12.Функціональні ряди. Поняття рівномірної збіжності. Ознака Вейєрштраса

Озн: Нехай послідовність функції визначених на деякій числовій множині Е . Функціональним рядом називають вираз (x) (1). Як і для числових рядів цей вираз формальний. Візьмемо точку Х₀ і у ряді (1) покладемо Х=X₀ одержимо числовий ряд () (2). Ряд (2) може бути як збіжним так і розбіжним. Якщо ряд(2) збігається, точка Х₀ –точка збіжності функціонального ряду (1). Якщо ряд (2) розбігається то точка Х₀ – точка розбіжності функціонального ряду. Множина всіх точок збіжності функціонального ряду (1) називається областю збіжності цього ряду. Зрозуміло , що ця область зовсім не обов’язково співпадає з множиною Е. Таким чином, в кожній точці ,яка належить області збіжності існує границяТобто в кожній точцівизначена ф-я.

цю ф-ю називають сумою функціонального ряду(1). А наз. частинною сумою. Аналогічно розглядається поняття залишку ряду: Тобто залишок утворюється якщо з (1) відкинути перші n доданків. В кожній точці із обл.. збіжності Відомо, що для скінченного числа доданків зберігаються такі властивості ф-ї як: неперервність, диференційованість, інтегрування. Тобто скінченна сума неперервних ф-й є неперервна. Суму скінченого числа ф-ї, можно почленно диференціювати та інтегрувати. (якщо існують відповідні похідні і інтеграли). Виявляеться, що властивості незавжди виконуються для суми нескінченого числа доданків для ф-них рядів. Однак всі ці властивості зберігаються для так званих рівномірно збіжних ф-них рядів.

Оз-ня: Ф-ний ряд (1) наз. рівномірнозбіжним, якщо в його обл. збіжностірівномірно. Це означає, що дляі незалежить від Х, що для всіхn>N виконується нерівність для всіх х із обл. збіжності. Основні властивості рівномірнозбіжних ф-них рядів:

1. Якщо ряд (1) складається із неперервних ф-цій і рівномірно збігається на деякому проміжку то його сума буде неперервною ф-ю на цьому проміжку.

2. Якщо ряд (1) складається із неперервних ф-й і рівномірно збігається на [a;b] то його можна почлено інтегрувати у межах [a,b] тобто:

3. Якщо ряд (1) збігається на відрізку [a;b] а ряд складених з його похідних

рівномірнозбіжний на [a;b] то ряд (1) можна почлено диференцюювати на [a;b] , тобто: (x)=⁼,

Теорема: (Вейєрштраса) . Нехай збіжний додатний числовий ряд і длявиконуеться нерівність //(2)/ Тоді на [a;b] функціональний ряд збігається абсолютно і рівномірно.

_Дов. У будь-якій т. . За ознакою порівняння ряд() – збіжний. Це означає, що ряд_{абсолютно збігається на відрізку [a,b]. Покажемо рівномірну збіжність цього ряду. Розглянемо його залишок. За вл. Модуля і нерівн.(2) маємо:}

де залишок збіжного числового ряду. За вл. Числових рядів Це означає що звідси випливає . Із нерівності (3) отримаємо: що. А це означає, що функціональний ряд рівномірно збіжний за означенням.

13. Степеневі ряди

Озн. Степеневим рядом називається функціональний ряд виду

(1) або

(2)

Де

Зазначимо що заміною t=степеневий ряд (2) перетворюється у ряд (1), тому подальше твердження будемо формувати для рядків (1). Крім того область збіжності степеневого ряду завжди не пуста. Для ряду (1) вона містить принаймні одну точку х=0

Теорема 1 (Абеля)

Якщо степеневий ряд (1) збігається у точці , то він абсолютно збіжний ∀х таких що||<||. Якщо ряд (1) розбіжний у точці , то він розбігається ∀х таких що||>||.

Із теореми Абеля випливає, що для степеневих рядів можливі лише 3 випадки області збіжності:1) область збіжності ряду (1) складається із однієї точки х=0

2) степеневий ряд (1) збігається ∀х∈R

3) ∃ таке число R>0що ряд (1) збіжний ∀х таких що |x|<R і розбіжний ∀х таких що |x|>R

Теорема2

Радіус збіжності степеневого ряду можна знайти за формулою

або

Зауваження: слід звернути особливу увагу на те, що теорема у межових точка інтервалу збіжності в цих точках степеневий ряд (1) може бути як збіжним так і розбіжним і для кожного конкретного ряду необхідні окремі дослідження його поведінки у межових точках

Схема дослідження області збіжності степеневого ряду

1. За формулою знаходимо радіус збіжності

2. 2)Вказуємо інтервал збіжності для: Ряду (1) (- R,R) , Ряду (2) ()

3. 3) досліджуємо поведінку степеневого ряду у межових точках інтервалу збіжності

4. 4) Точки в яких відповідні числові ряди збігаються приєднуємо до інтегралу збіжності

5. З теореми Абеля і властивостей рівномірно збіжних функціон. рядів випливають наступні властивості степеневих рядів

1. збігається абсолютно і рівномірно на ∀ відрізку [-ρ, ρ) що міститься в інтервалі збіжності (-R,R)

2. Сума степеневого ряду (1) неперервне в середині його інтервалу збіжності

3. Якщо менші інтеграли α і β знаходяться в середині інтегралу збіжності (-R,R) то степеневий ряд (1) можна почленно інтегрувати на відрізку [α, β).

4. Степеневий ряд (1) можна почленно диференціювати на інтервалі (-R,R) при цьому одержаний ряд має той самий інтервал збіжності що й вихідний ряд (1)

Із властивості 3 і 4 випливає дуже важливий у подальшому наслідок на відрізку [0,Х] де |x|<R степеневий ряд (1) можна скільки завгодно раз інтегрувати і диференціювати.При цьому одержані ряди будуть мати той самий інтервал збіжності, що і ряд (1)