Волк_Высшая математика.2010

	n		n
bn + a∑ xi = ∑ yi ,
	=	i	=
	i 1		1	(13.12)
	n	n	n
b∑ xi + a∑ xi2 = ∑ xi yi .
	i=1	i=1	i=1

Задача 2. По результатам наблюдений (табл. 13.6) установить вид эмпирической зависимости y от x и методом наименьших квадратов найти эмпирическую зависимость y = f (x).

Построить точечную диаграмму и график полученной эмпирической зависимости.

Таблица 13.6

х	14	17	20	23	26	29	32	35	38	41
у	32	36	42	48	52	56	62	64	69	76

Решение

На плоскости xOy построим точки Mi (xi , yi ) , i = 1,10 .

Из точечной диаграммы (рис. 13.3) видно, что точки Mi (xi ; yi )

расположены вблизи некоторой прямой, поэтому можно считать, что зависимость y от x будет линейной, т. е. вида y = ax + b .

Переменная у Переменная y

80

70

60

50

40

30

20

10

0

0

10

20

30

40

50

Переменнаяеменнаях x

Рис. 13.3

161

Для нахождения коэффициентов а и b запишем нормальную систему (13.12). Для вычисления коэффициентов системы (13.12) составим табл. 13.7.

				Таблица 13.7
	x	y	x2	x y
	i	i	i	i i
1	14	32	196	448
2	17	36	289	612
3	20	42	400	840
4	23	48	529	1104
5	26	52	676	1352
6	29	56	841	1624
7	32	62	1024	1984
8	35	64	1225	2240
9	38	69	1444	2622
10	41	76	1681	3116
∑	275	537	8305	15942

Система (13.12) для нашего примера имеет вид:10b + 275a = 537,

275b + 8305a = 15942.

Из нее находим коэффициенты a и b : a = 1,58 ; b = 10,2 . Искомая эмпирическая функция: y = 1,58x +10,2 . На рис. 13.3 построим график

полученной прямой. График эмпирической зависимости соответствует точечной диаграмме.

162

ЗАДАЧИ ДЛЯ КОНТРОЛЬНЫХ РАБОТ

Тема 1. Элементы линейной алгебры, векторной алгебры и аналитической геометрии

Задачи 1–10. Записать систему линейных уравнений в матричной форме и решить методом Крамера.

	3x1 − 2x2 + 2x3 = 5,
1.
	2x1 +3x2 − x3 = 5,
	x	− 2x +	x = 0.
	1	2	3

x1 + 2x2 +3x3 =10,

3.2x1 −3x2 − x3 = −1,3x1 + 4x2 +5x3 = 22.

x1 + 4x2 − 2x3 = 3,

5.7x1 − x2 + 2x3 =8,4x1 +3x2 −3x3 = 4.

3x + 2x + 4x =12,

7.x1 −3x2 +3x3 = 2,2x1 −5x2 + x3 = 0.4x1 + x2 −5x3 = −14,

9.x1 −3x2 + x3 = 0,2x1 +5x2 −3x3 − 4.2 31

=13,

2.x1 − 2x2 +3x3 = −1,2x1 − 4x2 − x3 = −2.x2 + x35x1 −

	x1	+ 4x2 +3x3 =14,
4.
	3x1 +5x2 − x3 = 5,
	x	− x	+ 2x = 6.
	1	2	3

x1 −5x2 −6x3 = −4,

6.4x1 + x2 + x3 = 9,3x1 + 2x2 − 2x3 = 4.3x1 + x2 −7x3 = −6,

8.x1 +5x2 − x3 = 4,2x1 − x2 + 4x3 = 3.

x1 +3x2 + 4x3 = 4,

10.2x1 − x2 +8x3 =1,3x1 + 2x2 − 4x3 = 5.

Задачи 11–20. Даны координаты вершин пирамиды A1 A2 A3 A4 . Найти: 1) длину ребра A1 A2 ; 2) угол между ребрами A1 A2 и A1 A4 ; 3) уравнение плоскости A1 A2 A3 ; 4) площадь грани A1 A2 A3 ; 5) объем пирамиды; 6) уравнение прямой A1 A2 ; 7) уравнение высоты, опущенной из вершины A4 на плоскость A1 A2 A3 .

11.A1(2; 4; 7); A2 (6; 6; 2); A3 (5; 4; 7); A4 (7; 3; 0).

12.A1 (4; 5; 7); A2 (7; 5; 3); A3 (9; 4; 4); A4 (7; 9; 6).

163

13.A1 (4; 2; 0); A2 (6;1;1); A3 (4; 6; 6); A4 (1; 2; 6).

14.A1 (3; 5;10); A2 (5; 5; 4); A3 (3; 8; 4); A4 (5; 8; 2).

15.A1 (4; 6; 3); A2 (0; 7;1); A3 (4;1; 5); A4 (3; 9; 8).

16.A1 (5; 7; 8); A2 (9; 5; 5); A3 (−3; 7;1); A4 (6; 9; 2).

17. A1(4; 9; 3); A2 (2; 4; 3); A3 (7; 6; 3); A4 (3; 6; 7).

18.A1 (1; 9; 9); A2 (3; 5; 4); A3 (5; 8; 3); A4 (6; 4; 8).

19.A1 (1; 7; 3); A2 (3; 3; 9); A3 (6; 9;1); A4 (8; 5; 8).

20.A1 (−1;1; 6); A2 (3;1; 4); A3 (−1; 6;1); A4 (0; 4; −1).

Задача 21. Составить каноническое уравнение эллипса, большая полуось которого равна 10, эксцентриситет 0,6 и фокусы лежат на оси Ox . Изобразить эллипс на рисунке.

Задача 22. Составить каноническое уравнение эллипса, сумма полуосей которого равна 8 и расстояние между лежащими на оси Ox фокусами 8. Изобразить эллипс на рисунке.

Задача 23. Составить каноническое уравнение эллипса, если расстояния от лежащего на оси Oy фокуса до концов его большой оси

равны 9 и 1. Изобразить эллипс на рисунке.

Задача 24. Составить каноническое уравнение эллипса, вытянутого вдоль оси Oy , если расстояние между директрисами равно 12 и рас-

стояние между фокусами равно 8. Изобразить эллипс на рисунке.

Задача 25. Составить каноническое уравнение гиперболы, фокусы которой лежат на оси Oy , действительная полуось равна 6, а эксцен-

триситет 53 . Изобразить гиперболу на рисунке.

Задача 26. Составить каноническое уравнение гиперболы, если расстояние между лежащими на оси Ox фокусами равно 20, а уравне-

ние асимптот y = ± 43 x . Изобразить гиперболу на рисунке.

164

Задача 27. Составить каноническое уравнение гиперболы, если расстояние между лежащими на оси Oy фокусами равно 20, а рас-

стояние между вершинами 12. Изобразить гиперболу на рисунке.

Задача 28. Составить каноническое уравнение гиперболы, если расстояние между лежащими на оси Oy фокусами равно 26, сумма

полуосей равна 17, а действительная полуось больше мнимой. Изобразить гиперболу на рисунке.

Задача 29. Составить каноническое уравнение параболы, вершина которой совпадает с началом координат, а прямая x = 3 является директрисой. Изобразить параболу на рисунке.

Задача 30. Составить каноническое уравнение параболы, вершина которой совпадает с началом координат, а фокус находится в точке F(0; −1,5) . Изобразить параболу на рисунке.

Тема 2. Предел и непрерывность функции

Задачи 31–40. Найти предел функции, не используя при этом правило Лопиталя.

31. a) lim	3x2 + x −10		;	б) lim	1 + x − 1 + 2x		;
x→∞	x2 + 2x −3			x→0	x2 +3x
в) lim	1−cos 2x	;			2x +3	x−1
	x sin 3x			г) lim	2x +5	.
x→0				x→∞

32. a) lim

x2 −7x +12

;

б) lim

5 + x −3

;

x − 4

x→3

x2 −8x +15

x→4

в) lim

xtgx

;

г) lim(1 − 5x)

x+1

.

x

x→0 1 − cos 4x

x→0

33. a) lim

x3 + x2 +3x

;

б) lim

x

;

4 + x − 2

x→∞

2x3 − x +10

x→0

в) lim

tg2x −sin 2x

г) lim

x

1−3 x

x2

;

.

x→0

x→∞

x −1

165

34. a) lim	x2 − 4x + 3			;
x→1	x	3	−1
в) lim cos x − cos3 x					;
			2

x→0 x

35. a) lim x2 − x −30 ; x→−5 x3 +125

в) lim1−cos6x

;

x→0

x sin x

36. a) lim

x2

+3x +10

;

3x2 − 2x +5

x→ ∞

в) lim

xsin 3x

;

tg2 xcos 2x

x→0

37. a) lim

x2

− 7x +10

;

x→2

x

3

−8

в) lim sin 2 2x

;

x→0

tg2 5x

38. a) lim

x3

−1

;

5x2 − 4x −1

x→1

в) lim sin2 2x

;

x→0

x

2

39. a) lim

(x −1)2

;

4x2

+ x −5

x→1

в) lim

1

−

1

;

x→0 sin x

tgx

40. a) lim

x2

+ 2x +5

;

3x2

−2x +10

x→∞

в) lim

tg2 2x

;

sin 2 3x

x→0

166

б)

г)

б)

г)

б)

г)

б)

г)

б)

г)

б)

г)

б)

г)

lim	2x +1 − 3 ;
x→4	x − 2 − 2

2x − 3			−5 x
lim	2x		.
x→∞
lim1−	1− x2			;
x→0	x	2

x +

3 3x

lim

.

x→∞

x −

2

lim

2x + 7 −5 ;

x→9

x −3

x −1

x

lim

.

x→∞ x + 2

lim

x − 2

;

6x +1 − 5

x→4

1

lim(1− 2x)

.

x

x→ 0

lim

x2 − x − 2

;

x→2

4x +1 − 3

2

lim(1+ 2x)

.

3 x

x→ 0

lim

x +3 − 2

;

x→1

x −1

x −2

4−x

lim

.

x→∞

x + 2

lim

x2 − 4

;

1− 4x −3

x→ −2

x

3−x

lim

.

x→∞ x −1

Задачи 41–50. Функция y(x) задана различными аналитиче-

скими выражениями для различных областей изменения независимой переменной. Найти точки разрыва, если они существуют. Сделать чертеж.

	− 2x,	если x ≤ 0,
41.	y = x2 ,	если 0 < x ≤ 2,
	x +1,	если x > 2.
	2x2 ,	если x ≤ 0,
43.	y = x,	если 0 < x ≤1,
	2,	если x >1.
	x − 3, если x < 0,
45.	y = x +1,	если 0 ≤ x ≤ 4,
	x2 −11, если x > 4.
	− 2x,	если x ≤ 0,
47.	y = x2 +1, если 0 < x ≤1,
	2,	если x >1.
	− x,	если x < 0,
49.	y = x2 ,	если 0 ≤ x ≤ 4,
	x −1, если x > 4.

x2 +1, если x ≤1,
42. y = 2x,	если 1 < x ≤ 3,
x + 2,	если x > 3.

x −1, если x ≤ 0,

44.y = x2 , если 0 < x < 2,2x, если x ≥ 2.

		+1, если x < 0,
	3x
46	y = x2	+1, если 0 ≤ x <1,
	0,		если x ≥1.
			если x < 0,
	1,
48.	y = x2	+1, если 0 ≤ x ≤1,
	x,		если x >1.
	2x +1, если x < −1,
50.	y = x2 ,		если −1 ≤ x ≤ 2,
	6 − x,		если x > 2.

Тема 3. Производная и ее вычисление

Задачи 51–60. Найти производные dydx данных функций.

51.	а)	y = ln2 (arcsin x );		б)	y = (2ex	+ cos3x)4 ;
	в)	y = (sin 2x)3 x ;		г)	xy2 + x2 y + xy =1.
52.	а)	y = e3x+tg2x ;		б)	y = tg3	x +	1 ;
							x
	в) y = x 3 x + 2 x +1		;	г) xy +ey = y2 .
		3x +1

167

53. а)	y = xln2 5x −lnsin x;				б)	y = arctg	x +1		;
							x −1
в)	y = (tg3x)2 x ;				г) cos(xy) = x.
54. а)	y = ln arctg 1 + x2 ;				б)	y = e3 x+1 (x2		+3x + x ) ;
в)	y = (x3 +		x )sin x ;		г)	x3 + y3 = xy.
55. а)	y = (3cos x	+ tg2 x)4 ;			б)	y = x2 1 +		sin x;
в)	x(x2 +1))
	y = 3 (x2	−1)5		;	г)	y = 3x + arcctgy.
	1−sin3 x					y = arcsin		x +1		;
56. а)	y =10		;		б)
								x −1

в) y = x3e2 x x +1sin 5x;

57.а) y = 1 + tg2 x + tg 3 x;

в) y = (arctgx)x ;

58.а) y = ln cos x x−1;

в)		+	2 3 x
	y = 1			;
			x

59. а) y = sin (ex2 +3x+1 );

в) y = (1 + x)2 (1 − 2x)3 ; (1 − x)4 (1 + 4x)5

60. а) y = ln ctg2 x;

в) y = (cos x) x ;

Задачи61–70. Найти dy и d 2 2y dx dx

г) x sin y − y cos x = 0.

б) y = x arcsin x + 1 − x2 ;

г) tgy = xy.

б) y = 1 + ex ; 1 − ex

г) ln y + xy = 3.

б) y = 1x + ln3 x − lnxx ;

г) x2 + x5 y + xy3 = 0.

б) y =	x	x	− x arcsin x;
	sin3

г) ey = x3 + y5 .

параметрическизаданныхфункций.

168

	x = e		t	,					x = t2 ,
61.								62.		1
												t	3	−t.
	y = cos t.								y =	3
63.	x = t cos t,							64.	x = t −sin t,
											−cos t.
	y = t sin t.								y =1
65.	x = 2t −t3 ,							66.	x =1 −t2 ,
				2	.									3	.
	y = 3t								y = t		−t
	x = 3cos t,													t
67.								68.	x = cos							,
						2	t.							2
	y = 4 sin										−sin t.
									y = t
69.	x = t3 +8t,							70.	x = cos 3t,
		5		+ 2t.
	y = t								y = sin 3t.

Тема 4. Исследование функций и построение графиков

Задачи

график. 71. y =

73. y =

75. y =

77. y =

71–80. Исследовать функцию y = f (x) и построить ее

x2

.

72.

y =

x3 + 4

.

x −1

x2

x2

+3x + 6

.

74.

y =

x2

− x −1

.

x + 2

x +1

x

.

76.

y =

x2

+1

.

x2

−1

1− x2

2x2 + x +1

.

78.

y =

1

.

x2

+1

x +1

79.	y =		8	.		80.	y =			x	.
		x2	− 4					1		+ x2
Задачи 81–90. Найти наибольшее и наименьшее значения функ-
ции y = f (x)			на отрезке [a; b].
81.	f (x) = 1 x3				−	3 x2 + 2x,	[0; 3].
			3			2
											169

82.	f (x) =18x2 +8x3 −3x4 ,								[0; 4].
83.	f (x) = x4						− 2x2 ,		[0; 2].
84.	f (x) = x3						−12x,		[–1; 3].
85.	f (x) =	x		+				2	[1; 6].
								x
	8
86.	f (x) =		x			+		3 ,	[–5; –1].
	3							x
87.	f (x) = x3						−3x2 +3x + 2,		[–2; 2].
88.	f (x) = x3						−3x2 ,		[1; 3].
89.	f (x) = x4						+ 4x,		[–2; 2].
90.	f (x) = x3						−12x + 7,		[0; 3].

Тема 5. Неопределенный интеграл и его вычисление

Задачи 91–100. Вычислить неопределенные интегралы: а) методом замены переменной; б) методом интегрирования по частям.

91.	а) ∫	ln xdx						;
		x
92.	а) ∫	(arctgx)2 dx							;
		1 + x				2
93.	а) ∫ xex2 dx;
94.	а) ∫	sin xdx			;
		cos	2	x
95.	а) ∫	xdx					;
		x2 +1

96.а) ∫ (2x −3)dx ;

x2 −3x +8

97.а) ∫sin3 xcos xdx;

б) ∫(2x2 + x +1)ex dx.

x

б) ∫(3x + 2)e2 dx.

б) ∫(x2 − x +1)sin xdx.

б) ∫ x2 ln xdx.

б) ∫ (3x2 + 2x −1) cos xdx.

б) ∫ (2x +5)e3 x+1dx.

б) ∫ xln xdx.

170