- •Диференціальні рівняння
- •5.04030101 «Прикладна математика»
- •5.05010301 «Розробка програмного забезпечення»
- •Зміст дисципліни
- •Тема 1. Диференціальні рівняння: основні поняття і означення
- •Тема 2. Диференціальні рівняння першого порядку
- •2.2. Рівняння з подільними змінними
- •2.3. Однорідні диференціальні рівняння
- •2.4. Лінійні рівняння
- •2.4. Рівняння в повних диференціалах
- •Тема 3. Диференціальні рівняння вищих порядків
- •3.1. Рівняння, що допускають зниження порядку
- •3.1.1. Диференціальні рівняння виду
- •3.1.2. Рівняння другого порядку, які не містять невідомої функції
- •3.1.3. Рівняння другого порядку, які не містять незалежної змінної
- •3.2. Лінійні диференціальні рівняння вищих порядків
- •3.2.1. Лінійні однорідні рівняння го порядку.
- •Системи диференціальних рівнянь
- •Робота з підручниками та навчльними посібниками
- •Консультації
- •Лекції та практичні заняття
- •Екзамен
- •Методичні вказівки до виконання та оформлення домашньої контрольної роботи
- •Варіанти завдань домашньої контрольної роботи
Тема 2. Диференціальні рівняння першого порядку
Диференціальне рівняння І порядку в загальному вигляді може бути записане так: . Якщо таке рівняння розрішити відносно похідної, то його можна подати у вигляді.
Загальним рішенням (загальним інтегралом) рівняння першого порядку є функція ,, яка задовольняє рівнянню при будь – яких значеннях довільної константи.
Отже, для знаходження частинного рішення рівняння І порядку слід знайти значення лише однієї константи . Для цього достатньо задати єдину початкову умову, розв’язати задачу Коші і знайдене значення підставити в загальне рішення. В результаті отримаємо частинне рішення, яке задовольняє початковій умові.
Розглянемо основні типи диференціальних рівнянь І порядку.
2.1. Рівняння , яке може бути розв’язане шляхом простого інтегрування обох частин рівняння, тобто.
Приклад 1. Знайти частинне рішення рівняння , якщо.
Розв’язання. .При знаходимо:Підставимо знайдене значенняв загальне рішення і отримаємо частинне рішення.
Відповідь: .
2.2. Рівняння з подільними змінними
Означення. Диференціальним рівнянням з подільними змінними називається рівняння
, (1.1)
або
. (1.2)
Поділимо обидві частини рівняння (1.1) на добуток і отримаємо рівняння
. (1.3)
Позначимо , тоді перейдемо к рівнянню з поділеними змінними, в якому кожне з двох доданків в лівій частині залежить лише від однієї змінної. Інтегруючи почленно останню рівність, знайдемо загальний інтеграл даного рівняння .
Приклад 2. Розв’язати рівняння , якщо.
Розв’язання. Замінимо і помножимо обидві частини рівняння на:
.
Поділимо обидві частини рівняння на добуток :
.
Проінтегруємо обидві частини рівняння:
.
; . Отримаємо
.
Помножимо обидві частини рівняння на і скористуємося властивостями логарифмів:
Потенціюючи, знаходимо:
,
звідки отримаємо загальне рішення рівняння:
.
Розв’яжемо задачу Коші при :.
Підставимо значення в загальне рішення рівняння і остаточно знайдемо частинне рішення рівняння:
.
Відповідь. .
2.3. Однорідні диференціальні рівняння
Означення 1. Функція називаєтьсяоднорідною функцією го виміру, якщо для будь – якого виконується рівність
.
Приклад 3. Функція є однорідною функцією третього виміру, бо.
Функція є однорідною функцією нульового виміру, тому що.
Завдання 1. Доведіть, що функція є однорідною функцією першого виміру, а функціяє однорідною функцією другого виміру.
Означення 2. Диференціальне рівняння першого порядку
, (1.4)
називається однорідним, якщо функція є однорідною функцією нульового виміру відносноі.
Отже, згідно з означенням, для будь – якого. Оберемоі отримаємо, тобтоі функціязалежить лише від відношення аргументів. Тому рівняння (1.4) може бути записане у вигляді
. (1.5)
Введемо допоміжну функцію , і оскільки, то. Отримаємо рівняння з подільними змінними
. (1.6)
Розв’яжемо його: Далі знаходимо інтеграл в лівій частині рівняння, замінюємо в ньому і отримаємо загальний інтегралрівняння (1.4).
Для того, щоб розв’язати однорідне рівняння, необхідно:
Переконатися в тому, що рівняння однорідне, і записати його у вигляді (1.4).
Покласти ,.
Скоротити дріб на (повністю), перенестив ліву частину і спростити її.
Розділити змінні (справа завжди ) і про інтегрувати.
Замінити і спростити.
Зауважимо, що рівняння є однорідним, якщоіє однорідними функціями однакового виміру.
Приклад 4. Знайти загальний інтеграл рівняння .
Розв’язання.
Оскільки , то функціяєоднорідною функцією нульового виміру, і задане рівняння є однорідним.
Відповідь. .
Приклад 5. Проінтегрувати рівняння .
Розв’язання. Оскільки функції і є однорідними функціями другого виміру (переконайтеся самостійно), то задане рівняння є однорідним.
Відповідь. .
Приклад 6. Розв’язати задачу Коші , якщо.
Розв’язання.
Права частина рівняння містить функцію, яка залежить лише від відношення аргументів , тому рівняння є однорідним.
Якщо , то, звідки . Отримаємо
Відповідь. .