3.2. Лінійні диференціальні рівняння вищих порядків

Означення. Рівняння

, (2.9)

де неперервні функції, визначені в інтервалі, називаєтьсялінійним диференціальним рівнянням го порядку.

Якщо функція , то рівняння (2.9) називаєтьсялінійним неоднорідним диференціальним рівнянням го порядку. В разі, якщо , то рівняння (2.9) називаєтьсялінійним однорідним диференціальним рівнянням го порядку.

3.2.1. Лінійні однорідні рівняння го порядку.

Означення. Будь – які рішення лінійного однорідного рівняння

, (2.10)

для яких , називаютьсялінійно незалежними.

Для знаходження загального рішення однорідного рівняння (2.10) треба знати лінійно незалежних частинних рішень.

Теорема. Для того, щоб система рішень

(2.11)

була лінійно незалежною, необхідно і достатньо, щоб визначник

. (2.12)

Означення. Визначник (2.12) називається визначником Вронського, а система рішень (2.11) – фундаментальною системою рішень рівняння (2.10).

Якщо відома фундаментальна система рішень (2.11) однорідного рівняння (2.10), то його загальне рішення має вигляд

, (2.13)

де довільні константи.

Розглянемо лінійне однорідне рівняння го порядку з постійними коефіцієнтами

, (2.14)

де дійсні константи.

Побудуємо фундаментальну систему рішень. Частинне рішення рівняння (2.14) будемо шукати у вигляді

, (2.15)

де дійсне або комплексне число, яке підлягає визначенню. Знайдемо похідні функції:

(2.16)

Підставляючи (2.15) і (2.16) в (2.14), отримаємо

,

або

. (2.17)

Рівняння (2.17) називається характеристичним рівнянням диференціального рівняння (2.14).

Структура загального рішення рівняння (2.14) залежить від вигляду коренів характеристичного рівняння (2.17):

1. дійсні і різні корені. Тоді загальне рішення має вигляд

(2.18)

2. комплексно спряжені корені. В загальному рішенні цим кореням віповідає вираз вигляду

. (2.19)

3. дійснийкратний корінь. В загальному рішенні цьому кореню віповідає вираз вигляду

. (2.20)

4. комплексно спряжені корені кратності. В загальному рішенні цим кореням віповідає вираз вигляду

. (2.21)

Детальніше зупинимиося на лінійному однорідному рівнянні другого порядку з постійними коефіцієнтами

, (2.22)

де дійсні числа.

Загальне рішення рівняння (2.22) має вигляд

, (2.23)

де фундаментальна система рішень.

Рівнянню (2.22) відповідає характеристичне рівняння

. (2.24)

Отже, знаходження частинних рішень рівняння (2.22) зводиться до розв’язання квадратнтого рівняння (2.24):

1. Нехай . Тоді

. (2.25)

2. Нехай . Тоді

. (2.26)

3. Нехай . Тоді

. (2.27)

Приклад 14. Знайти загальне рішення рівняння .

Розв’язання. Знайдемо корені відповідного характеристичного рівняння :. Тоді, за формулою (2.25), загальне рішення має вигляд.

Відповідь. .

Приклад 15. Проінтегрувати диференціальне рівняння .

Розв’язання. Знайдемо корені відповідного характеристичного рівняння :. Тоді, за формулою (2.27), загальне рішення має вигляд.

Відповідь. .

Приклад 16. Проінтегрувати диференціальне рівняння .

Розв’язання. Знайдемо корені відповідного характеристичного рівняння :. Тоді, за формулою (2.26), загальне рішення має вигляд.

Відповідь. .

Приклад 17. Знайти загальне рішення рівняння .

Розв’язання. Знайдемо корені відповідного характеристичного рівняння ,,,,,. Отже,є дійсним трикратним коренем характетистичного рівняння. Тоді, за формулою (2.20), загальне рішення має вигляд.

Відповідь. .

Приклад 18. Знайти загальне рішення рівняння .

Розв’язання. Знайдемо корені відповідного характеристичного рівняння ,,,,,.

Отже, характетистичне рівняння має два різні дійсні корені і два комплексно спряжені. Тоді, за формулами (2.25),(2.26) загальне рішення має вигляд , або

.

Відповідь. .

Приклад 19. Розв’язати задачу Коші , якщо.

Розв’язання. Знайдемо загальне рішення рівняння. Корені характеристичного рівняння , отже,. Оскільки, то. Знаходимо похідну, і оскільки, то. Значеннязнайдемо з системи рівнянь,,,. Остаточно маємо:.

Відповідь. .

2. Лінійні неоднорідні рівняння го порядку.

Теорема. Якщо частинне рішення лінійного неоднорідного рівнянняго порядку

, (2.28)

а загальне рішення відповідного лінійного однорідного рівняння (2.10), то загальним рішенням неоднорідного рівняння (2.28) є функція

. (2.29)

Розглянемо лінійне неоднорідне рівняння другого порядку з постійними коефіцієнтами

, (2.30)

де дійсні константи.

Враховуючи (2.23) і (2.29), загальне рішення неоднорідного рівняння (2.30) має вигляд

, (2.31)

де фундаментальна система рішень відповідного однорідного рівняння (2.22).

Оскільки методи знаходження загального рішення однорідного рівняння вже відомі (див. п. 3.2.1), то залишається з’ясувати, як знайти частинне рішеннянеоднорідного рівняння (2.30).

Якщо права частина рівняння (2.30) має вигляд

, (2.32)

де многочлени з дійсними коефіцієнтами степенюівідповідно, то мова йде про розв’язання лінійного неоднорідного рівняння із спеціальною правою частиною. В цьому випадку частинне рішення слід шукати у вигляді

, (2.33)

де многочлени з дійсними коефіцієнтами степеню,кратність коренюхарактеристичного рівняння (2.24).

Для знаходження коефіцієнтів многочленів застосуємо метод невизначених коефіцієнтів, який полягає в наступному:

1. Знайдемо і підставимов рівняння (2.30).

2. Порівняємо коефіцієнти при відповідних членах в лівій і правій частинах отриманої рівності і знайдемо невідомі коефіцієнти.

3. Запишемо загальне рішення у вигляді (2.29).

Наведемо особливі випадки знаходження .

1. Якщо , демногочлен степеню(при цьому, тобто корінь), то

, (2.34)

де кратність кореню(,).

2. Якщо (при цьому корінь), то

, (2.35)

де кратність кореню(,,).

3. Якщо (при цьому корінь), то

, (2.36)

де кратність кореню(,).

4. Якщо , деодин з розглянутих вище випадків, то .

Приклад 20. Проінтегрувати рівняння .

Розв’язання. Знайдемо загальне рішення однорідного рівняння.

, ,.

Права частина рівняння має вигляд (випадок 2), при цьому коріньє однократним коренем характеристичного рівняння, значить, в (2.34). Многочленє многочленом другого степеню, тому частинне рішення шукатимемо у вигляді, або.

Знайдемо

;

і підставимо в задане рівняння:

.

.

Прирівняємо коефіцієнти при віповідних членах в лівій та правій частинах

і розв’яжемо систему рівнянь

.

Отже, .

Таким чином, .

Відповідь. .

Приклад 21. Розв’язати задачу Коші , якщо.

Розв’язання. Знайдемо загальне рішення однорідного рівняння.

, ,.

Права частина рівняння має вигляд (випадок 3), при цьому коріньне є коренем характеристичного рівняння, значить, в (2.34). Частинне рішення шукатимемо у вигляді.

Знайдемо ,і підставимо в рівняння:

Прирівняємо коефіцієнти при віповідних членах в лівій та правій частинах

та розв’яжемо систему рівнянь

.

Отже, , тоді загальне рішення рівняння

, .

Якщо , то

.

Остаточно, .

Відповідь. .

В разі, якщо функція в правій частині рівняння (2.30) є довільною, тобто її не можна віднести до жодного з розглянутих вище випадків, для знаходження частинного рішеннявикористовуютьметод варіації довільних постійних (метод Лагранжа). Він полягає в тому, що частинне рішення лінійного неоднорідного диференціального рівняння (2.28) шукатимемо в такому ж вигляді, як і загальне рішення (2.13) відповідного лінійного однорідного диференціального рівняння шляхом заміни довільних постійних деякими неперервно диференційованими функціями змінної (варіації довільних змінних), тобто у вигляді

, (2.37)

де фундаментальна система рішень відповідного однорідного рівняння (2.14).

При цьому функції мають задовольняти лише співвідношенню, яке отримаємо в результаті підстановки функції (2.37) в рівняння (2.28).

Зокрема, для рівняння (2.30), частинне рішення . Для того, щоб отримати найбільш просту систему для знаходження невідомих функцій, обчислимо, вважаючи суму доданків, які містятьтакою, що дорівнює нулю. Отже,і

, (2.38)

тоді

, (2.39)

. (2.40)

Підставимо (2.39) і (2.40) в (2.28):

або . Оскількифундаментальна система рішень відповідного однорідного рівняння, то і , а отже,

. (2.41)

Таким чином, похідні невідомих функцій можуть бути найденими з системи рівнянь (2.38) і (2.41):

(2.42)

Визначник системи (2.42) є, очевидно визначником Вронського. Тоді, за формулами Крамера,

, (2.43)

. (2.44)

Інтегруючи рівності (2.43) і (2.44), отримаємо

, (2.45)

, (2.46)

звідки, підставлюючи знайдені функції в, знаходимо частинне рішення неоднорідного рівняння, після чого загальне рішення знайдемо у вигляді.