uchebnik10

г.Ф. ЛАКИН

БИОМЕТРИЯ

Издание четвертое.

переработанное и дополненное

Допущено

Государственным комитетом СССР

по народному образованию в качестве учебного пособия

для студентов биологических специаЛloностеit

высших учебных заведений

МОСКВА "ВЫСШАЯ ШКОЛА»1990

ОГЛАВЛЕНИЕ

Список условных обозначеиий • • • •

Предисловие	к	четвертому издаиию •
Предисловие	к	первому изданию	••
Введение .	., • • . • • . • .		•

• • •			• •	• •	• • • • •	3
•	•• • • • • • • • • • • •					5
	• •	• •	• •	•	• • • • •	5
•	•	•	• •	• •		7

Глава 1. Основные поиятия биометрии. Группировка первичиых даиных

18

1.1. Предмет и основиые понития биометрии. • • ••

о.

••

18

1.2 Дналектика связи между едииичиым и общим..

••

о..

19

1.3. Признаки и их свойства .•

о

••

о

•

•

•

•

•

••

••••••

19

1.4. Классификация

признаков .

о

О

•

•

•

о

•

•

•

•

••

о..

20

1.5. Причнны варьироваиия результатов иаблюдеиий о •

••

21

1.6. Формы учета результатов иаблюдеиий .•

о

•

•

•

•

•

••

22

1.7. Точность измереииЙ. Действия над приближеиными

числами. •

22

1.8. Способы группировки первичиых даиных . • • • •

•

о.

2.3

Глава IIo Осиовиые характеристики варьирующих объектов

••

•

•

•

37

1I.1. Средние величииы о о

•

•

•

•

•

•

•

о

О

•

•

•

•

••

•

••

37

Il.2.

Показатели

вариации

.

•

о

•

•

•

•

•

•

•

•

•

•

•

••

45

II.3. Способы вычислеиия степеииых средиих и показателей вариа-

53

ции ..... • ... • ... • ....... •• . ••••

II.4. Структуриые средиие н способы их вычислеиия . •

• . • • ••

60

II.5. Статистические характеристики при альтериативиой группиров-

ке вариаит . . • о •

••

••

••

•

•

•

•

64

Глава II1. Закоиы распределеиия . • •

•

•

•

•

•

•

•

•

•

66

III.1. Характериые черты варьирования.

•

•

•

·•

·•

•

66

III .2.

Случайиые

события

.

• .

о

О

О

•

•

•

•

•

•

•

·

67

и ее свойства .

III.3. Вероятиость события

•

•

•

·

68

IlI.4. Закои больших

чисел

. •

•

.

•

••

•

•

•

70

ПI.5. Бииомиальное

распределеиие

. .

• .

•

•

•

•

72

III .6.

Распределение

Пуассона .

о

О

•

•

•

о

•

•

78

llI.7.

Параметры дискретных распределений ••

•

•

•

•

•

·•

·

80

III.8.

Нормальиое

распределеиие .

о

•

•

•

о

•

•

•

•

•

82

III.9. Распределение Максвелла .. ••••

·

о

87

III.I0. Измерение

асимметрии

и

эксцесса.

•

•

•

•

•

•

89

Ш.11. Распределение Шарлье о •

•

•

•

•

о

•

•

•

•

•

92

Глава lV. Выборочиый метод и оцеика геиеральиых параметров . ••

,

96

IV.l. r еиеральиая

совокупиость и

выборка

. •

•

•

•

•

•

•

•

•

••

96

IV.2. Точечиые оценки , .

.

•

•

•

•

•

•

•

•

•

•

•

•

•

•

•

•

•

••

99

lУ.3. Интервальные оценки

•

•

•

•

•

•

•

•

•

•

•

•

•

•

•

•

•

•

••

106

351

Глава V.	Критерии достоверности	оценок. • • ••		• • •	•	•
V.1. Статистические гипотезы		и	их проверка		•	• •
\_ V,2.	Параметрические критерии		. ' . . . .

V.3. Непараметрические критерии. . . . . .

V.4. Оценка биологически активных веществ.

Глава V1. Проверка гипотез о законах распределения.

VI.1. Применение коэффициентов асимметрии и эксцесса для про-

верки нормальности распределения . . . . . . . .

VI.2. Критерий хи-квадрат (х2-распределение) . . . . . .

VI.3. Критерий Ястремского J . . . . • • . • • . • . • •

VI.4. Причины асимметрии эмпирических распределений . VI.5. Оценка трансгрессии рядов . . . . . . . . . . . .

VI.6. Проверка сомнительных вариант.

Глава Vl1. Дисперсионный анализ . . . •

VII .1. Анализ однофакторных комплексов

VII.2. Анализ двухфакторных комплексов

VII.3. Анализ трехфакторных комплексов

VII.4. Анализ иерархических комплексов

Глава V111. Корреляционный--_.- анализ . . . .

111

111

113

128

134

136

136

138

145

148

150

153

155

159

179

195

200

208

VII 1.1. Параметрические показатели связи .			209
VIII.2. Непараметрические показатели связи .			237
VII 1.3. Множественная и частная корреляция .			251
Глава 1Х. .РегрессионныЙ анализ			254
IX.1. Линейная регрессия ..			255
IX.2. Нелинейная регрессия .			274
IX.3. Оценка достоверности показателей регрессии			298
IX.4. Выбор уравнений регрессии. . . .			303
Глава Х. Вопросы планирования исследований. . . . .			306
Х.1. Приближенные оценки основных статистических показателей .			307
Х.2. Определение необходимого объема выборки			309
Послесловие редактора . . . .			311
Приложения (Математические таблицы)			319
Рекомендуемая литература .. . . . . .		•	346
Рекомендуемая литература к послесловию редактора	•		347

Предметный указатель • . . • . . . . . . . . . . . . . . . . • . . • 348

ББК28

Л 19 УДК 57.087.1

	Р е ц е н э е н т ы:
Научно-исследовательский институт		и музей	антропологии им.
Д. Н. Анучина (директор ииститута, д_р		биол. наук В. П. Чтецов); д_р
биол. иаук,	проф. Л. А. Животовский	(Институт	общей генетики
им. Н. И.	Вавилова АН СССР)

Лакни Г. Ф.

л 19 Биометрия: Учеб. пособие для биол. спец. вузов-4-е ИЗД., перераб. и Доп.-М.: Бысш. шк., 1990.-352 С.: ил.

ISБN 5-06-000471-6

в кииге рассмотреиы осиовиые поиятия биометрии, ЧИСlIовые характеристики

описаиия совокупи ости эмпирических даииых. законы распределеиия. построеиие

статистических оцеиок. параметрические и иепараметрические методы проверки

статистических гипотез, дисперсиоиныЙ. корреllЯЦИОИИЫЙ	и регрессиоииый аиа­
IIИЗ и иекоторые вопросы Пllаиироваиия экспериме!lТОВ. 4·е	издание (З'е - 1980 г.)
содержит зиачительиые поправки и дополиения.
л 1901000000(4309000000)-177 131-90	ББК 28
001(01)-90	57

Учебное издание

Лакни Георгиit ФИnИППО8ИЧ

&ИОМЕ1РИЯ

Научиый редактор В. Е. Дерябни. Редактор А. С. 0plloBa. Младшие редакторы Е. В. Бурова, Е, И. Попова. Художествеииый редактор Т. А. КОllеикова. Техни, ческий редактор Е. И. Герасимова. Корректор Г. И. Кострикова

ИБ М 7779

Изд.	N. Е-548.		Сдаио	в	иабор	11.09.89. Подп.	в печать		06.02.90.	Формат
6ОХ88'/'0' Бум.		офс.	Nt 2.	Гариитура		литературиая.	Печать		офсетиая.	Объем
21,56	YCII. печ.	11. 21,56 YCII.			Кр.·отт.	21,89 уч.·изд.	11. Тираж		200DO экз. Зак.
					N. 1674. Цеиа 1 руб.
Издатenьство «Высшая школа-. 101430. Москва, ГСП·4, НеГllиииая ул.• д. 29/14.
Московская		типография Nt 8 Государствеииого комитета						СССР по печати,
		·1	!:.~2~,_MOCKB::" , !.!~J2!'rОХIIОВСКИА				пер,.	7.

ISBN 5·06·0	!l . '	:, ':,'''~',,'..,' Н"			© г. Ф. Лакнн. 1990
	I'IA 1'"'tГ;1		.::, ,	'
	~d. . f•.. ~.	.""4 ' • .,А"'\~GСt-t~~. О		,
	~~:a;}~~r~·J	fGG, J ;'·ч- ~ЧI:;i:·Г{~		i
		...	··So

СПИСОК УСЛОВНЫХ ОБОЗНАЧЕНИЙ

А,	В,	С,	... -	постоянные величины; факторы и нх градации в
			А -	дисперсиониом комплексе; случайиые события
				условная средняя, иулевой класс, где А=О
а,	Ь,	с,	... -	числеиность групп (градаций)		факторов А, В, С, ...
				в дисперсионных комплексах; параметры, опреде­
				ляющие соотношение	между	аргумеитом и функ­
			а -	цией; варианты в клетках четырехпольной таблицы
				отклонения вариант от условной средней, нулевого
			As -	класса
				коэффнциент аснмметрии ряда распределения
			Ь" -	условный момеит n·го поридка
b~",		и Ь"у -		коэффициенты регрессии У/Х и Х/У
			Cs -	показатель точиости оценки средней величины
			Cv -	коэффициенты вариации
			D -	сумма квадратов отклонений вариант от их сред­
			d -	иих (девиата)
				разность между сравниваемыми величинами
			d- средняя разиость между попарио сравииваемыми
			Ех -	вариантами
				показатель (коэффициент) эксцесса распределения
			F -	критерий соответствия (согласия) Р. Фишера
			f -	эмпирические частоты	вариант в даниой совокуп­

f' -

'",~ -

ности

вычислениые или ожидаемые частоты вариаит частоты вариаит в клетках корреляциоиной таб­

лицы

,. - первая функция иормального распределеиия Н - величнна, используемая в дисперсионном анализе;

критерий Краскелла - Уоллиса

НА - символ альтернативной гипотезы

Но - символ иулевой гипотезы

h2 - показатель силы влияния факторов на результа-

тивный признак

i - порядковый иомер варианты

J - критернй соответствия Ястремского

К - бииомиальиый коэффициеит; коэффициеит взаим­

ной сопряжениости между качественными приз­

иаками

k - чнсло степеней свободы

Нт - символ, обозначающий границы вариации признака Ме - медиаиа Мо - мода

т - начальные момеиты распределения; классы бино­

миального ряда; число случаев, благоприятствую­

щих иаступлеиию ожидаемого события; абсолют­ ная численность альтернатив, обладающих дан­

ным (плюсовым) призиаком; доза вещества, вы­

зывающая эффект у 100% подопытных особей

N - объем генеральиой совокупиости; объем дисперси­

оииого комплекса; число классов (групп) вариа­

циоиного ряда; общая сумма сопоставляемых ря­

дов

n - объем выборки; число членов ряда регрессии; чис­

лениость вариаит в отдельных градациях диспер­ сиоиного комплекса

3

n! -	варианты в градациях анализируемого комплекса
ii -	усредненная величина входящих в выборку число-
Q -	вых показателей
	коэффициент ассоциации Юла
р -	вероятиость события; доверительная вероятность
р -	доля вариант, обладающих данным признаком (+)
q -	доля	вариант, не обладающих данным	призна-
R -	ком	(-)
	раиг,	или порядковый номер варианты в	ранжи­

рованном ряду; размах вариации; коэффициент

корреляции знаков

r - коэффициент корреляцин

5" - среднее квадратическое отклонение

s.? - выборочная дисперсия (варианса)

S,x- ошибка выборочной средией

511"	и S"y -		ошибки регрессии У по Х и Х по У
	Т -		критерий Уилкоксона для независимых выборок
	Т, -		показатель трансгрессин рядов распределения
	t	-	нормированное отклоненне; критерий Стьюдеита
	и	-	критерий Уилкоксона	(Манна - Уитни) для со­
	Х -		пряженных выборок
			критерий Ван-дер-Вардена
_	_Х -		средняя арифметическая (общая)
ХА и ХВ		-	средние арифметические из суммы членов градации
	_	-	А и В дисперсионного комплекса
	х,		средняя геометрическая
	Xh	-	средняя гармоническая
	Х!	-	групповая средняя в однофакторных дисперсион­
	Xq -		ных комплексах
			средияя квадратическая
_	~Q	-	средняя кубическая
XII	и y~-		частные или групповые средние Х по У и У по Х
	х	-	средняя из суммы групповых средних
Х, У, Z, ." -			переменные величины;	признаки
х, у, Z, .,.		-	числовые значения признаков, варианты или даты
	z	-	(по терминологии Р. Фишера)
			преобразованный коэффициент корреляции (по
			Фишеру); критерий зиаков

а	(альфа)	-
~	(бета)	-
'V	(гамма)	-
до	(дельта)	-
fJ	(эта)	-
л	(ламбда)	-
[.t (ми, мю)		-
v (ню)		-

уровень значимости оценок

критерий достоверности Блекмана

показатель линейиости связи

предельная величина ошибки выборочных показа-

телей; величина, определяющая границы довери­

тельного интервала

центральные моменты; корреляционное отношение величина классового интервала

генеральная средняя; математнческое ожндание

число ограннченнй свободы вариацни

р(ро) - генеральный коэффициент корреляции

~(сигма прописная) - знак суммирования

(1 (сигма строчная)

(12

<р (фи)

<р2

-

-

-

-

среднее квадратическое отклонение (генеральное)

генеральная дисперсия (варианса)

преобразованная доля вариант (по Фишеру)

показатель взаимной сопряженности между груп-

памн варьирующих признаков

'1.2 (хи,квадрат)

'ф (пси)

-

-

критерий соответствия Пирсона

величина, применяемая в формуле Х-критерия Ван-

дер-Вардена

4

ПРЕДИСЛОВИЕ К ЧЕТВЕРТОМУ ИЗДАНИЮ 1

Настоящее (четвертое) издание «Биометрии» переработано и

дополнено новыми данными. Пересмотру подвергнута каждая

.глава; особенно заметные изменения внесены в гл. J. Значитель­

ные поправки и дополнения сде.rrаны в главах, посвященных дис­

персионному и корреляционно-регрессионному анализу. Изменен

и самый порядок расположения глав. Все это положительно ска­

залось на системе изложения материала, заимствованного из раз­

ных разделов биологии, медицины, антропологии, педагогики, ос­

нов сельскохозяйственных наук и других смежных отраслей зна­

ния.

При подготовке книги были учтены многочисленные отзывы,

критические замечания и пожелания читателей, которые автор

получил после выхода в свет третьего издания (1980).

Автор выражает всем этим лицам свою признательность. Ав­

тор также благодарен А. А. Кузьмину (г. Архангельск) за боль­

шую помощь при подготовке настоящего издания, професеору

Н. Б. Вассоевичу (МГУ) за оказанную им помощь в работе, а также О. А. Лакиной (супруге автора), принимавшей участие в

работе по совершенствованию рукописи.

Автор

ПРЕДИСЛОВИЕ К ПЕРВОМУ ИЗДАНИЮ

в творческой деятельности биолога, в какой бы области он ни работал, большое место занимают вопросы статистической об­

работки опытных данных, сравнительная оценка результатов на­

блюдений. Поэтому вполне понятен тот большой интерес, кото­

рый проявляют биологи самых различных специальностей к справочным пособиям и руководствам по биометрии.

В нашей стране и за рубежом издан целый ряд таких посо­

бий, и, несмотря на то что многие из них доступны лишь сравни­ тельно узкому кругу специалистов, все издания быстро разош­

лись. Спрос на учебные пособия и справочную литературу по био­ метрии в нашей стрЭ"Не необычайно велик. Особенно сильно ощу­

щается недостаток в общедоступных руководствах по этому пред-

1 В связи С кончнной автора во время подготовкн учебного пособия к пе­

реизданию доработка рукописи и научное редактирование осуществлены канд.

биол. наук В. Е. Дерябнным, им же написано послесловие ,~ книге.

5

мету; в них очень нуждаются широкие круги биологов и специа­

листов смежных с биологией дисциплин.

Настоящее руководство рассчитано главным образом на сту­

дентов и аспирантов, изучающих этот предмет, а также на препо­

давателей и научных работников, которые не имеют специаль­ ной математической подготовки и нуждаются в таком руководст­

ве. Полезные сведения найдут в этой книге и учителя средних

школ, занимающиеся проведением опытов на пришкольных уча­

стках, в лабораториях и в производственных условиях сельско­

хозяйственных предприятий.

От приступающих к изучению биометрии требуются знания

математики хотя бы в объеме программы средней общеобразова­

тельной школы.

Вычислительная работа значительно облегчается при пользо­ вании математическими таблицами, особенно таблицами для из­

влечения квадратных корней и возведения в квадрат целых и

дробных чисел; весьма удобны «Пятизначные таблицы» Е. Прже­ вальского, «Математические таблицы» П. П. Андреева (1958) и «Таблицы умножения» О. Рурк (1949, 1965). Можно воспользо­

ваться и другими пособиями, в частности широко известными «Таблицами Барлоу» (1965). Специальные статистические таб­ лицы, необходимые для практической работы, помещены в При­

ложениях.

При написании учебного пособия автор использова.'1 различ­ ные литературные источники, а также собственный эксперимен­

тальный материал, собранный преимущественно в Сухумском

питомнике обезьян.

Наряду с описанием методики вычисления суммарных биомет- .

рических показателей в книге рассматриваются и вопросы теоре­

тического характера, даются обоснования некоторых наиболее

важных формул. Примеры и графики иллюстрируют отдельные

положения курса. Такое построение учебного пособия облегчает

усвоение предмета и позволяет использовать биометрические ме­

тоды не слепо. а осмысленно, с пониманием конструктивных осо­

бенностей различных математических формул и уравнений.

При подготовке рукописи автор учел полезные советы проф. М. Ф. Нестурха; большую помощь в работе оказали рецензенты проф. В. В. Алпатов и канд. биол. наук Ю. С. Куршакова и

В. п. Чтецов. Автор благодарен также и коллективу кафедры

антропологии МГУ (зав. кафедрой - проф. 51. 51. РОГИНСКИЙ).

который рекомендовал рукопись к печати.

Специфика биометрии, ее место в системе биологических на­

ук. С формальной точки зрения биометрия представляет совокуп­

ность математических методов, применяемых в биологии и заим­

ствованных главным образом из области математической статис­

тики и теории вероятностей. Наиболее тесно биометрия связана с

• u •

математическои статистикои, выводами которои она преимущест-

венно пользуется, но и биометрия влияет на развитие матема­

тической статистики. Взаимодействуя между собой, они вза­ имно обогащают друг друга. Однако отождествлять биомет­

рию с математической статистикой и теорией вероятностей

нельзя.

Биометрия имеет свою специфику, свои отличите.lьные черты

и занимает определенное место в системе биологических наук.

Современная биометрия - это раздел биологии, содержаиием

которого является планирование наблюдений и статистическая

обработка их результатов; математическая статистика и теория вероятностей - разделы математики, теоретические, фундамен­

тальные науки, рассматривающие массовые явления безотноси­

тельно к специфике составляющих их элементов.

Теория вероятностей исследует законы, действующие в сфере

массовых событий и случайных величин, а математическая ста­ тистика занимается разработкой выборочного метода, вопросами вероятностной оценки статистических гипотез. Биометрия - при­

кладная наука, исследующая конкретные биологические объек­

ты с применением математических методов 1. Биометрия воз­

никла из потребностей биологии. В пограничных областях меж­

ду биологией и математикой сложились и другие направления

математической биологии. Каждое направление имеет свои за­

дачи и применительно к ним использует соответствующие ма­

тематические методы. Общим для всех направлеиий математи­ ческой биологии является дедуктивный подход к решению кон­

кретных задач, когда на первое место выдвигаются математи­

ческие модели с последующей проверкой их опытом. Биомет­

рия же опирается преимущественно на индуктивный метод,

мин «вариациоиная статистика» (от лат. variatio - изменеиие, колебаиие и status - состояиие, положение вещей) понимают как статистическую обра­

ботку результатов измерений. Оба термииа недостаточно точны. Отсюда по­

пыткн заменить их термином «биологическая статистика» (А. В. Леонтович,

1909; П. Ф. Рокицкий, 1973), который также ие лишен недостатков.

Учитывая отсутствие общепринятого названия предмета, Ю. Л. Помор­

ский (1935) пришел к выводу, что из всех предложенных терминов наиболее

удачиым следует считать термин «биометрия», как наиболее четко отража­

ющий содержание этого предмета. Следуя этому выводу, автор предпочита­ ет пользоваться первоначальным термином «биометрия», как БОJIее кратким и

удобным в· обращении, применяя его в том смысде, который ои приобреJI после

классических работ Р. Фишера.

1 Здесь и в дальнейшем слово «объект» обозиачает то, что изучается или

может быть изучено, на что направлено внимание исследователя,

8