Волк_Высшая математика.2010

lim

x2 −3x + 2

=

0

= lim

(x − 2)(x −1)

= lim

x −1

=

2 −1

= −1 .

x

2

−7x +10

(x − 2)(x −5)

x −5

2 −5

x→2

x→2

x→2

3

0

3) При вычислении пределов от выражений, содержащих иррациональность, переводим иррациональность из числителя в знаменатель, или наоборот, используя умножение числителя и знаменателя дроби на сопряженное выражение.

Задача 3. Вычислить lim					1 + x − 1 − x .
				x→0		x
Решение
lim	1 + x −	1− x	=	0 = lim (		1+ x −	1− x)( 1+ x +			1− x) =
	x					x( 1 + x + 1− x)
x→0				0	x→0
	= lim	1 + x −(1 − x)				= lim			2x	=
	x→0 x( 1 + x + 1 − x)					x→0 x( 1		+ x + 1 − x)
		= lim			2	=	2	1	=1.
		x→0		1 + x +		1 − x	1 +

В данном случае умножили числитель и знаменатель дроби на величину, сопряженную числителю, далее сократили числитель и знаменатель на х и применили формулы (2.1) и (2.3).

4) При вычислении пределов от тригонометрических функций иногда приходится использовать 1-й замечательный предел (2.8),

а при раскрытии неопределенностей вида

1∞

– 2-й замечательный

предел (2.9).

Задача 4. Вычислить lim 1−cos 2x .

Решение

x→0

x2

sin x 2

lim

1 −cos 2x

=

0

= lim

2sin

2 x

= 2lim

=

2

= 2 .

x

2

x

2

x

2 1

x→0

x→0

x→0

0

При решении задачи использовали тригонометрическую формулу

1 −cos α = 2 sin2 α2 , а также (2.4) и (2.8).

41

x

+

5 2x

Задача 5. Вычислить lim

.

+

x

→∞ x

3

5

Решение. Так как lim

x +5

= lim

1 + x

=1, то в данном случае имеем

x→∞ x

+3

x→∞

3

1∞

1 + x

неопределенность вида

, для раскрытия которой используем вто-

рой замечательный предел (2.9) следующим образом:

x +5

2 x

x +5

2 x

2

2 x

lim

= lim

1+

−1

= lim 1+

=

x +3

x

x→∞ x +3

x→∞

x→∞

+3

x+3

2

2 x

4 x

lim

4

2

x+3

lim

2

3

= e

x→∞ x+3

= e

x→∞1+

x

= e

4

= lim

1

+

.

x + 3

x→∞

При решении задачи использовали (2.9) так:

2

x+3

2

= lim (1 + α)

1

2

α

lim 1

+

=

заменаα =

=

x + 3

x→∞

x + 3

α→0

была применена также и формула (2.7).

Задача 6. Вычислить lim x(ln(x + 2) − ln x).

x→∞

Решение. lim x(ln(x + 2)−ln x)

= lim x ln

x + 2

= (∞ 0) =

x→∞

x→∞

x

2 x

2

x

2

+

2

= ln e

2

= 2 ln e =

= lim ln 1

= ln lim

1+

x

x→∞

x

x→∞

e ,

2 .

При решении задачи использованы формулы (2.9) и (2.6), а также свойства логарифмов.

2.2. Непрерывность функции

Рассмотрим функцию f (x) , определенную в точке x0 и некоторой ее окрестности.

42

Определение. Функция y = f (x) называется непрерывной в точке x0 , если:

1) f (x) определена в точке x0 и некоторой ее окрестности;

2) lim f (x) = f (x0 ).

x→x0

Так как lim x = x0 , то второе условие можно записать в виде

x→x0

			= f (x0 ).
lim f (x) = f lim x
x→x0	x→x0

Это означает, что для непрерывной функции знаки предела и функции можно переставлять.

Определение.		Если функция	y = f (x)	определена в окрестности
точки x0	и lim	f (x) = f (x0 − 0) = f (x0 )		(аналогично lim f ( x) =
	x→x0 −0			x→x +0
= f ( x0 + 0) = f ( x0 ) ), то функция				0
			y = f (x)	называется непрерывной

в точке x0 слева (соответственно справа).

Обычно при исследовании функции на непрерывность используют следующий критерий.

Критерий. Функция f (x) называется непрерывной в точке x0 , если выполняются следующие три условия:

1)функция f (x) определена в точке x0 ;

2)существуют односторонние пределы f (x0 − 0) и f (x0 + 0);

3)эти пределы равны между собой и равны значению функции

вточке x0 , т. е. выполняется условие

f (x0 − 0) = f (x0 + 0) = f (x0 ).

(2.10)

При вычислении пределов функций часто используется теорема: «Элементарные функции непрерывны в каждой точке области определения».

Определение. Функция f (x) называется непрерывной на отрезке [a; b], если она непрерывна в каждой точке этого отрезка, в точке a

непрерывна справа, а в точке b слева.

Определение. Точка x0 называется точкой разрыва, если в этой

точке нарушается хотя бы одно из условий непрерывности.

Точки разрыва функции классифицируются следующим образом. Точка x0 называется точкой устранимого разрыва, если в этой

точке существуют односторонние пределы, они равны между собой,

43

но не равны значению функции в точке x0 , или функция в точке x0 не

определена.

Если в точке устранимого разрыва функцию доопределить или сделать равной односторонним пределам, то функция в этой точке станет непрерывной.

Точка x0 называется точкой конечного разрыва, если в этой точке

существуют односторонние пределы, но они не равны между собой. Точка x0 называется точкой бесконечного разрыва, если хотя бы

один из односторонних пределов равен бесконечности.

Точки устранимого и конечного разрывов называются точками

разрыва I (первого) рода.		из односторонних пределов f (x0 − 0) или
Если	хотя бы один
f (x0 + 0)	равен бесконечности или не существует, то точки разрыва

называют точками разрыва II (второго) рода.

1

Задача 7. Рассмотрим функцию f (x) = 2 x−5 . Заданы два значения аргумента x1 = 3 и x2 = 5 . Требуется:

1)установить, является ли данная функция непрерывной или разрывной для каждого из данных значений аргумента;

2)в случае разрыва функции найти ее пределы в точках разрыва слева и справа;

3)сделать схематический чертеж графика.

Решение. 1) Так как f (x) является элементарной функцией, то она непрерывна во всех точках (−∞; 5) (5; + ∞), в которых она определена. Следовательно, в точке x1 = 3 функция непрерывна. В точке x2 = 5 функция не определена (деление на ноль не определено). Не

выполняется первое условие

критерия

непрерывности. Значит,

x2 = 5 – точка разрыва функции.

2) Вычислим односторонние пределы в точке x2 = 5 :

1

1

1

= 2−∞ =

1

1

f (5 −0) = lim 2

x−5

= 2

5−0−5

= 2

−0

=

= 0 ;

2+∞

+∞

x→5−0

1

1

1

= 2+∞ = +∞.

f (5 + 0) = lim 2

x−5

= 2

5+0−5

= 2

+0

x→5+0

Один из пределов оказался бесконечным, поэтому x2 = 5 – точка бесконечного разрыва.

44

y

1

	O							5			x
				Рис. 2.1
3) Учитывая, что lim 2				1		= 2		1		= 20 =1, строим эскиз графика
			x−5					∞
		x→∞
функции (рис. 2.1).
Задача 8. Для функции
		x2 +1,						если			x ≤1,
								если 1 < x ≤ 3,
f (x) = 2x,
				+ 2,				если			x > 3
		x

найти точки разрыва, если они существуют, и сделать схематический чертеж графика.

Решение. Поскольку f (x) задана тремя непрерывными элементарными функциями, то она непрерывна на каждом из интервалов (− ∞; 1), (1; 3) и (3; + ∞). Точками разрыва данной функции могут быть лишь точки x1 =1 и x2 = 3 , в которых функция меняет свое

аналитическое задание. Проверим в этих точках выполнение условий критерия.

Рассмотрим сначала точку x1 =1.

1) Функция определена в точке x1 =1 и ее окрестности, и значение f (1) =12 +1 = 2 ;

2) f (1 −0) = lim	f (x) = lim (x2 +1)	=1	+1 = 2 ,
x→1−0	x→1−0
f (1 + 0) = lim f (x) = lim (2x) = 2 1		= 2	;
x→1+0	x→1+0

3) f (1 − 0) = f (1 + 0) = f (1) .

45

Следовательно, в точке x1 =1 функция f (x) непрерывна. Теперь рассмотрим точку x2 = 3 .

1)	Функция определена в точке x2 = 3 и ее окрестности, и значе-
ние f (3) = 6 ;
2)	f (3 −0) = lim	f (x) = lim 2x = 2 3 = 6 ,
	x→3−0	x→3−0
f (3 +0) = lim f (x) = lim (x + 2) = 3 + 2 = 5 ;
	x→3+0	x→3+0
3)	f (3 − 0) ≠ f (3 + 0).

Не выполняется третье условие критерия непрерывности. Итак, точка x2 = 3 – это точка разрыва функции f (x) . Поскольку одно-

сторонние пределы в этой точке конечны, то это точка конечного разрыва.

Чертеж графика функции представлен на рис. 2.2.

y

7

6

5

4

3

2

1

−1		0		1	2	3	4	5	x

Рис. 2.2

46

Тема 3. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ

3.1. Производная. Правила вычисления производных. Таблица производных

Пусть функция	y = f (x)	определена на интервале	(a; b) . Аргу-
менту x (a; b) дадим приращение x . Тогда функция			y = f (x) по-
лучит приращение	y = f (x +	x) − f (x) (рис. 3.1).

y

f (x + x)

f (x)

	α
O	x	x + x	x

Рис. 3.1

Определение. Производной функции y = f (x) в точке x называется предел отношения приращения функции y к приращению аргумента

x при	x → 0 , обозначаемый одним из символов			′	dy	:
				f (x) ,	dx
	f ′(x) = lim	f (x + x) − f (x)	.			(3.1)
	x→0	x

Сфизической точки зрения производная определяет мгновенную скорость изменения любого физического параметра, описываемого функцией f (x) в точке х.

Сгеометрической точки зрения производная f ′(x) равна тангенсу

угла наклона касательной к графику функции y = f (x) в точке

M (x; f (x)) , т. е. f ′(x) = tg α.

47

Если производная f ′(x) существует для всех x (a; b) , то функ-

ция f (x) называется дифференцируемой на интервале (a; b) .

Операция вычисления производной называется дифференциро-

ванием.

Главная линейная часть приращения функции f (x) в точке x на-

зывается дифференциалом функции. Дифференциал функции	f (x)
обозначается символом df (x) и вычисляется по формуле
′	(3.2)
df (x) = f (x)dx .

При вычислении производных используют правила вычисления производных, таблицу производных, правило вычисления производ-

ной сложной функции.
Основные		правила нахождения производной: если u = u(x) и
v = v(x) – функции, имеющие производные, c = const , то:
1)	′
	c = 0;
2) (u ± v)′ = u′± v′;
3) (uv)′ = u′v + v′u ;
4)	(cu)′ = cu′;
5)	′	′	′	(v ≠ 0).
	u = u v −v u
	v	v2

Правило вычисления производной сложной функции состоит в следующем.

Если y = y(u) и u = u(x) , где функции y и u имеют производные, то

y′x = yu′ u′x , или	dy	=	dy	du .	(3.3)
	dx		du	dx

Это правило распространяется на цепочку из любого конечного числа дифференцируемых функций.

В табл. 3.1 представлены производные основных элементарных функций. Производные остальных функций могут быть найдены с использованием правил дифференцирования и вычисления производной сложной функции.

48

Таблица 3.1

Таблица производных

′

′

1

(

)

1.

(

x

)

=1

(

arcsin x

)

1

− x2

x

9.

=

<1

n

′

n−1

′

1

(

(

(

)

1− x2

2.

x

)

= nx

10.

arccos x

= −

x

<1

)

′

1

′

1

3.

(

x )

=

11.

(arctg x)

=

2

x

1+ x2

4. 1

′

= −

1

12.

(arcctg x)′ = −

1

1+ x

2

2

x

x

5.

(sin x)′ = cos x

13.

(ax )′ = ax ln a

(a > 0, a ≠1)

6.

(cos x)′ = −sin x

14.

(ex )′ = ex

′

1

′

1

7.

(tgx)

=

15.

(ln x)

= x

( x > 0)

cos2 x

′

1

′

1

8.

(ctgx)

= −

16.

(loga x)

=

( x > 0, a > 0, a ≠1)

sin2 x

x ln a

Задача 1. Найти производные функций:

а)

y = x5 +

1

+ x arctg x ;

б)

y

=

ex

;

sin x

x

в) y =(sin 2x + x3 )5 ;

г)

y = ln3 tg 5x .

Решение. Применяя правила вычисления производных и таблицу производных, найдем:

′

′

а)

−1

+( xarctgx)′ =

y′ = (x5 )

+ x

2

=5x4 −

1

+ x′arctg x + x (arctg x)′ = 5x4 −

1

+ arctg x +

x

.

3

3

1

+ x2

2x2

2x2

б)

y′ = (ex )′sinx −ex (sinx)′

= exsinx −excosx

=

ex (sinx −cosx)

.

sin2 x

sin2 x

sin2 x

49

Применив правило вычисления производной сложной функции, найдем:

в) полагая y = u5 , где u(x) = sin 2x + x3 , получим:

y′ = ((sin 2x + x3 )5 )′ = 5(sin 2x + x3 )4 (sin 2x + x3 )′ =

= 5(sin 2x + x3 )4 (2cos 2x +3x2 ).

г) Так как y является степенной функцией от натурального логарифма, который, в свою очередь, является функцией от tg 5x , то диф-

ференцируя как сложную функцию, получим:

	2		′			2			(5x)′
y′ = 3(ln		tg 5x) (ln tg 5x) = 3(ln					tg 5x)			=
								tg 5x cos2 5x
		=	15ln2 5x	=	30ln2 tg 5x				.
			cos5x sin 5x		sin10x

3.2.Логарифмическое дифференцирование

Внекоторых случаях вычисление производной значительно упрощается, если функцию предварительно прологарифмировать.

Здесь надо учитывать, что x – независимая переменная и x′ =1, а y = y(x) – зависимая переменная и (y(x))′ = y′.

Первый случай. При вычислении производной показательностепенной функции вида y = u(x)v( x) (основание и степень – заданные

дифференцируемые функции) сначала прологарифмируем обе части этого равенства и затем их продифференцируем:

		ln y = ln uv ;			ln y = vln u;	(ln y)′ = (vln u)′;
	1		u′				u′		v	u′
		y′ = v′ln u + v		;	y′ = y v′ln u + v			= u	v′ln u + v	.
	y		u
							u			u

Задача 2. Найти производную функции y = (tg x)sinx .

50