Системи диференціальних рівнянь
Означення. Нормальною системою диференціальних рівнянь називається система виду
(3.1)
Означення.
Рішенням
системи
(3.1) називається сукупність
функцій
,
які задовольняють всім рівнянням
системи.
Означення.
Загальним
рішенням системи (3.1)
називається
сукупність
рішень, які залежать від
довільних констант
Означення.
Частинним
рішенням
системи
(3.1)
називається рішення, яке задовольняє
початковим умовам
,
де
.
Розглянемо систему двох лінійних диференціальних рівнянь з двома невідомими функціями
, (3.2)
де
.
Застосуємо для розв’язання системи
(3.2)метод
виключення,
який зводить розв’язання системи до
розв’язання лінійного однорідного
рівняння ІІ порядку з постійними
коефіцієнтами.
Диференціюємо
перше рівняння по
:
. (3.3)
З першого
рівняння дістаємо:
,
тоді з другого рівняння отримаємо:
.
Підставимо вираз для
в (3):
,
або
.
Отже, ми прийшли до лінійного однорідного
рівняння
або
. (3.4)
З рівняння
(3.4) знайдемо функцію
, після чого знайдемо
.
Рівняння
(3.4) може бути записане у вигляді
.
Приклад 1. Розв’яжіть систему лінійних диференціальних рівнянь:
Розв’язання.
Запишемо
рівняння (3.4) для заданої системи рівнянь:
,
,
,
,
.
З першого рівняння дістанемо
і обчислимо
.
Обчислимо:
.
Відповідь:
,
.
Приклад
2. Розв’яжіть
задачу Коші:
,
якщо 
Розв’язання.
,
,
,
,
.
,
де
;
.
Отже,
,
.
Враховуючи
початкові умови, отримаємо:
,
звідки знаходимо:
.
Остаточно,
,
.
Відповідь:
,
.
Загальні рекомендації щодо самостійного вивчення курсу дисципліни
Однією з форм навчання студента є самостійна робота з навчальним матеріалом, яка складається з таких елементів: вивчення матеріалу за підручниками та посібниками, самоперевірка, виконання домашньої контрольної роботи.
Робота з підручниками та навчльними посібниками
Вивчаючи матеріал за підручником, до вивчення наступного питання слід переходити лише після повного зрозуміння і засвоєння попереднього.
Особливу увагу слід зосереджувати на визначенні основних понять. При розгляді методів розв’язання того чи іншого виду рівняннь бажано складати схему – алгоритм методу. Ретельно розбирайте приклади розв’язання різних видів рівнянь.
При вивченні матеріалу за підручником зручно вести конспект, в який рекомендується заносити головне: означення, алгоритми тощо. На полях конспекту бажано помічати питання, з яких варто отримати консультацію викладача.
Письмове оформлення самостійної роботи студента має виключно важливе значення. Записи в конспекті треба вести чітко, охайно і розташовувати їх в логічній послідовності. Добре зовнішнє оформлення конспекту не лише привчить студента до необхідного в роботі порядку, але дозволить йому уникнути численних помилок, які трапляються через недбалі безладні записи.
Головне рекомендується виділяти (підкреслювати, брати в рамки), щоб при читанні конспекту його можна було б швидше знайти і запам’ятати.
Консультації
Якщо в процесі роботи над вивченням теоретичного матеріалу або при розв’язанні завдань в студента виникли питання, вирішити які самостійно не вдається, він має можливість звернутися до викладача з метою отримання усної або письмової консультації.
Студент має заздалегідь сформулювати питання так, щоб було зрозуміло, в чому саме полягає проблема. Якщо він не розібрався в теоретичному матеріалі, то бажано вказати назву посібника й сторінку, де розглянуто це питання, і в чому саме є ускладнення.
За консультацією треба звертатися також в разі, якщо виникли сумніви в правильності відповідей на питання для самоперевірки.