- •Диференціальні рівняння
- •5.04030101 «Прикладна математика»
- •5.05010301 «Розробка програмного забезпечення»
- •Зміст дисципліни
- •Тема 1. Диференціальні рівняння: основні поняття і означення
- •Тема 2. Диференціальні рівняння першого порядку
- •2.2. Рівняння з подільними змінними
- •2.3. Однорідні диференціальні рівняння
- •2.4. Лінійні рівняння
- •2.4. Рівняння в повних диференціалах
- •Тема 3. Диференціальні рівняння вищих порядків
- •3.1. Рівняння, що допускають зниження порядку
- •3.1.1. Диференціальні рівняння виду
- •3.1.2. Рівняння другого порядку, які не містять невідомої функції
- •3.1.3. Рівняння другого порядку, які не містять незалежної змінної
- •3.2. Лінійні диференціальні рівняння вищих порядків
- •3.2.1. Лінійні однорідні рівняння го порядку.
- •Системи диференціальних рівнянь
- •Робота з підручниками та навчльними посібниками
- •Консультації
- •Лекції та практичні заняття
- •Екзамен
- •Методичні вказівки до виконання та оформлення домашньої контрольної роботи
- •Варіанти завдань домашньої контрольної роботи
Тема 3. Диференціальні рівняння вищих порядків
Означення 1. Звичайним диференціальним рівнянням го порядку називається рівняння, яке пов’язує невідому функцію , незалежну зміннуі похідні функціїподого порядку включно:
. (2.1)
Обмежимося розгляданням рівнянь го порядку, які можуть бути розрішеними відносно старшої похідної
. (2.2)
Означення 2. Функція називаєтьсязагальним рішенням диференціального рівняння (2.1), якщо вона задовольняє рівнянню за будь – яких значень довільних констант .
Якщо невідома функція аргументузадана неявно рівністю , то така функція називаєтьсязагальним інтегралом диференціального рівняння.
Означення 3. Частинним рішенням (частинним інтегралом) диференціального рівняння називається рішення , яке може бути отримане із загального при певних значеннях довільних констант.
Для знаходження частинного рішення диференціального рівняння необхідно знайти числові значення довільних констант . Для цього необхідно розв’язати задачу Коші.
Для рівняння (2.1) задача Коші ставиться таким чином: серед рішень рівняння треба знайти частинне рішення , яке задовольняєпочатковим умовам
Детальніше зупинимиося на диференціальному рівнянні другого порядку
. (2.3)
Функція є загальним рішенням рівняння (2.3) за умови, що вона задовольняє рівнянню при будь яких значеннях довільних констант.
Задача Коші для рівняння (2.3) полягає у знаходженні рішення , яке задовольняє початковим умовам
Розглянемо окремі види рівнянь вищих порядків.
3.1. Рівняння, що допускають зниження порядку
3.1.1. Диференціальні рівняння виду
Простішим диференціальним рівнянням го порядку є рівняння, яке містить незалежну змінну (в окремому випадку постійну величину) і похіднуго порядку:
, (2.4)
де диференційована в інтерваліфункція.
Загальне рішення рівняння (2.4) знаходиться шляхом кратного інтегрування частин рівняння. Зокрема рішення рівняння другого порядку
(2.5)
знайдемо наступним способом: , тоді
. (2.6)
Приклад 11. Розв’язати рівняння , якщо.
Розв’язання. Поділимо обидві частини рівняння на :. Проінтегруємо перший раз і знайдемо. Оскільки, то , отжеі. Проінтегруємо вдруге і отримаємо
Оскільки , то , звідки і.
Відповідь. .
3.1.2. Рівняння другого порядку, які не містять невідомої функції
Рівняння виду
(2.7)
за допомогою підстановки , денова невідома функція, зводиться до рівняння першого порядку, тобто в цьому випадку.
Приклад 12. Проінтегрувати диференціальне рівняння .
Розв’язання. Задане рівняння не містить явно невідомої функції , тому скористаємося підстановкою,і отримаємо лінійне рівняння першого порядку.
.
.
.
.
.
.
Відповідь. .
3.1.3. Рівняння другого порядку, які не містять незалежної змінної
Рівняння виду
(2.8)
за допомогою підстановки , денова невідома функція, зводиться до рівняння першого порядку, тобто в цьому випадку.
Приклад 13. Розв’язати рівняння , якщо.
Розв’язання. Задане рівняння не містить явно незалежної змінної , тому скористаємося підстановкою,і отримаємо рівняння першого порядкуз подільними змінними.
; ;;;;;;.
Оскільки , тоі, а отже,.
; ;;;.
За умовою , тоді , звідкиі остаточно.
Відповідь. .