Волк_Высшая математика.2010

98. а) ∫	dx	;		б) ∫arctg xdx.
	x ln x
99. а) ∫	x4 dx		;	б) ∫(x +1)cos 2xdx.
	1+ x5
100. а) ∫esin x cos xdx;				б) ∫ ln xdx2 .
				x

Задачи 101–110. Вычислить неопределенные интегралы.

101. ∫	3x2 − 2x +1
	(x −1)(x2	+1)	dx .
103. ∫	x2 − x +5
	(1− x)(x2	+ 4)	dx .

x+3x − 2

105.∫ (x −1)(x2 +1) dx .2

x2 − x + 2

107. ∫ (x + 2)(x2 + 4) dx .

3x2 − 2x +1 109. ∫ (x −1)(x2 +1) dx .

	∫	4x +9
102.				dx .
		(2 − x)(x2 + 4x +5)
	∫	x + 2
104.			dx .
		x(x2 + 2x + 2)

2x + 4

106. ∫ (x − 2)(x2 + 4) dx .

2x2 − 4x +32 108. ∫ x(x2 +16) dx .

18−6x

110.∫ (x +3)(x2 +9) dx .

Задачи 111–120. Вычислить неопределенные интегралы от иррациональных и от тригонометрических функций.

dx

111. а) ∫ 2 x +1 + 3 (x +1)2 ;

112. а) ∫		dx				;
		3x +	2 −
						1
113. а) ∫		xdx	;
		x − 4
114. а) ∫			dx				;
	4	(x −1)		3	+ 4
							x −1
115. а) ∫		dx			;
	2x +		x

б) ∫ sin3 xdx.

б) ∫ sin2 x cos3 xdx.

б) ∫ sin3 xdx . cos x

б) ∫ sin2 2xdx.

б) ∫ cos3 xdx . sin2 x

171

116. а) ∫	3	2x −1dx					;
		+	2x −1
117. а) ∫			dx				;
		x	(4 +	4
					x)
118. а) ∫			dx				;
		x	(2 +	3
					x)
119. а) ∫				dx			;
		4x +1 −				4
							4x +1
120. а) ∫				dx			;
		x	+1(1 −			3
							x +1)

б) ∫ cos3 xdx.

б) ∫ sin2 3xdx.

б) ∫ tg3 xdx.

б) ∫ cos2 5xdx.

б) ∫ ctg3 xdx.

Тема 6. Определенный интеграл и его применение

Задачи 121–130. Вычислить площадь фигуры, ограниченной данными линиями, и изобразить фигуру на чертеже.

121.	y = x2	− 4x + 4,	y + x = 4 .
122.	y = x2	+ 4x +5,	y − 2x =8 .
123.	y =1+ ex , x + y = 2, x = 2 .
124.	y = −x2 + 4x +1,		y − x −1 = 0 .

125.4y = x2 , y2 = 4x.

126.xy = 6, x + y −7 = 0.

127.y = x2 − 2x +1, y = −x2 + 2x +1.

128. y = ex , y = e−x , x = 1.

129.xy = 4, x = 4, y = 4 .

130.y =16x , y =17 − x .

Задачи 131–140. Вычислить объем тела, образованного вращением фигуры вокруг оси Ox (задачи 131–136) или вокруг оси Oy (задачи 137–

140), ограниченнойуказаннымилиниями. Изобразитьфигурунарисунке.

172

131.y = x2 , x = y2 .

132.y = 2x − x2 , y = 0 .

133.xy = 4, x =1, x = 4, y = 0 .

134.y =1 + cos x, x = −π2 , x = π2 , y = 0 .

135.y =1 + sin x, x = 0, x = π, y = 0 .

136.y = 1 + ex , x = 0, x = 1, y = 0.

137.+ y2 =1. 4 9

138.y = x2 +1, y = 3, x = 0 .

139.x = 4 y − y2 , x = 0 .

140.y = x3 , y =1, x = 0 .x2

Задачи 141–150. Вычислить несобственный интеграл (или доказать его расходимость).

141.	+∞										142.	1		dx .
	∫ xe−x2 dx .											∫
	0											0		1 − x
	+∞	ln xdx										e		dx
143.	∫							.			144.	∫				.
													xln x
	2			x								1
	+∞			dx								+∞ dx
145.	∫								.		146.	∫				.
		9x			2		+1							xln x
	0											2
	+∞		x2 dx									2		dx
147.	∫								.		148.	∫							.
			x			3	+						(x −1)				2
	0							1				1
	+∞						dx					2		dx
149.	∫									.	150.	∫						2 .
			2		+ 2x + 2									4 − x
	−1 x											0

Тема 7. Обыкновенные дифференциальные уравнения

Задачи 151–160. Найти общее решение дифференциальных уравнений первого порядка.

173

151.

xy′ + y = 3.

152.

xy′ − y =

x2

− y2 .

(1 + x

2

)y

′

2xy = (1 + x

2

)

2

′

y

153.

−

.

154.

xy

− y = y ln x .

155.

y′ − y = ex .

156.

2x3 y′ = y(2x2

− y2 ).

157.

y′ + 2xy = 3x2 e−x2 .

158.

2x2 y′ + x2

+ y2 = 0 .

(x +1)y

′

3

′

y

+ y

= x + x .

159.

160.

xy

= y ln x .

Задачи 161–170. Найти общее решение дифференциального уравнения второго порядка, допускающего понижение порядка.

′′

y′

2

′′

161.

y

+ 2 x = x .

162.

y

= ln x .

163.

y

′′

+ y

′

tg x = sin 2x .

164.

y

′′

′

2

(1 + y) − 5(y )

= 0 .

165.

′′

′

.

166.

yy

′′

′ 2

y xln x = y

= (y ) .

167.

y′′ − y′ctg x = sin x .

168.

(y − 2)y′′ = 2(y′)2 .

169.

xy′′ = y′.

170.

y′′tg x = y′+1.

Задачи 171–180. Найти частное решение дифференциального уравнения, удовлетворяющее заданным начальным условиям.

171.

y

′′

+ 4 y = 0,

y(0) = 0,

′

y (0) = 2 .

172.

y

′′

− 6 y

′

+ 9 y = 0 ,

y(0) =1,

′

y (0) =3 .

173.

y

′′

+ 4 y

′

+ 4 y = 0 ,

y(0) =1,

′

y (0) = −1.

174.

y

′′

+ 25y = 0 ,

y(0) =1,

′

y (0) =10.

175.

y

′′

+ y

′

− 20 y = 0 ,

y(0) = 2,

′

y (0) =1.

176.

4 y

′′

+ 4 y

′

+ y = 0 ,

y(0) = 0,

′

y (0) = 2 .

177.

y

′′

+ 6 y

′

+13y = 0 ,

y(0) =1,

′

y (0) = −3.

178.

y

′′

+8y

′

+16 y = 0 ,

y(0) = 2,

′

y (0) = −1.

179.

y

′′

+ 2 y

′

+ 2 y = 0 ,

y(0) = 3,

′

y (0) = 2 .

180.

y

′′

+5y

′

= 0 ,

y(0) = 7,

′

y (0) = −20 .

174

Задачи 181–190. Найти общее решение линейного дифференциального уравнения второго порядка.

181.y′′−3y′+ 2 y = 4 e3 x .

182.y′′− 4 y = 8x3 .

183.y′′ + 4 y′ +13y = (18x + 6)ex .

184.y′′ + 6 y′ + 8y = 7e3 x .

185.y′′ − 2 y′ + y = 4sin 2x − 3cos 2x .

186.y′′+ 2 y′+10 y =18 e−x .

187.y′′ − 6 y′ + 9 y = 2cos x +14sin x .

188.y′′ − 6 y′ + 5y = 5x2 −12x + 7 .

189.y′′ + 3y′ = (4x − 2)e−x .

190.y′′− 2 y′+ 26y = 25 cos x + 2 sin x .

Задачи 191–200. Найти решение системы дифференциальных уравнений, удовлетворяющее заданным начальным условиям.

	dx		= −3x − y,
191.	dt			x(0) = 0,	y(0) =1.
		dy	= x − y,
	dt
	dx		= −7x + y,
192.	dt			x(0) = 0,	y(0) =1.
		dy	= −2x −5y,
	dt
	dx		= 2x + y,
193.	dt			x(0) = 2,	y(0) = −1.
		dy	= 6x + y,
	dt
	dx		= 3x − y,
194.	dt			x(0) = 2,	y(0) = 3.
		dy	= 4x − y,
	dt

175

dx = −x +8y,

195.dt

dy = x + y,dt

dx = 2x + y,

196.dt

dy = 3x + 4 y,dt

dx = x − y,

197.dt

dy = −4x + y,dt

dx = x + y,

198.dt

dy = −2x +3y,

dt

dx = −3x + 2 y,

199.dt

dxy = −2x + y,

dt

dx =5x +3y,

200.dt

dy = −3x − y,dt

x(0) = −2,

x(0) = 3,

x(0) = 4,

x(0) = 1,

x(0) =1,

x(0) = 1,

y(0) = 2.

y(0) = 5.

y(0) = 4.

y(0) = 2.

y(0) = 2.

y(0) = 0.

Тема 8. Функции нескольких переменных

Задачи 201–210. Проверить, удовлетворяет ли заданному уравнению функция u = u(x; y).

201.	x ∂u	+ y	∂u	= 2,		если	u = ln(x2 + xy + y2 ).
	∂x		∂y
202.	∂2u	= a2 ∂2u			,	если	u = sin ( x + ay), a −const.
	∂y2		∂x2

176

203.

x

∂2u

= ∂u ,

если

u =

x

.

∂x∂y

∂y

y

204.

x

2 ∂2u

+ y2 ∂2u

= 0,

если

u = exy .

∂x2

∂y2

∂

u

∂u 2

∂u

2

x

205.

x

− y

2

= 0,

если

u = e

y

∂y

2

.

∂x

∂x

206.∂2u − ∂2u = 0, ∂x2 ∂y2

207.∂∂ux + ∂∂uy =1,

208.∂2u + ∂2u = 0, ∂x2 ∂y2

209.∂2u − ∂2u = 0, ∂x2 ∂y2

210.a2 ∂2u = ∂2u , ∂x2 ∂y2

если u = ln(x2 − y2 ) .

если u = ln(ex + ey ).

если u = arctg xy .

если u = ln(x2 − y2 ).

если u =sin(x − ay).

Задачи 211–220. Исследовать функцию z = z(x; y) на экстремум.

211.z = xy − x2 − 2 y2 + x +10 y.

212.z = 3x2 + 3xy + y2 − 6x − 2 y.

213.z = 3xy − x2 − 4 y2 + 4x − 6 y.

214.z = 3x2 + 5xy + 3y2 + 4x + 7 y.

215.z =3xy − x2 −3y2 − 6x + 9 y.

216.z = x2 +3xy + y2 − x −4 y.

217.z = x2 − xy + y2 + x + y.

218.z = 3x2 + 5xy + 3y2 + x − y.

219.z = x2 + 2xy − y2 + 6x −10 y.

220.z = −5x2 − 4xy − y2 − 4x − 2 y.

177

Задачи 231–240. Дана функция z = z(x; y) , точка A(x0 ; y0 ) и вектор a . Найти gradz в точке А и производную функции z в точке А по направлению вектора a .

221.	z = arctg(x2 y) ,									A ( 2 ; 1), a = 3 i + 4 j .
222.	z = ln(4x2 +5y2 ) ,									A(1;1),	a =15i −8 j .
					y2
223.	z = arcsin								,	A(3;1),	a =12i − 5 j .
					x
224.	z =		x2 − y2 ,							A(5; 4),	a =8i −15 j .
225.	z = 2x2 + 3xy + 4 y ,									A(1; 3),	a = 4i + 3 j .
226.	z = arctg				xy ,					A(1; 4),	a = 5i +12 j .
227.	z = ln(x2 + 2xy + y2 ) ,									A(1;1),	a = 6i +8 j .
					x2
228.	z = arccos								,	A(1; 3),	a =8i −6 j .
					y
229.	z = ln(1+					xy ),				A(1; 4),	a = 5i −12 j .
230.	z =	x	−	y	,					A(1;1),	a = 3i − 4 j .
		y		x

Тема 9. Числовые и степенные ряды

Задачи 231–240. Исследовать сходимость числового ряда.

∞

n2

+1

;

231. а) ∑

2

n

n=1

∞

7

n

232. а) ∑

;

n

n!

n=1

3

∞

3

n

233. а) ∑

;

(n +

1)!

n=1

∞

3n +1

234. а) ∑

;

2

n

n=1

(n +1)!

б)

б)

б)

б)

∞

∑

n=1

∞

∑

n=1

∞

∑

n=1

∞

∑

n=1

3n + 7 . n3 + 5n + 2

2n +1 . (n +1)2

1 . n2 + n +1

sin 1 .n2

178

	∞
235.	а) ∑ n +n2					;
	n=1	n4
	∞	n	3
236.	а) ∑				;
		2n+1
	n=1
	∞				n!
237.	а) ∑										;
		(n +1)2							n
	n=1
238.	∞	2n −1					;
	а) ∑	3		n
	n=1
239.	∞	(n + 2)						2		;
	а) ∑
	n=1			n!

∞1

240.а) ∑ (2n +1)!;n=1

б)

б)

б)

б)

б)

б)

∞

n

∑

.

n

2

+ n +

1

n=1

∑

2

2n + 6 .

∞

n=1

n + 4n + 3

∑cos

12 .

∞

n=1

n

∞

n2 + 2

2

∑

.

2

+1

n=1

2n

∑ n

2

5+ 4n + 4 .

∞

n=1

3n

+ 6n −1

∞

n

2

∑

.

n

2

+

1

n=1

Задачи

ного ряда.

∞

241. ∑

n=1

∞

243. ∑

n=1

241–250. Найти радиус и интервал сходимости степен-

(x −1)n . 3n+1

(x +1)n . n +1

∞

242. ∑

n=1

∞

244. ∑

n=1

nxn . (n +1)!

(n +1)2 xn . 2n

245.	∞	(x	+ 2)n			.
	∑	n! n
	n=1
247.	∞	n xn
	∑		n .
	n=1	3
	∞	x	n
249.	∑				.
		3n +1
	n=1

Задачи 251–260. Вычислить

∞ (x −1)n 246. ∑ .

n=1 n n

∞

248. ∑ n5n xn .

n=1

∞(x −3)n

250.∑ .

n=1 n5n

b

∫ f (x)dx с точностью до 0,001, раз-

a

ложив подынтегральную функцию в ряд и затем проинтегрировав его почленно.

1

251. ∫ cos x2dx.

0

0,5 ln(1		+ x2 )
252. ∫				dx.
		x
0

179

1

253. ∫ x2 cos xdx.

0

255. 1 e−x2 dx.

∫

0

1

257. ∫ sin x2dx.

0

1

259. ∫ x sin xdx.

0

0,5

254. ∫ 1+ x3 dx.

0

0,5 xdx

256. 0∫ 1+ x3 .

0,5 sin x

258. ∫ dx.

0 x

0,5 dx

260. 0∫ 1+ x4 .

Задачи 261–270. Найти три первых отличных от нуля члена раз-

ложения в степенной ряд решения				y = y(x) дифференциального
уравнения y′ = f (x; y) ,			удовлетворяющего		начальному		условию
y(0) = y0 .
261.	y′ = e2 x + y,	y(0) = 2.		262.	y′ = ey + xy,		y(0) =1.
263.	y′ = x2 + y2 ,	y(0) =1.		264.	y′ = cos x + ey ,		y(0) =1.
265.	y′ = e−x + y2 ,	y(0) = 2.		266.	y′ = sin x + xy,		y(0) =1.
267.	y′ =sin x + y2 ,		y(0) =1.	268.	y′ = x + y3 ,	y(0) = 2.
269.	y′ = ex − y,	y(0) = 2.		270.	y′ = x + ey ,	y(0) = 0.

Тема 10. Кратные и криволинейные интегралы, их применение

Задачи 271–280. Изменить порядок интегрирования. Изобразить область интегрирования.

	1	y		2	x2
271.	∫ dy ∫ f (x, y)dx.		272.	∫ dx	∫ f (x, y)dy.
	0	y		1	1
	2	6−x		1	3 x
273.	∫ dx	∫ f (x, y)dy.	274.	∫ dx	∫ f (x, y)dy.
	0	2 x		0	2 x
	2	4+2 x		1	1−x2
275.	∫ dx ∫ f (x, y)dy.		276.	∫ dx	∫ f (x, y)dy.
	0	2 x		−1	0

180