Волк_Высшая математика.2010

F(x; y; y′; y′′) = 0.

Следует отметить, что общее решение

(7.10) y = ϕ(x; c1; c2 ) дифферен-

циального уравнения второго порядка зависит от двух произвольных постоянных c1 и c2 , а начальные условия задачи Коши имеют вид:

y		x=x0	= y0 ;	y′		x=x0	= y0′ .

Рассмотрим три основные вида дифференциальных уравнений второго порядка, допускающих понижение порядка.

1. Уравнения вида			f (x).
		y′′ =				(7.11)
Делаем замену y	′	= z(x) , тогда	y	′′		′
					= z (x) , и уравнение (7.11) сво-

дим к уравнению первого порядка z′ = f (x) . Решая это уравнение, по-

лучаем z( x ) = y′( x ) = ∫ f ( x )dx + c1 .

Интегрируя последнее, имеем y(x) = ∫ (∫ f (x)dx + c1 )dx + c2 . 2. Уравнения вида

y′′ = f ( x; y′) ,					(7.12)
т. е. уравнения, явно не содержащие искомую функцию			y .	Данные
уравнения решаются с помощью замены y	′	= z(x) . Тогда	y	′′	′
					= z (x) ,

иуравнение (7.12) принимает вид z′ = f (x; z(x)) .

3.Уравнения вида

y′′ = f (y; y′),

(7.13)

т. е. уравнения, не содержащие в явном виде независимую перемен-

ную х, решают путем замены y′ = p(y). Тогда y′′ = p dpdy , и уравнение

(7.13) принимает вид p dpdy = f (y; p).

Задача 4. Найти общее решение уравнения y′′ = cos x .

Решение. Так как уравнение имеет вид (7.11), то, проинтегрировав обе его части, получим y′ = ∫cos xdx + c1 = sin x + c1 . Проинтегрировав последнее уравнение, найдем искомое общее решение:

y = ∫(sinx + c1 ) dx + c2 , т. е. y( x) = −cosx + c1 x + c2 .

91

Задача 5. Найти общее решение уравнения 2xy′′ = y′.

Решение. Так как уравнение имеет вид (7.12), то, сделав замену

y

′

= z(x), получим y

′′

= z

′

′

= z(x), или

dz

dx

(x) и 2xz

(x)

z

= 2x . Проинтег-

рировав обе части последнего уравнения, получим ln z + ln c1

= ln x ,

т. е. c z =

x , или c

dy =

x .

1

1

dx

∫ c1dy = ∫

Интегрируя последнее выражение:

xdx + c2 , получим:

y(x) =

2

3

c2

2

c2

x

2

+

. Обозначив c* =

, c*

=

, окончательно имеем:

3 c1

c1

1

3c1

2

c1

y(x) = c* x

3

+ c* .

2

1

2

Задача 6. Найти частное решение уравнения y y′′ = (y′)2 , удовле-

творяющее начальным условиям y(0) =1,

′

=3 .

y

(0)

Решение. Уравнение имеет вид (7.13), поэтому, выполнив замену

y′ = p( y) , получим:

y′′ =

p

dp

, y p

dp

=

p

2

dp

. Отсюда

dy

dy

, p y

dy

− p = 0

следует, либо p = 0 ,

т.

е. y′ = 0 ,

что не удовлетворяет начальным

данным, либо y dp − p = 0 .

dy

Разделив переменные в последнем уравнении и проинтегрировав, по-

следовательно получим: y dp = p ,

dp =

dy +ln

c

,

ln

p

= ln

y

+ ln

c

,

dy

∫ p

∫

y

1

1

ln

p

= ln

c1 y

′

, p = c1 y , или y (x) = c1 y(x).

При

x = 0 последнее

равенство

с

учетом

начальных

данных

принимает вид 3 = c1 1, т. е. c1 = 3. Поэтому

′

dy

= 3y ,

y (x) = 3 y(x),

dx

или ∫ dy = 3∫ dx +c2 , ln

y

= 3x +c2 .

y

y(x) = e3x +c2 .

Получаем решение

Подставим в это решение на-

чальные условия x = 0 и

y =1, получим:

y(0) = e0+c2 , 1 = ec2 . Отсюда

находим c2 = 0 . Итак,

y(x) = e3 x – искомое частное решение.

92

7.3.Решение линейных дифференциальных уравнений 2-го порядка с постоянными коэффициентами

испециальной правой частью

Уравнение вида

y′′+ p y′+ q y = f ( x) ,

(7.14)

где p и q – постоянные; f (x) – определенная на некотором интервале

функция, называется линейным неоднородным дифференциальным уравнением 2-го порядка с постоянными коэффициентами. Если f (x) ≡ 0 , то уравнение (7.14) называется линейным однородным диф-

ференциальным уравнением.

Общее решение уравнения (7.14) есть сумма общего решения y соответствующего однородного уравнения и какого-нибудь частного решения y* исходного неоднородного уравнения, т. е.

y = y + y* .	(7.15)
Однородное уравнение
y′′ + py′ + qy = 0	(7.16)

является частным случаем неоднородного, и для его решения составляется характеристическое уравнение

		λ2 + pλ + q = 0 .	(7.17)
Решаем характеристическое уравнение. Вид общего			решения
y( x) определяется корнями характеристического уравнения λ1 и λ2 .
1.	Если λ1 и λ2	действительные и разные, т. е. λ1 ≠ λ2 , то
		y( x) = c1eλ1x + c2eλ2 x .	(7.18)
2.	Если λ1 и λ2	действительные и одинаковые, т. е. λ1 = λ2 , то
		y( x) = (c1 + c2 x) eλ1x .	(7.19)
3.	Если λ1 и λ2 комплексно-сопряженные числа, т. е. λ1, 2		= α ± βi ,
где i =	−1 , то
		y( x) = eαx (c1 cosβx + c2 sin βx).	(7.20)

Здесь c1 и c2 – произвольные постоянные.

93

Задача 7. Найти общее решение уравнения y′′ − 5y′ + 6 y = 0 . Решение. Составим характеристическое уравнение λ2 −5λ + 6 = 0

и решим его: λ1,2	=	5 ± 52 − 4 6	=	5 ±1	, т. е.	λ1 = 3 , λ2 = 2 . По фор-
		2		2

муле (7.18) записываем искомое общее решение: y( x) = c1e3x + c2e2 x .

Задача 8. Найти общее решение уравнения y′′ + 6 y′ + 9 y = 0 . Решение. Составим характеристическое уравнение λ2 + 6λ + 9 = 0

и решим его: λ1,2 = − 6 ±		62 − 4 9 = − 6 ± 0 , т. е. λ1 = λ2					= −3 .
		2	2
По формуле (7.19) записываем искомое решение:
		y( x) = (c1 + c2 x)e−3x .
Задача 9. Найти общее решение уравнения
		y′′ + 4 y′ + 29 y = 0 .
Решение. Составим характеристическое уравнение λ2 + 4λ + 29 = 0
и решим его:
λ1,2 = − 4 ±	42 − 4 29	= − 4 ±	−100	= − 4 ±10		−1	= −2 ± 5 i .
	2		2	2
По формуле (7.19) записываем искомое решение:
	y( x) = e−2 x (c1 cos5x + c2 sin 5x).
Метод отыскания частного решения y* (x) уравнения (7.14) рас-
смотрим для двух специальных видов f (x).
1. Пусть	f (x) = P (x)eαx , где		P (x)	– многочлен степени n, т. е.
	n		n
пусть уравнение (7.14) имеет вид				(x)eax .
	y′′ + py′ + qy = P						(7.21)
			n
Тогда, если число a совпадает с k корнями					(k =1, 2) характери-
стического уравнения (7.17), то частное решение					y*	уравнения (7.21)
следует искать в виде		y* = xk Q (x)eax ,
							(7.22)
			n
94

где Qn (x) – полный многочлен той же степени, что и Pn (x). Подставляя y* в уравнение (7.21) и сокращая обе части уравнения

на eαx , получаем тождество, из которого приравниванием коэффициентов при одинаковых степенях получаем систему для определения

значений коэффициентов. Этот метод нахождения y* называется ме-

тодом неопределенных коэффициентов.
Замечание 1. Если	f (x) = Pn (x), то следует проверять,		совпадает
ли число a = 0 с корнями характеристического уравнения.
Замечание 2. Если	f (x) = eax , P (x)	= P (x) =1, то в этом случае
	n	0
Qn (x) = Q0 (x) = A , где A = const .
2. Пусть f (x) = eax (mcosbx + nsin bx) ,		т. е. пусть уравнение (7.14)
имеет вид
y′′ + py′ + qy = eax (mcosbx + nsin bx) .			(7.23)

Тогда если комплексное число a ±ib совпадает с корнями характеристического уравнения (7.17), то частное решение y* уравнения (7.23) следует искать в виде

y* = xeax (M cosbx + N sin bx).

(7.24)

Если же комплексное число a ±ib не совпадает с корнями характеристического уравнения (7.17), то частное решение y* уравнения

(7.23) следует искать в виде
y* = eax (M cos bx + N sin bx) .	(7.25)

При этом неопределенные коэффициенты M и N отыскиваются путем подстановки y* в уравнение (7.23) с последующим приравни-

ванием коэффициентов при cos bx и sin bx и решением получившейся

системы.
Замечание 1. В частном случае, когда f (x) = mcosbx + nsin bx и
корни характеристического уравнения (7.17) λ1,2	= ±ib , то частное ре-
шение y* уравнения (7.23) следует искать в виде
y* = x(M cos bx + N sin bx),	(7.26)
если же λ1,2 ≠ ±ib , то
y* = (M cosbx + N sin bx).	(7.27)
	95

Замечание 2. Если f (x) = mcosbx или f (x) = nsin bx , y* все рав-

но следует искать в общем виде (7.26) или (7.27), т. е. и с cos bx ,

и с sin bx .

Задача 10. Найти общее решение уравнения y′′ − 7 y′ + 6 y = (x − 2) e3 x .

Решение. Найдем сначала	общее решение		y(x) однородного
уравнения y′′ − 7 y′ + 6 y = 0 .
Для этого составим характеристическое уравнение λ2 − 7λ + 6 = 0
и решим его:
λ1,2 = 7 ± 72 − 4 6 =	7 ± 5	, т. е. λ1 = 6 , λ2 =1.
2	2	y(x) = c e6 x + c
В соответствии с формулой (7.18)				ex .
		1	2

Найдем далее y* – частное решение исходного уравнения. Поскольку число a = 3 не совпадает с корнями характеристического уравнения, то в соответствии с формулой (7.22) y* будем искать в виде y* = (Ax + B) e3 x .

Тогда

(y* )′ = Aex + 3(Ax + B) e3 x = (3Ax + A + 3B) e3 x ;

(y* )″ = 3Ae3 x + 3(3Ax + A + 3B) e3 x = (9Ax + 6A + 9B) e3 x .

Подставляя y* , (y* )′, (y* )″ в исходное уравнение и сокращая обе части уравнения на e3x , получим:

9 Ax + 6A + 9B − 7(3Ax + A + 3B) + 6(Ax + B) = x − 2 ;

− 6Ax − A − 6B = x − 2 .

Приравняв коэффициенты в обеих частях последнего равенства при одинаковых степенях x, получим систему уравнений

− 6A =1,

− A − 6B = −2.

Решив ее, найдем A и B: A = −16 , B = 1336 .

96

*			x		13		e	3x
Итак, y	=	−		+					.
			6		36

*	= c1e	6 x	+ c2e	x	+	1		13		3x	– общее решение
Значит y = y + y						6		6	− x e
исходного уравнения.
Задача 11. Найти общее решение уравнения y′′ + 2 y′ + 5y = 2cos x .
Решение. Найдем сначала общее								решение y ( x) однородного
уравнения y′′ + 2 y′ + 5 y = 0 .			Для этого составим характеристическое

уравнение λ2 + 2λ +5 = 0 и решим его:

λ1,2 = −1 ± 12 − 5 = −1 ± 4 −1 = −1 ± 2i .

Всоответствии с формулой (7.20)

y(x) = e−x (c1 cos 2x + c2 sin 2x).

Найдем далее y* – какое-нибудь частное решение исходного урав-

нения. Поскольку число i не является корнем характеристического уравнения, то в соответствии с формулой (7.27) будем искать y*

в виде y* = M cos x + N sin x :

( y* )′ = −M sin x + N cos x ; ( y* )′′ = −M cos x − N sin x .

Подставляя y * , ( y* )′ и ( y* )′′ в исходное уравнение, получим:

− M cos x − N sin x + 2(− M sin x + N cos x) + 5(M cos x + N sin x) = 2cos x ; (4M + 2N )cos x + (− 2M + 4N )sin x = 2 cos x .

Приравняв коэффициенты в обеих частях последнего равенства при cosx и sinx , получим систему уравнений

4M + 2N = 2,	или	2M + N =1,
− 2M + 4N = 0,		M = 2N.

Решив ее, найдем M и N: M = 52 , N = 15 .

Итак, y* = 52 cos x + 15 sin x .

97

Значит y = y + y* = e−x (c cos 2x + c	2	sin 2x)+ 2 cos x + 1 sin x – об-
1		5	5

щее решение исходного уравнения.

7.4. Решение систем линейных дифференциальных уравнений

Совокупность дифференциальных уравнений вида

dx	= a x + a				y,
dt	11		12		(7.28)
dy	= a	21	x + a	22	y,
dt

где x(t), y(t) – функции независимой переменной t; aij (i =1, 2; j =1, 2) – числа, называется нормальной системой двух линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами.

Общим решением системы (7.28) называется совокупность двух

функций
x = x(t; c1; c2 ); y = y(t; c1 ; c2 ),	(7.29)

содержащих две произвольные постоянные c1 и c2 и обращающих оба уравнения системы в тождества при любых значениях c1 и c2 .

Решение, получаемое из общего при подстановке конкретных числовых значений произвольных постоянных, называется частным решением.

Задача нахождения решения системы (7.28), удовлетворяющего

условиям
x(t0 ) = x0 ; y(t0 ) = y0 ,	(7.30)

где t0 , x0 , y0 – заданные числа, называется задачей Коши для сис-

темы (7.28).

Один из способов решения системы (7.28) состоит в сведении ее к обыкновенному дифференциальному уравнению 2-го порядка путем исключения одной из искомых функций. Покажем это на примере.

Задача 12. Найти общее решение системы

dxdt = −3x − y,

dydt = x − y.

98

Решение. Запишем систему в виде

x′ = −3x − y,y′ = x − y.

Из 2-го уравнения системы найдем x = y′+ y и подставим в 1-е уравнение, получим:

(y′ + y)′ = −3(y′ + y) − y ; y′′ + y′ = −3y′ − 3y − y ,

т. е. y′′ + 4 y′ + 4 y = 0 .

Для решения последнего уравнения составим характеристическое уравнение λ2 + 4λ + 4 = 0 и решим его: (λ + 2)2 = 0 , λ1,2 = −2 .

В соответствии с формулой (7.19) y(t) = (c1 + c2t) e−2t . Подставив найденную функцию y(t) в выражение x(t) = y' (t) + y(t), найдем x(t):

x(t ) = ((c1 + c2t )e−2t )′ +(c1 + c2t )e−2t = c2e−2t − 2(c1 + c2t )e−2t +(c1 + c2t )e−2t = = (c2 − 2c1 − 2c2t + c1 + c2t)e−2t = (c2 −c1 −c2t)e−2t .

Итак, x(t) = (c2 − c1 − c2t) e−2t , – общее решение исходной системы.

y(t) = (c1 + c2t) e−2t

99

Тема 8. ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ

8.1. Частные производные функции двух переменных

Определение. Переменная величина z называется функцией двух переменных величин x и y, если каждой упорядоченной паре (x; y) допустимых значений x и y соответствует единственное зна-

чение z.

Функция двух переменных обозначается одним из выражений: z = f ( x; y) , z = z(x; y) и т. п.

Аналогично определяются функции большего числа переменных. Пусть в некоторой окрестности точки M (x; y) задана функция

z = z(x; y) . Фиксируя переменную у так, что y = const , получим функ-

цию от одной переменной х. Производная этой функции в точке х называется частной производной функции z(x; y) в точке (x; y) и обо-

значается ∂z ( x; y) , или z′x . Итак,

∂x

	∂z ( x; y)	=		dz ( x; y)			y = const.	(8.1)
	∂x			dx
Аналогично
	∂z ( x; y)	=		dz ( x; y)			x = const.	(8.2)
	∂y			dy
Поскольку частные производные z′x							и z′y в свою очередь являются

функциями двух переменных, то и от них можно брать частные производные:

∂		∂z		∂2 z		= z′′xx
			=	∂x	2			;
∂x		∂x
∂		∂z		∂2 z
			=				= z	′′yx ;
				∂y∂x
∂x		∂y

∂				∂z				∂2 z	= z′′xy
					=					;
							∂x∂y
∂y				∂x
	∂			∂z				∂2 z
						=			= z′′yy .
	∂y							∂y2
				∂y

(8.3)

(8.4)

Частные производные (8.3) и (8.4) называются частными производными второго порядка. Взяв от них частные производные, получим частные производные третьего порядка и т. д.

100