- •2. Неперервність ф-ї багатьох змінних.
- •3. Частинні похідні. Диференціал функцій багатьох змінних.
- •4. Повний диференціал функції багатьох змінних. Диференціали вищих порядків.
- •5. Похідні складної ф-ї багатьох змінних. Диференціал складної ф-ї багатьох змінних.
- •6. Екстремум ф-ї 2 змінних. Необхідні і достатні умови.
- •7. Невласні інтеграли 1 роду. Приклади.
- •8. Невласні інтеграли 2-го роду.
- •9.Числові ряди. Найпростіші властивості.
- •10.Достатні ознаки збіжності додатних числових рядів. Приклади. А).Ознаки порівняння додатніх числових рядів.Приклади.
- •11. Знакопочередні ряди. Ознака Лейбніца. Знакозмінні ряди. Абсолютна і умовна збіжності.
- •12.Функціональні ряди. Поняття рівномірної збіжності. Ознака Вейєрштраса
- •13. Степеневі ряди
- •14. Ряд Тейлора
- •15. Тригонометрический ряд Фур’є
- •16. Подвійний інтеграл умови його існування і властивості.
14. Ряд Тейлора
Нехай f(x) є сумою степ. ряду (1) на (-R, R). Вираз (1) наз. також розкладанням ф-ції f(x) в околі точки або розкладання ф-ції за степенями . Числа наз. коефіціентами цього розкладую Задача полягає в тому щоб у дифірінціальному ряді (1) знайти коефіцієнти розкладання. За властивістю степеневих рядів, ряд (1) можна дифірінціювати скільки завгодно раз і одержані в результаті цього ряди будуть мати інтервали збіжності
Звідси одержимо … ,
Підставляючи знайдені коефіцієнти в (1) одержимо степеневий ряд (2).
Опр. Ряд (2) наз. рядом Тейлора ф-ції f(x).
Теорема 1: Якщо ф-ція f(x) на подана у вигляді степ. Ряду (1), то це подання єдине і даний степ. ряд є рядом Тейлора ф-ції f(x).
Виявляється, що у випадку коли ф-ція f(x) нескінченно раз дифірінційовна на, її ряд Тейлора (2) зовсім не обов’язково буде збігатися до ф-ції f(x), для якої він формально був не будований. Цей ряд (2) взагалі може збігатися зовсім до іншої ф-ції. Виникає питання: за яких умов ряд Тейлора (2) ф-ції f(x) збігається саме до f(x) існує декілька тверджень в яких розглядаються такі умови. На практиці частіше користуються наступною теоремою.
Теорема 2 Нехай ф-ція f(x) має похідну будь-якого порядку на і таке що n=0,1,2,3.. і виконується нерівність .
Озн. Рядом Маклорена наз. ряд Тейлора (2), якщо :
Розглянемо далі розкладення в ряд (3) деяких елементарних ф-цій:
Для доведення формули (4) розглянемо , ,
тоді за формулою (2) ряд Тейлора ф-ції має вигляд знайдемо його радіус збіжності тобто даний степеневий ряд збігається на всій числовій осі. Покажемо, що він збігається саме до . Розглянемо будь-яий інтервал
. Оскільки А будь-яке додатне число, то за теоремою2 побудований степеневий ряд збігається до ф-ції .
Розглянемо ,,,, тоді.
Враховуючи це за формулою (3) одержимо ряд . Знайдемо радіус збіжностітобто даний степеневий ряд збігається во всіх точках дійсної осі його збіжності саме до ф-ції sin(x) випливає із теореми2 і до того факту що.
Формулу (6) можна довести так само як і формулу (5), але це можна зробити значно простіше. Продифірінціювавши почлено степеневий ряд (5).
(7)
, ,,…, тоді .
Підставляючи це у формулу (3) одержимо ряд Маклорена Знайдемо радіус сбіжності одержаного степеневого ряду тобто даний ряд збігається на інтервалі (-R,R), того факту що цей ряд збігається саме до ф-ції не наводимо. Якщо ряд (7) наз. біноміальним. На практиці зустрічаються частині випадки формули (7), якщо m= - 1: .Якщо у формулі (8) замість Х взяти -Х одержимо ряд Якщо крім того у формулі (8) почленно про інтегрувати степеневий ряд одержимо вираз
15. Тригонометрический ряд Фур’є
Озн:Тригонометричним рядом на в [-π,π], наз. функціональний ряд вигляду (1), де а0,а1,...,b1,b2,…- дійсні числа, які наз. коефіцієнтами тригонометричного ряду.(1)
Нехай f(x) подана у вигляді рівномірнозбіжного до неї триг. ряду(1) (2). За власт-ми ряд(2)можна почленно інтегрувати. проінтегр. на[-π,π]
Звідси одержимо:
, (3).
Помножимо тепер обидві частини рівності (2) на coskx і проінтегрувати одержаний вираз на відрізку [-π,π] одержимо:
Звідси одержимо
(4)
Аналогічно помноживши (2) на sinkx і проінтегрувавши одержаний вираз на [-π,π], одержимо: ,(5).
Озн: Тригонометричний ряд (1) коеф. якого обчислені за формулами (3), (4), (5) наз. рядом Фур’є ф-ї f(x), а самі коеф-ти 3 і 4 наз. коеф. Фур’є.
Розглянемо задачу: нехай задана 2π- періодична ф-ція f(x). Побудуємо для цієї ф-ції ряд Фур’є
(6), де a0,an,bn – визначається відповідно за формулами (3), (4), (5)
Однак виявляється, що побудований формально ряд (6) взагалі кажучи зовсім не обов’язково буде збігатися до ф-ції f(x), а може збігатися до зовсім іншої ф-ції. Аналогічне явище спостерігалося раніше для рядів Тейлора. Розглянемо далі теорему в якій наведені умови за яких ряд Фур’є ф-ції f(x) збігається саме до ф-ції f(x).
Теорема 1 (б/д)
Якщо ф-ю f(x) можна подати у вигляді рівномірно збіжною тригоном. ряду (2) то це подання єдине і данний тригоном. ряд є рядом Фур’є цієї ф-ї.
Озн
Ф-цію f(x) наз. Кусково-монотонною на відрізку [a,b], якщо існує таке розбиття відрізка на n частин a=x0<x1<…<xn=n, що на кожн. з від-ку [xi-1; xi] ф-ція f(x) монотонною.
Теорема 2: Нехай f(x) обмежена, 2π- періодична і кузково-монотонна ф-я на всій осі, тоді ряд Фур’є ф-ї f(x) є збіжним на всій числовій осі і сума S(x) цього ряду дорівнює значенню ф-ї f(x), якщо х0-точка розриву ф-ї f(x), то
.
Зауваження: порівнюючи умови розкладання ф-ї у ряд Тейлора і ряд Фур’є можна побачити, що останній значно простіший. По-перше, ф-ція зовсім необов’язково повинна мати похідні будь-якого порядку і взагалі кажучи вона може бути розривною. Тому клас ф-ції яких можна подати рядом Фур’є значно ширше, тих що подаються рядом Тейлора. Крім того виявляється, що випудку, коли ф-ція f(x) є парною, або непарною задача знаходження коєфіц. Фур’є значно спрощ. Так для парної ф-ції f(x) ряд Фур’є містить лише косинуси.
і коефіц. Фур’є обчислюємо:
,
(7)
Для непарної ф-ції ряд Фур’є містить лише синуси
n=1,2,…
bn=2/π n=1,2,… коеф.
Це невипадково, оскільки таке подання відображає хар-тер ф-ції. Для парної ф-ції ряд Фур’є скл. З парних ф-цій косинусів, а для непарних – з непарних ф-цій синусів.
У вип., якщо ф-ція розгляд на відрізку [-1,1], зробивши в ф-лах (3), (4), (5) заміну змінної одержимо наступні ф-ли для коефіц. Фур’є такої ф-ції:
а сам ряд Фур’є має вигляд: