Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
1-15.docx
Скачиваний:
47
Добавлен:
23.03.2015
Размер:
878.8 Кб
Скачать

8. Невласні інтеграли 2-го роду.

Нехай ф-я f(x) визначена на проміжку [a,b) точку х=b назвемо особливою точкою ф-ції f(x) якщо lim f(x)= коли х b->0. Озн. Нехай f(x) визначена на проміжку [a,b) де точка b - особлива і інтегровна на будь-якому відрізку [a,b- ε). Якщо існує границя то її наз. Невласним інтегралом 2-го роду і позначають.

Тобто за озн. =(1)

Якщо границя в (1)існує і скінченна, ф-цію f(x) наз. інтегровною на проміжку[a;b], а сам невласний інтеграл наз. збіжним. У випадку, якщо границя в (1) не існує або нескінченна,то ф-ціюf(x) наз. неінтегровною на [a;b] а сам невласний інт-л наз-ся розбіжним.

Аналогічно визнач. невласний інтеграл 2-го роду, якщо особливою є точка а.

=(2)У випадку якщо особливими є точки а і в, невласний інтегр визнач.=+(3)

де с – довільна точка із інтервала [a;b]

Інтеграл (3) вважаєм збіжним якщо збігаються обидва інтеграла у правій частині (3) Можна довести, що інтаграл (3) не залежить від вибору внутрішньої точки с. У випадку якщо особливою точкою є внутрішня точка відрізка [a;b] невласний інтеграл 2-го роду визнач так

=+

(4)

де т. с0 – особлива точка ф-ції f(x). Інтеграл (4) вважають збіжним, якщо збігаються обидва інтеграли у правій частині (4)

Як і невласні інтеграли 1-го роду не є границями інтегральних сум, а визнач. як інтеграли із змінними межами інтегрування. Геом. зміст інтегралів (1) – (4) полягає в тому, щоб вони визначали площу необмеженої поверхні

Деякі достатні ознаки збіжності невласних інтегралів 2-го роду. Сформулюємо для інтегралів виду (1). Для виду (2) –(4) формулюються аналогічно.

Теорема 1( ознака порівняння)

Нехай ф-ції f(x) і g(x) додатні і неперервні на проміжку [a;b) і b – особлива точка 2-х ф-цій. Якщо для всіх х що належать [a;b) існує нерівність 0f(x)g(x) від збіжності інтегралу випливає збіжність. А із розбіжностівипливає розбіжність. Наведена теорема має такий геом. зміст:

Якщо площа більшої за розміром обл. є скінченне число, то площа меншої обл. також скінченна. У випадку, якщо площа меншої обл. нескінченна величина, то площа більшої обл. також нескінченна.

Теорема 2 (гранична ознака порівняння)

Нехай ф-ції f(x) і g(x) неперервні додатні на проміжку [a;b) і т. в- особлива точка обох ф-цій. Якщо , то інтегралиіабо одночасно збігаються, або одночасно розбігаються.

Наведені теореми 1 і 2 справедливі лише для додатніх ф-цій. Для знакозмінних ф-цій справедлива

Теорема 3: Нехай f(x) неперервна на проміжку [a;b), т. в – особлива.Якщозбігаеться то збігається і інтеграл. Твердження обернене до твердження данної теореми неправильне. Із збіжностіне випливає збіжність

Відрізняють випадки:умовно и абсол збижн.

9.Числові ряди. Найпростіші властивості.

Озн. : Нехай задана посл-ть дійсних чисел {an}n=1={a1,a2,…., an ….}.

Числовим рядом наз-ся вираз a1,a2,…., an …=.(1)

Цьому ми не приписуємо ніякого числа, тому що не можна виконати нескінченну суму.anназ. загальним членом ряду (1).

Частинною сумою ряду (1) наз. вираз Sn a1+a2+., +an

Сумою ряду (1) наз. S = lim Sn якщо ця границя існує.

n->∞

Ряд 1 наз. збіжним, якщо сума S –скінченне число, тоді пишуть =S

Якщо ця границя є нескінченна або не існує ряд 1 наз. розбіжним. Це позначають =

Приклади:

  1. Геом. прогресія

a + aq +…+ aqn-1+ …=∑ aqn-1 Sn= a + aq +…+ aqn-1 = a(1-q)/1-q= a/1-q - aqn/ 1-q = a/1-q, |q|<1

n=1 , |q|>1

У випадку, якщо q=1 Sn= a + a +...+а = na -> 

n->  ряд розбіжний. Геом. прогресія збігаеться, якщо|q|<1 і розбігається якщо |q|≥1

2. Гармонічний ряд

1+ 1/2 + 1/3+…+1/n+…=∑1/n Покажемо, що цей ряд розбіжний. При доведенні формули для числа е ми розглядали

n=1

послідовність {xn} ={(1 +1/n)n} Ми довели, що ця послідовність зростаюча і обмежена зверху числом е. Для будь-якого

n=1 n=1

nє|N (1+1/n)n <e

прологарифмуємо ln(1+1/n)n <lne

nln(1+n/n )<1

ln(1+n)-ln(n)<1/n (2)

Запишемо нерівність (2) для n=1,2,3…

ln2 – ln1<1

ln3 – ln2<1/2

ln4 – ln3<1/3 ln (n+1) – ln(n)< 1/n

Додамо відповідні ліві та праві частини одерж. нерівності

ln (n+1)<( 1+ 1/2 + 1/3+…+1/n) -> Sn , де Snчастинна сума ряду ∑1/n

Перейшовши у нерівності ln (n+1)< Sn до границі при n->  За теоремою про граничний перехід у нерівності для послідовності одержимо lim Sn =

n->∞

Це означ. що вихідний ряд розбіжний за означ.

Якщо ряд збігається і має скінченну сумуS , то ряд с також збігається і має суму СS

Дов-ня:

Нехай Sn=,n=С=сSn. частинні суми відповідних рядів. Тоді за озн. суми ряду

limn σn= limn C = Climn =limn Sn =сS.

2)Якщо ряди ізбіг-ся і мають суми А і В то збіжн-ми є рядиВ.

Дов-ня:

Нехай Sn=, n=

S*n=, S*n= Snn

Тоді limn Sn=А , limnn=В.

3)На збіжність не впливає приєднання до нього або відкидання скінченної кількості членів

Нехай числовий ряд з якого відкинемоm членів суму яких позначимо m Візьмемо n настільки великим щоб всі відкинуті доданки містились у частинній сумі Sn. Через Сn-m позначемо ті доданки, що містяться в Sn і не містяться в m тоді

Sn= сm+n-m тоді limn Sn= сm+ limnn-n.

Звідси випливає що границі у лівій і правій частині одночасно існують або не існують тобто ряд один збіжний(розб-й) коли збіжн-й(розб-й) ряд без m його членів.

Озн: Вираз rn =наз. залишком ряду (1).

Із властивості (3) випливає, що ряд 1 збіжний(розбіжний) тоді і тільки тоді, коли збіжним(розбіжним) буде його залишок.

4) якщо ряд 1 збіжний, то limn rn = 0

Доведення:

=S < 

за озн. Sn + rn = Srn = S- Sn

тоді limn rn = limn (S- Sn)= S- S=0

5)Необхідна умова збіжності .

Якщо ряд 1 збіг-ся то limn аn=0.

Дов-ня:

Нехай =S< тоді an = Sn - Sn-1= --1=> limn an= limn( Sn - Sn-1)=S- S=0

Зауваж. Наведена умова є лише необхідною але не достатньою тобто існують розбіжні де limn аn =0

Прикладом такого ряду є ∑1/n

n=1

Достатня умова розбіжності ряду:

Якщо limn аn0 то є розбіжним

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]