
		3		4		5
Лробы
	А.	R.	Аа	R.	Аз	Ra
		I
1	] ,0	]	3,0	2,5	3,0	2,5
2	1,0	1	] ,2	2	1,3	3
3	1,0	1	2,0	2	2,2	3
4	1,0	1,5	],0	1,5	1,2	3
5	2,6	2	2,7	3	1,3	1
6	2,7	2	1,3	1	3,0	3

Суммы	:ЕЯ.=8,5	}:Я2=]2	:ЕRз=15,5
н е р а в н о ч и с л е н н ы е		к о м п л е к с ы.	Если в градациях

дисперсионного комплекса число вариант не одинаково (неорто­

гональный комплекс), то при обработке собранных данных сле­ дует использовать непараметрический критерий Краскелла­

Уоллиса

Н=	12	~	(~Яд2	3 (N +1),	(119)
	N (N + 1)	~	n'
где N - общее	число наблюдений, объем комплекса; n! -				чис­

ленность вариант в отдельных градациях комплекса; Rl- ранги

вариант, ранжированных в общем порядке, т. е. не по отдель­

ным градациям, как в предыдущем примере, а путем располо­

жения всех вариант комплекса в один общий ряд (см. ниже).

Условием для отвергания нулевой гипотезы на принятом

уровне значимости а будет НФ~Нst. Последняя величина нахО­

дится в табл. ХХ Приложений. При а>3 или n~5 Н_х2, по­

этому величину Нф можно сравнивать с табличным значением

х2в, (см. табл. УН Приложений). Но-гипотезу отвергают, если

171

Нф~'Х2st ДЛЯ ПРИИЯТОГО уровня значимости (а) и числа стеш;

ней свободы (k) =а-l.

Прuмер 7. Изучали глазо-сердечный рефлекс (рефлекс Д~ нини-Ашнера) у детей дошкольного и школьного возраст..

Нужно было выяснить, существуют ли различия между ЭТИМF группами детей по длительности латентного периода исследуt

мого рефлекса. Изучение проводили методом прикосновеНИf

(пальцем) к глазному яблоку с последующей регистрацией вре

мени наступления сердечного рефлекса. Результаты исследов~

НИЯ приведены в табл. 68.

								Таблица 6~
			длительность латентного			периода, с
Возраст,
лет	<0,5	R,	0,5	R,	2	R,	4	R.
1-2	12	16	7	10	2	3,5	1	1,5
3-4	9	13	5	8	4	6,5	1	1,5
5-6	11	15	8	11,5	3	5	2	3,5
7-8			8	11,5	6	9	4	6,5
9-10			10	14
Сумма	3	44	5	55	4	24	4	]3
				I
в этой	таблице	16	вариант, которые			варьируют	в	предела:

от 1 до 12 с. Расположим все варианты по возрастающим значt;­

ниям в один общий ряд и определим их ранги. Если бы отдеЛl-­

ные варианты не повторялись, их рангами были бы соответст

вующие порядковые числа от 1 до 12. При наличии в выборк~

ПОВТОРЯЮЩИХСЯ вариант им присваивают одинаковые ранп

при этом ряд последовательных значений признака удлнняетсr.

В данном примере это выглядит следующим образом:

Номера	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	1213	]4	15	]6
вариант
Xj=	]]		2	2	3	4	4	5	6	7	8	8 9	10	]1	]2
Ri=	],51,53,53,5				56,56,5			8	910]1,5]1,513				14	15	16
Проделав эту операцию,						помещаем			рангн		на	присущие			Иl\.

места в градациях комплекса. Так, в первом столбце табл. 6~

три варианты: 12, 9 и 11. Им соответствуют ранги 16, 13, lё

сумма этих рангов равна 44. Определив таким образом CyMMl-

рангов для каждой градации комплекса в отдельности, подста:&

ляем известные величины в формулу (119):

H=~( 442	+ 552	+ 242 +	142 )-3.17=
]6·]7 3	5	4	4

=~(645,33+605,oo+144,00+49,00)-51 =~ 1443,33-51=

272 68

= 12,68.

172

Известно, что при а>3 или n~5 Н-+'1,,2 1. Поэтому величину

!ф можно сравнивать с табличным значением ,est (см. табл. УII

.1риложениЙ). Но-гипотезу отвергают, если Нф~х2st. В данном ,римере а>3 и n=5. В табл. УII Приложений для k=a-l =

=4-1 =3 и	1%-ного уровня значимости находим ,est= 11,34.
Эта величина меньше фактически получеиной		Нф= 12,68.	еле-
10вательно,	с вероятностью Р>99% можио	утверждать,	что

,rежду детьми дошкольного и школьного возраста существуют

Jазличия в скорости протекания глазо-сердечного рефлекса.

						Таблица 69
			Возраст,	лет
		3	4			5
Пробы
	А.	R.	А.	R.	Аз	R.
1	2	3	3	9,5	2	3
2	3	9,5	3	9,5	2	3
3	3	9,5	3	9,5	2	3
4	3	9,5	3	9,5	2	3
5	3	9,5	4	14	-	-
Суммы		1:RI=41	1:R2 =52			1:Rз= 12

Когда дисперсионные комплексы имеют не больше трех гра­

::;.ациЙ, т. е. при а=3 с числом вариант в градациях n<5, оцен­

~y достоверности фактически полученной величины НФ произво­

~ят по специальным	таблицам	критических значений	критерия
[ (см. табл. ХХ Приложений).
Пример 8. В трех	разновозрастных группах детей		со .здоро­

iЫми зубами был проведен тест резистентности эмали' (тэр­

'ест). Величины ТЭР-индекса выражаются в баллах и могут

~олебаться от 1 до 4. Результаты исследования сведены в

'абл. 69. В этой таблице содержится 14 вариант, которые варьи­

'уют в пределах от 2 до 4.
Как и	в предыдущем				примере,			определяем				ранги		вариант
'ледующим образом:
Х)	2 2 2 2 2 3 3 3 3 3 3 3 3 4
RJ	3	3	3	3	3	9,5	9,5	9,5	9,5	9,5	9,5	9,5	9,5	14

Затем находим суммы рангов членов ряда для каждой груп­ lbI в отдельности. Подставляем известные величины в форму-

•См.: Терентьев П. В., Ростова Н. С. Практикум по биометрии. Л., 1977.

:.116-117, 150,

173

лу (119):
H=~(412 +522		+ 122)_3.15=12.913_45=5217_45=717.
14·155	5	4	14·15	'	,

Так как в данном примере а=3 и n~5, то необходимо вос­

пользоваться табл. ХХ Приложений. Находим для nl=5, n2=5, nз=4 критические значения: при а=0,05 Hst =5,66 и при а= =0,01 Hst =7,79. Сравнивая эти величины с Нф=7,17, заклю­

чаем, что Но-гипотеза отвергается на 5%-ном уровне значимо­

сти (0,01 <Р<О,05). Таким образом, установлено, что кислотная

резистентность здоровых зубов в обследованных группах детей

с возрастом достоверно изменяется.

Оценка силы влияиия факторов. М е т о Д П л о х и н с к о г о.

После того как достоверно установлено действие регулируемого

фактора, можно измерить силу его влияния на результативный признак. Последнюю определяют как долю межгрупповой ва­

риации в общем варьировании результативного признака. Для

измерения силы влияния предложено			несколько	методов.		Наи­
большее признание получили		методы	Плохинского		(1966,	1970)
и Снедекора (1961). Метод		Плохинского базируется на равен­
стве девиат Dy=Dx +De,	которое осуществляется			в любом		дис­
персионном комплексе.	Показатель		силы влияния,		обозначае­

мый символом hx 2 , строят следующим образом: все члены ука­

занного равенства делят на Dy , что дает

D x + D e =1.

Dy Dy

Отсюда вычисляют показатель силы влияния:

2 _	Dx	или	h2	1	-	De	.	(120)
hх-			х=			D y
	D y

К:ритерием достоверности этого показателя служит его отно­

шение к своей ошибке, которую определяют по следующей при­ ближенной формуле:

s 2 =(1-	h2 ) а-	1	(121)
Ах	Х N -	а	'

где а- число градаций регулируемого фактора; N - объем дис­

персионного комплекса. Нулевую гипотезу отвергают, если р=

=hx 2/SA 2~Fst для принятого уровня значимости а и чисел сте-

Х

пеней свободы kl=a-l (находится в верхней строке табл. V Приложений) и k2 =N-а (находится в первом столбце той же таблицы).

При'м'ер 9. Определить силу влияния сорта на урожайность

пшеницы. Исходные данные: Dy=219,60; DA =140,03; SA 2=28,0;

se 2=4,4; n=4 (см. табл. 61 и 62). Отсюда сила влияния сорта

174

(фактор А) на урожайность пшеницы (результативный при­

знак Х) выражается следующей величиной:

	A	DA	140.03 0638
h	2	----=с:... =	="	или
		DIJ	219,50

639

,% .

Это означает, что примерно около 64% от общего варьирова­ ния признака Х обусловлено природой сорта, его генетическим разнообразием и около 36% приходится на долю воздействую­

щих на признак других (модифицирующих) факторов.

М е т о Д С н е Д е к о р а. В отличие от метода Плохинского

этот метод основан на применении не девиат, а дисперсий, при­

чем показатель силы влияния строят с учетом действия на при­

знак не только регулируемых, но и нерегулируемых в опыте

факторов, оценкой которых служит внутригрупповая диспер­

сия, т. е.

(122)"

где §х2 = (Sx2-Se2) In - «исправленная» межгрупповая диспер­

сия, равная разности между дисперсиями межгрупповой (неис­

правленной) и внутригрупповой, или остаточной, отнесенной к

числу членов n в градациях комплекса. Если комплекс неравно­

мерный, величнну n определяют по формуле

n	1	(N- ~(nд2 ).	(123)
	а-l	N

где а- число градаций регулируемого фактора; n- численность

вариант XI в отдельных градациях фактора; N=~n -общее

число вариант, или объем комплекса.

Формулу (122) можно преобразовать таким образом, чтобы при вычислении показателя силы влияния hx 2 не прибегать к

«исправлению» межгрупповой дисперсии:

	(s; -	s;)/n				(124)
Очень удобной при определении				величины h	2	является фор­
				x
мула
2		1;2 -		s2
		)(		~		(125)
hJ( -- 0;;--"';':" - "":"""""'• -
	s; + (n		-1) s;

Достоверность оценок силы влияния, определяемых по мето­ ду Снедекора, устанавливают обычным в дисперсионном анали­

зе способом - посредством Р-критерия Фишера (P=sx2 /Se 2 ).

Величину Р-критерия сравнивают с критическим значением это­

го показателя для принятого уровня значимости а и чисел сте·

175

пеней свободы k x и ke, причем последние определяют так же,

как и при оценке критерия Плохинского.

ПРU'м'ер 9а. Определить силу влияния сорта на урожайность пшеницы по методу Снедекора. Необходимые исходные данные

приведены в примере 9:

28,0 -	4.4	23.6 =0,573, или 57,32%.
28, о + (4 -	1) 4,4	41,2
Нетрудно заметить, что		показатель силы влияния, опреде­

ленный по методу Плохинского (hA 2 =0,638), оказался больше, чем тот же показатель, вычисленный по методу Снедекора

(hA2 =0,573). Это не случайное явление: как правило, определе­

ние показателя силы влияния по Плохинскому И по Снедекору

не приводит к идентичному результату. Поэтому при определе­

нии силы влияния следует указывать, каким методом вычислен

этот показатель 1 •

достоверность оценок силы влияния hA2 =0,638 (по Плохин­

скому) И hA 2 =0,573 (по Снедекору) устанавливают слеДУЮillИМ

образом: по Плохинскому, hA2/Sh2=0,638/0,101 =6,32, где Sh2 -

А	А
ошибка показателя силы влияния, определяемая	по формуле
(121). По Снедекору, FФ=SА2/Sе2 =28,0/4,4=6,36. В	обоих слу­

чаях Fst =4,25 для k1=a-l=6-1 =5; k2=N-а=24-6= 18 и

а=О,1 %. Нулевую гипотезу отвергают иа высоком уровне зиа­

чимости (Р<О,ООI). ЭТО означает, что в данном случае оценки

хорошо репрезентируют генеральные параметры и вполне до­

стоверны.

ПРU'м'ер 10. В табл. 63 приведены данные о влиянии различ­

ных доз минеральных удобрений на урожай озимой ржи. В дан­

ном	случае	представлен		неравномерный				дисперсионный комп­
лекс	с его	характеристиками: Dy =33,05;						DA=27,31; sA 2 =9,10;
se 2 =0,52; n=4; N=15. Из-за					рассматриваемой				неравномерно­
сти	комплекса необходимо рассчитать						усредненное значение n
по формуле		(123):					(15 _~)=10,б7			3,56.
n= ~ (15-( 42 +62 +32 +22 ))=J...
	4 -1		. 15			3		15	3
Отсюда, по Снедекору,					h2 _	9,10 -0,52			8,58	=082'
					А -	9,10 + 2,560,52			10,43	1 .
ПО Плохинскому,			2	h2A	27,31	0,83.
			hA = -- -		33,05
				sh2
				А
Переходим к определению критерия								достоверности		оцеиок

(по Фишеру):

I Известно, что показатель силы влияния фактора, найденный по методу

Плохинского, оказывается весьма смещенной оценкой. Поэтому лучше поль­

зоваться аналогнчным покаэателем Снедекора, (Прим. ред.)

176

1\0	Снедекору,	Fф=s~/s;=9,10/0,52 = 17,5;
I
до Плохинекому,			Fф=h~/S:2 =0,83/0.05= 16,6.
I				А
:,	Оба показателя значительно превосходят критическую точку
1I'st=6,22 для		k1=4-1		=3 (находим по	горизонтали табл. УI
ГIриложений),		k2 =	15	-4= 11 (находим	в первом столбце упо­

мянутой таблицы) н уровня значимости а=О,1 %. Так как Fф>Fst, нулевая гипотеза опровергается на высоком уровне значимости (Р<О,ООI). Таким образом, доказано, что различ­

ные дозы минеральных удобрений по-разному влияют на уро­ жай озимой ржи.

Сравнение групповых средних дисперсионного комплекса.

После того как достоверно установлено влияние регулируемого

фактора или факторов на результативный признак, при необхо­

димости прибегают к сравнению групповых средних друг с дру­

гом или с какой-либо другой величиной, например с контролем,

стандартом, установленной нормой и т. п.

Разность между средними величинами, как описано выше,

оценивают по t-критерию Стьюдента, т. е. по отношению ука­ занной разности к ее ошибке. Этот способ, однако, неприменим

к сравнительной оценке средних в дисперсионном комплексе,

так как наряду с межгрупповой дисперсией на величине ошибки

разности Sd между групповыми средними комплекса сказывает­

ся и влияние внутригрупповой дисперсии Se 2, величина которой

зависит и от численности вариант Х/ в группах, и от количества

групп а, входящих в данный комплекс. Эти обстоятельства ограничивают применение критериев Стьюдента и Фишера. По­

этому в качестве ошибки разности между групповыми средними

дисперсионного комплекса принят корень квадратный из отно-

шения внутригрупповоиv, или остаточноиv, дисперсии к числу

вариант, входящих в состав градаций фактора А, т. е.

"1 (; -
Sd= V :.	(126)'

Для оценки разности между групповыми средними диспер­

сионногокомплекса при меняют специальные методы, созданные

на базе критериев Стьюдента и Фишера. Из них наиболее под-

ходящими считают методы множественных сравненииv, разра-

ботанные Дж. Тьюки (1949) и Г. Шеффе (1953).

М е т о Д Т ь ю к и. Этот метод применяют для провеРКII нуле­

вой гипотезы при сравнении групповых средних Хl и Х2 равно­

великих групп, т. е. при nl =n2=n. Критерием оценки служит

отношение разности сравниваемых средних к своей ошибке:

- -

IXI-xl

Vs;/n •

177

I

Величину tQ сравиивают с критической точкой Qst для ke и 5%f

ного уровня значимости с учетом числа групп или градаций q

регулируемого фактора А. Критические значения Qst содержатt

ся в табл. XXIV Приложений. Нулевую гипотезу отвергают,

если tQ~Qst или 'ХI-Х21 ~SdQst.

Пример 11. В табл. 60 приведены групповые средние, харак­ теризующие урожайность шести сортов пшеницы в местных ус­ ловиях возделывания этой культуры. Из этнх данных видно, что'

нанболее урожайным оказался пятый сорт (хs=32,2 ц/га), а

наименее урожайным - шестой сорт (Х6=25,0 ц/га). Если в ка­

честве стандарта условно принять урожайность шестого сорта, то разница по урожайности между пятым и шестым сортами

пшеницы составит 32,2-25,0=7,2 ц!га.

Проверим достоверность этой разности. Здесь средние вы­ числены на равных по объему группах вариант (n=4); число

испытываемых сортов равно шести, т. е. а= 6; объем комплекса

N=24; внутригрупповая дисперсия Se 2 =4,4. Отсюда

	32,2 - 25,0	7,2
	v4~4		6,86.
		1,05

В табл. XXIV Приложений для ke=N-а=24-6= 18 и а=6 находим Qst=4,5. Так как tQ>Qst, нулевую гипотезу отвергают на 5%-ном уровне значимости. Разницу между сравниваемыми

средними дисперсионного комплекса следует признать статисти­

чески достоверной.

М е т о Д Шеф Ф е. В отличие от метода Тьюки этот метод

множествениых сравненнй одинаково применим и к равно-, и к

неравновеликим по составу группам. Критерием достоверности различий, наблюдаемых между групповыми средними диспер­

сионного комплекса, служат следующие отношения:

	-	-
F	'Х! -Х'21		(при nl f: l1:<J.).
		Пе

Нулевую гипотезу отвергают, если F >-V(a-l)Fst ' где а­

число градаций фактора А; Fst определяют с помощью таблицы Фишера (табл. VI Приложений) для принятого уровня значи­

мости а и чисел степеней свободы kl=a-l и k2=N-а, где N-

объем дисперсионного комплекса.

Прuмер 12. В табл. 63 приведены данные о влиянии различ­

ных доз минеральных удобрений на урожай озимой ржи. В той

же таблице содержатся групповые средние, характеризующие

178