- •Диференціальні рівняння
- •5.04030101 «Прикладна математика»
- •5.05010301 «Розробка програмного забезпечення»
- •Зміст дисципліни
- •Тема 1. Диференціальні рівняння: основні поняття і означення
- •Тема 2. Диференціальні рівняння першого порядку
- •2.2. Рівняння з подільними змінними
- •2.3. Однорідні диференціальні рівняння
- •2.4. Лінійні рівняння
- •2.4. Рівняння в повних диференціалах
- •Тема 3. Диференціальні рівняння вищих порядків
- •3.1. Рівняння, що допускають зниження порядку
- •3.1.1. Диференціальні рівняння виду
- •3.1.2. Рівняння другого порядку, які не містять невідомої функції
- •3.1.3. Рівняння другого порядку, які не містять незалежної змінної
- •3.2. Лінійні диференціальні рівняння вищих порядків
- •3.2.1. Лінійні однорідні рівняння го порядку.
- •Системи диференціальних рівнянь
- •Робота з підручниками та навчльними посібниками
- •Консультації
- •Лекції та практичні заняття
- •Екзамен
- •Методичні вказівки до виконання та оформлення домашньої контрольної роботи
- •Варіанти завдань домашньої контрольної роботи
Міністерство освіти і науки України
Східноукраїнський національний університет
імені Володимира Даля
Коледж
„Затверджую”
Заступник директора
з навчально – методичної роботи
_______________ Г.В. Можаєва
„___” _______________ 20__ р.
Диференціальні рівняння
Методичні вказівки та контрольні завдання
для студентів спеціальностей
5.04030101 «Прикладна математика»
5.05010301 «Розробка програмного забезпечення»
Склав викладач:
Захаров В.В.
Вказівки розглянуті та затверджені
на засіданні циклової комісії
природничо-математичних дисциплін
„___” ______________ 20__ р.
Протокол № __
Голова ЦК ______________ Ферапонтова О.Є.
Луганськ 2009
Вступ
Вивчення дисципліни „Диференціальні рівняння” має за мету продовження математичної освіти студента і сприяє поширенню та поглибленню математичних знань майбутнього фахівця. Тому задача вивчення дисципліни полягає в тому, щоб не лише закласти фундамент математичних знань для підвищення рівню освітньої та професійної підготовки фахівця, але й запропонувати апарат для розв’язання пикладних задач; підготувати базу для оволодіння новими навчальними дисциплінами.
Вивчивши дисципліну, студент
повинен знати:
методи розв’язання диференціальних рівнянь першого порядку;
рівняння другого порядку, які допускають зниження порядку;
прийоми розв’язання лінійних однорідних і неоднорідних диференціальних рівнянь другого порядку;
засоби розв’язання систем лінійних диференціальних рівнянь;
засоби розв’язання прикладних задач;
повинен вміти:
використовувати диференціальні рівняння в задачах механіки;
знаходити рішення інтегрованих типів рівнянь першого порядку;
інтегрувати та знижувати порядок деяких рівнянь з вищими похідними;
розв’язувати лінійні однорідні і неоднорідні диференціальні рівняння другого порядку;
визначати тип диференціального рівняння та обирати оптимальний метод його розв’язання.
Зміст дисципліни
Диференціальні рівняння, основні поняття і означення: порядок, загальні і частинні рішення (інтеграли) рівняння, інтегральні криві. Задача Коші.
Диференціальні рівняння першого порядку: рівняння з подільними змінними, однорідні рівняння, лінійні рівняння, рівняння в повних диференціалах.
Диференціальні рівняння другого порядку: рівняння, що допускають зниження порядку, лінійні однорідні рівняння з постійними коефіцієнтами (фундаментальна система рішень, визначник Вронського, характеристичне рівняння), лінійні неоднорідні рівняння з постійними коефіцієнтами (зі спеціальною правою частиною, метод варіації).
Системи звичайних диференціальних рівнянь. Задача Коші для нормальної системи диференціальних рівнянь. Метод виключення. Структура загального рішення. Нормальні системи лінійних диференціальних рівнянь з постійними коефіцієнтами.
Тема 1. Диференціальні рівняння: основні поняття і означення
Розв’язання різних задач з фізики, математики, економіки та ін. зводиться до відшукання невідомої функції з рівняння, яке містить незалежну змінну, невідому функцію і її похідні та диференціали. Таке рівняння називається диференціальним.
Означення 1. Рівняння, яке пов’язує незалежну змінну, невідому функцію і її похідні та диференціали називається звичайним диференціальним рівнянням.
Завдання 1. Серед наведених рівнянь назвіть ті , які є диференціальними.
1. ; 2.; 3.; 4.; 5.; 6..
Означення 2. Порядком диференціального рівняння називається порядок старшої похідної, яка входить в це рівняння.
Так, в загальному вигляді, рівняння є рівнянням першого порядку, рівнянняє рівнянням другого порядку, рівнянняє рівняннямго порядку.
Завдання 2. Визначити порядок рівнянь із завдання 1.
Крім звичайних диференціальних рівнянь існують також рівняння в частинних похідних, де невідома функція є функцією декількох змінних.
Означення 3. Рішенням диференціального рівняння називається будь – яка функція, що задовольняє заданому рівнянню.
Приклад 1. Для рівняння одним з рішень є функція, тому щоі тоді рівністьє вірною. Але це рішення не єдине. Будь – яка функція, дедовільні константи, також є рішенням даного рівняння (переконайтеся в цьому самостійно). Отже, рішенням рівняння другого порядку є функція, яка містить дві довільні константи (або не містить їх). В цьому розумінні функціяназивається загальним рішенням рівняння, а функція– його частинним рішенням.
Означення 4. Функція називаєтьсязагальним рішенням диференціального рівняння , якщо вона задовольняє рівнянню за будь – яких значень довільних констант.
Якщо невідома функція аргументузадана неявно рівністю , то така функція називаєтьсязагальним інтегралом диференціального рівняння.
Означення 5. Частинним рішенням (частинним інтегралом) диференціального рівняння називається рішення , яке може бути отримане із загального при певних значеннях довільних констант.
Для знаходження частинного рішення диференціального рівняння необхідно знайти числові значення довільних констант . Для цього необхідно розв’язати задачу Коші.
Для рівняння задача Коші ставиться таким чином: серед рішень рівняння треба знайти частинне рішення, яке задовольняєпочатковим умовам