- •2. Неперервність ф-ї багатьох змінних.
- •3. Частинні похідні. Диференціал функцій багатьох змінних.
- •4. Повний диференціал функції багатьох змінних. Диференціали вищих порядків.
- •5. Похідні складної ф-ї багатьох змінних. Диференціал складної ф-ї багатьох змінних.
- •6. Екстремум ф-ї 2 змінних. Необхідні і достатні умови.
- •7. Невласні інтеграли 1 роду. Приклади.
- •8. Невласні інтеграли 2-го роду.
- •9.Числові ряди. Найпростіші властивості.
- •10.Достатні ознаки збіжності додатних числових рядів. Приклади. А).Ознаки порівняння додатніх числових рядів.Приклади.
- •11. Знакопочередні ряди. Ознака Лейбніца. Знакозмінні ряди. Абсолютна і умовна збіжності.
- •12.Функціональні ряди. Поняття рівномірної збіжності. Ознака Вейєрштраса
- •13. Степеневі ряди
- •14. Ряд Тейлора
- •15. Тригонометрический ряд Фур’є
- •16. Подвійний інтеграл умови його існування і властивості.
16. Подвійний інтеграл умови його існування і властивості.
Нехай функция задана у замкненій
обмеженій області D, границя якої складається із числа неперервних кривих.
Розіб’ємо область D на n частин – неперервними кривими так щоб ці частини не мали спільних внутрішніх точок. Площу позначимо відповідно через .
Візьмемо у кожній з цих частин довільні точки: і побудуємо суму
Сума (1) наз. інтегральною сумою ф-ції по області D.
Зрозуміло що можна побудувати скільки завгодно таких сум в залежності від того як розіб’ємо D на частини і як вибираємо точки .
Діаметр обмеженої області G наз. найбільша відстань між двома точками межі цієї області.
Позначимо через діаметр області G. Позначимо черезнайбільший з діаметрів множин.
Озн. Якщо при існує границя інтегральних сум (1), яка не залежить від способу розбиття D на частини вибору точок в кожній з них цю границю називають подвійним інтеграломпо області D і позначають символом.
В цьому позначенні D – область інтегрування, - підінтегральна ф-ція, х та у – змінні інтегрування, dS – елемент площі. Тобто за означенням подвійний інтеграл
З означення подвійного інтеграла випливає, що він не залежить від способу розбиття області
D, тому в декартових координатах найбільш
вдалим є розбиття області D прямими, що паралельні координатним осям
, тому подвійний інтеграл у цьому випадку позначають як . Якщо у формулі (2) взяти , то одержимо формулу для обчислення площі області D:.
Геометричний зміст подвійного інтегралу: Якщо подвійний інтеграл по області D = об’єму циліндричного тіла яке обмежене зверху поверхнею знизу областю D, в площині хоу з боків циліндричною поверхнею напрямна якої збігається з межою області D, а твірні паралельні осі OZ.
Теорема: Якщо ф-ція неперервна у замкненій обмеженій області D, то вона інтегрована в цій області.
Порівняємо тепер позначення (2) з позначенням визначеного інтегралу:
Конструктивно ці означення однакові: і в 2, і в 3 ідеться що замкнену обмежену множину, в 2 це область D, в 3 відрізок потім ця множина ділиться на частини, в кожній із них вибирається точка і обчислюється значення ф-ції в цій точці, потім це значення множиться на міру відповідної множини. В (2) це є – площа множини , а в (3) -- довжина відрізку. В утворених інтегральних сумах знаходиться границя коли міра частин області прямує до 0. Враховуючи все це можна зробити висновок, що властивості подвійного інтегралу аналогічні визначеному, наведемо їх без доведення.
Властивості:
1) Сталий множник можна виносити за знак подвійного інтегралу .
2) Подвійний інтеграл від суми (різниці) інтегрованих в області D ф-цій = сумі (різниці) подвійних інтегралів цих ф-цій .
3) Якщо ф-ція інтегровна в області D ідля всіх точок із D,.
4) Якщо ф-ція іінтегровні в області D і для точок цієї області, то .
5) Якщо область D поділити неперервною кривою на частини і , які не мають спільних внутрішніх точок і ф-ція інтегровна в області D, то
6) Якщо ф-ція неперервна у замкненій обмеженій областіD, то справедлива нерівність , де m і M відповідно найменше і найбільше значення ф-ції, яких вона набуває в області D.- площа областіD.
7) Якщо ф-ція неперервна у замкненій обмеженій областіD. То існує точка , така що