Волк_Высшая математика.2010

Задача 1. Дана функция z = exy . Показать, что она удовлетворяет

уравнению x2 ∂2 z − y2 ∂2 z = 0 .

∂x2 ∂y2

Решение. Вычислим, пользуясь определением, частные производные:

	∂z	= exy (xy)′	= yexy ;		∂2 z	=	∂	(yexy )= yexy (xy)′ = y2 exy ;
	∂x				∂y2		∂x
		x						y
	∂z	= exy (xy)′	= xexy ;		∂2 z	=	∂	(xexy )= xexy (xy)′ = x2 exy .
	∂y				∂y2		∂y
		y						y
	Следовательно, x2 ∂2 z			− y2 ∂2 z			= x2 y2 exy − y2 x2 exy = 0 , что и требо-
			∂x2		∂y2
	валось доказать.
		8.2. Экстремум функции двух переменных
	Определение. Точка			M 0 (x0 ; y0 )				называется точкой локального

максимума (минимума) функции z = z(x; y) , если существует такая

окрестность этой точки, что для всех точек из этой окрестности выполняется неравенство z ( x0 ; y0 ) > z ( x; y) ( z ( x0 ; y0 ) < z ( x; y)).

Точки минимума и максимума называются точками экстремума. Экстремум функции нескольких переменных может достигаться лишь в точках, лежащих внутри области ее определения, в которых все частные производные первого порядка обращаются в нуль или не существуют.

Такие точки называются критическими. Для функции двух переменных z = z(x; y) критические точки находятся из системы

уравнений

z′	x; y	)	= 0,
x (			(8.5)

z′y ( x; y) = 0.

Условия (8.5) являются необходимыми, но не достаточными условиями существования экстремума. Достаточные условия экстремума для функции z = z(x; y) в критической точке M 0 (x0 ; y0 ) выражаются

с помощью определителя

101

z′′ ( x ; y )

( ) = xx 0 0

x0 ; y0 z′′x y ( x0 ; y0 )

′′	( x0 ; y0 )
zxy		=
z′′y y ( x0 ; y0 )

	′′	′′	′′		2	(8.6)
	= zx x	( x0 ; y0 ) zy y ( x0 ; y0 ) −(zx y ( x0 ; y0 )) .
1. Если	(x0 ; y0 ) > 0 , то M 0 (x0 ; y0 )		– это		точка экстремума:
′′		точка максимума,	при	′′	( x0 ; y0 ) > 0 –	точка
при zx x ( x0 ; y0 ) < 0 –				zx x
минимума.	( x0 ; y0 ) < 0 , то в точке M0 (x0 ; y0 )
2. Если				нет экстремума.

Задача 2. Исследовать на экстремум функцию z = x3 + y3 +9xy . Решение. Вычислим частные производные первого и второго поряд-

x (

)

y (

)

xx (

)

yy (

)

ка: z′

x; y

= 3x2 +9 y;

z′

x; y

= 3y2 +9x ; z′′

x; y

= 6x ; z′′

x; y

= 6 y;

z′′yx ( x; y) =9 .

Приравнивая к нулю первые производные, получим систему уравнений для определения критических точек

3x2 +9 y = 0,

3y2 +9x = 0.

Решаем			данную систему					и находим			две критические точки
M1 (0; 0) и			M 2 (−3; −3) . Вычисляем значения частных производных
второго порядка и определитель в этих точках.
В точке M1 (0; 0) получаем: z′xx′ (0; 0) = 0 ;											z′yy′ (0; 0) = 0 ; z′yx′ (0; 0) = 9 ;
(0; 0) =		0	−9		= 0 0 −(−9)2 = −81.
		−9	0
Так как в точке M1 (0; 0) определитель											(0; 0) = −81 < 0 , то в силу
достаточных условий заключаем, что в этой точке экстремума нет.
В точке M 2 (−3; −3) получаем: z′xx′ (−3; − 3) = −18 ; z′yy′ (−3; − 3) = −18;
z′yx′ (−3; − 3) = 9 ;					(−3; −3) =		−18	9		= (−18)(−18) −92 = 243 .
							9	−18
Так как			= 243 > 0 и z′xx′ (−3; − 3) = −18 , то в силу достаточных ус-

ловий заключаем, что функция в точке M 2 (−3; − 3) имеет максимум,

причем max z(x; y) = z(−3; − 3) = 27 .

102

	Òåìà 9. ÐßÄÛ
	9.1. Числовые ряды
Пусть задана бесконечная последовательность			чисел un ,
n =1, 2, 3, … . Выражение
∞
∑un	= u1 +u2 +u3 +…+un	+…	(9.1)

n=1

называется числовым рядом. Числа u1 , u2 , …, un , … называют членами ряда, причем un – его общим членом.

Конечная сумма

Sn = u1 +u2 +u3 +…+un ,

(9.2)

слагаемыми которой являются первые n членов ряда (9.1), называется n-й частичной суммой данного ряда.

Определение. Ряд (9.1) называется сходящимся, если существует конечный предел его частичной суммы

lim Sn = S ,	(9.3)
n→∞
который и называется суммой ряда. В этом случае принимают
∞
S = ∑un .	(9.4)

n=1

В противном случае ряд называется расходящимся.

Задача 1. Исследовать на сходимость ряд

∑ 1n =1 + 1

+ 12 +…+ 1n +… .

∞

n=0

3

3

3

3

Решение. Составим n-ю частичную сумму для заданного ряда:

Sn

=1

+

1

+

1

+…+

1

. Члены Sn

являются членами геометрической

32

3n

3

q = 1 .

прогрессии

с

b =

1

и

Вычислим их сумму по формуле

1

3

b (1 − qn )

Sn

=

и найдем ее предел.

1

1 − q

103

Таким образом,

1(1 −

1

)

3 (1 −

1

3 (1 −

1

3 (1 −

1

) = 3 .

S

=

3n

=

) и lim S

= lim

) =

n

1 −

1

2

3n

n→∞

n

n→∞

2

3n

2

∞

2

3

1

3 .

∞

Данный ряд сходится, причем ∑

=

n

n=0

3

2

∞

(a ≠ 0) сходится при

Полезно иметь ввиду, что ряд ∑ aqn

q

<1

и расходится при

q

≥1.

n=0

При изучении сходимости рядов используют необходимый и дос-

таточные признаки сходимости.

Необходимый признак сходимости ряда

∞

сходится, то limun

= 0 .

Если ряд ∑un

n=1

n→∞

Обратное утверждение неверно.

Замечание. Из необходимого признака сходимости ряда вытекает

достаточное условие расходимости ряда: если limun ≠ 0 или не суще-

n→∞

∞

ствует, то ряд ∑un расходится.

n=1

∞

n

2

Задача 2. Исследовать на сходимость ряд ∑

.

2

n=1 n

+1

Решение. Проверим выполнение необходимого признака сходи-

мости ряда. Так как lim un

= lim

n2

= ∞

= lim

1

=

1

=1 ≠ 0 ,

n

2

1

1

+

0

n→∞

n→∞

+1

∞

n→∞

1 +

n2

то необходимый признак сходимости не выполнен. Следовательно, данный ряд расходится.

						∞
	Задача 3. Исследовать на сходимость ряд ∑ 1 .
			= lim 1		1	n=1 n
	Решение. Так как limu			=		= 0 , то необходимый признак
		n			∞
	n→∞		n→∞ n

сходимости выполнен. О сходимости ряда на основании этого признака ничего нельзя сказать. Для изучения его сходимости нужно использовать достаточные признаки сходимости.

104

Ряд, все члены которого положительны, называется знакоположительным рядом. Рассмотрим далее достаточные признаки сходимости знакоположительных рядов.

Признак Даламбера

Пусть дан знакоположительный ряд

∞	> 0 , n = 1, 2, 3, …,
∑un , un		(9.5)
n=1

и lim	un+1	= l . Тогда, если l < 1, то ряд (9.5) сходится, если l > 1, то ряд
n→∞ un
(9.5) расходится.
Замечание. Признак Даламбера удобно применять, если в un				вхо-
дят выражения an и n!. Если lim un+1			не существует или же lim un+1	= 1,
		n→∞ un	n→∞ un

то признак Даламбера не позволяет установить сходимость ряда (9.5).

∞

2

Задача 4. Исследовать на сходимость ряд ∑ nn .

n=1

3

Решение. Применяем признак Даламбера. Находим предел:

lim

un+1

= lim

(n + 1)2

: n2

=

3n

(n + 1)2

=

un

3n+1

3n+1

n2

n→∞

n→∞

3n

=

1

lim 1 +

1 2 =

1

1 +

1

2 =

1 1 =

1 .

3

n→∞

n

3

∞

3

3

Данный предел меньше 1, значит ряд сходится.

Радикальный признак Коши

Пусть дан ряд с положительные членами

∞

= 1, 2, 3, …,

∑un , n

(9.6)

n=1

и lim n un = l . Тогда, если l < 1, то ряд (9.6) сходится, если l > 1, то ряд
n→∞
(9.6) расходится.	не существует или же lim n un = 1, то ра-
Замечание. Если lim n un
n→∞	n→∞

дикальный признак Коши не позволяет установить, сходится ли исследуемый ряд (9.6).

105

∞

n

Задача 5. Исследовать на сходимость ряд ∑

n +1

.

n=1 2n +3

Решение. Этот ряд сходится по радикальному признаку Коши, так

n +1

1

+

1

+ 1 + 0 = 1

как lim n un = lim

= lim

4

<1.

2n +3

3

n→∞

n→∞

n→∞

2

+

2 + 0 2

4

Интегральный признак Коши

Если положительная, невозрастающая и непрерывная при x ≥ a ≥1

функция f (x) такова, что f (n)

∞

= un , то ряд ∑un

и несобственный инте-

n=1

грал +∞∫ f (x) dx сходятся или расходятся одновременно.

a

1

∞

Задача 6. Исследовать на сходимость ряд ∑

.

n=2 n ln n

Решение. Этот ряд по интегральному признаку Коши расходится,

+∞

dx

так как расходится несобственный интеграл

∫

.

Действительно,

2 x ln x

+∞ dx

= lim b

dx

= lim b

d (ln x)

= limln(ln x)

b =

2 xln x

xln x

2

2

ln x

∫

b→+∞ ∫

(

b→+∞ ∫

))

b→+∞

2

= lim

ln

(

ln b

)

−ln

(

ln 2

= +∞.

b→+∞

Замечание. С помощью интегрального признака Коши можно до-

∞

1

казать, что обобщенный гармонический ряд ∑

сходится при α >1

α

n=1

n

∞

и расходится при α ≤1. Отсюда следует, что гармонический ряд ∑ 1

расходится (задача 3).

n=1 n

Первый признак сравнения

Рассмотрим два знакоположительных ряда:

∞

∑un

(9.7)

n=1

∞

∑ vn

(9.8)

n=1

106

Пусть выполняется условие un ≤ vn ( n =1, 2, 3, …). Тогда, если

сходится ряд (9.8), то сходится и ряд (9.7), если же ряд (9.7) расходится, то расходится и ряд (9.8).

Второй признак сравнения

Если существует конечный и отличный от нуля предел

lim un = A (0 < A < +∞) , то ряды (9.7) и (9.8) сходятся или расходятся

n→∞ vn

одновременно.

Замечание. При использовании признаков сравнения во многих случаях ряды удобно сравнивать с обобщенным гармоническим рядом

	∞	1
	∑		, который сходится при α >1 и расходится при α ≤1.
		α
	n=1	n				1
			∞
		Задача 7. Исследовать на сходимость ряд ∑						.
				n	2	+ n	+
			n=1					n
							∞	1
		Решение. Возьмем для сравнения сходящийся ряд					∑		(этот ряд
								2
							n=1	n

сходится, так как это обобщенный гармонический ряд с α = 2 ). Так как

		1	< 1		, топопервомупризнакусравнениясходитсяинашряд.
	n2 + n +		n	n2
							∞	1 .
		Задача 8. Исследовать на сходимость ряд ∑sin
							n=1	n	1
								∞		(этот ряд
		Решение. Возьмем для сравнения расходящийся ряд ∑
								n=1	n	с α = 1 ).
	расходится,			так	как это обобщенный гармонический ряд
		sin 1n		0		sin α				2
	lim		=	=1 (так как lim		α	=1 – это 1-й замечательный предел),
		n
	n→∞			0	n→0
		1

следовательно, повторомупризнакусравнениярядрасходится.

Рассмотрим знакопеременные и знакочередующиеся ряды.

Ряд называется знакопеременным, если среди его членов есть как положительные, так и отрицательные.

Ряд называется знакочередующимся, если он имеет вид

∑∞ (−1)n+1 un = u1 −u2 +u3 −u4 +…,

(9.9)

n=1

где un > 0 , n =1, 2, 3, … .

107

Признак сходимости знакочередующегося ряда (признак Лейбница)

Если члены un ряда монотонно убывают u1 > u2 > u3 >…> un >…

и lim un = 0 , то знакочередующийся ряд	∑∞ (−1)n+1 un сходится, а его
n→∞	n=1

сумма положительна и не превосходит первого члена.

Задача 9. Исследовать на сходимость ряд ∑∞											(−1)n .
										n=1	n
Решение. Данный ряд является знакочередующимся, поэтому
проверим			выполнение				условий признака Лейбница. Так как
lim u		= lim	1 =	1	= 0 , а	1	>	1		> 0 , то оба условия признака Лейбница
	n					n		n +1
n→∞		n→∞ n		∞

выполнены. Следовательно, данный знакочередующийся ряд сходится. Введем понятие абсолютной и условной сходимости.

				∞
Знакопеременный ряд ∑un называется абсолютно сходящимся, если
				n=1
∞
ряд ∑		un		, составленныйизабсолютныхвеличинегочленов, сходится.
n=1				∞
Сходящийся знакопеременный ряд ∑un , не являющийся абсо-
				n=1
лютно сходящимся, называется условно сходящимся.					(−1)n+1 1 .
Примером условно сходящегося ряда является ряд ∑∞
				n=1	n

Действительно, как показано в задаче 9, этот знакочередующийся ряд по признаку Лейбница сходится. Но ряд, составленный из модулей

∑∞ 1 , является расходящимся гармоническим рядом. Следовательно,

n=1 n

исходный ряд сходится, но не абсолютно, а значит, он является условно сходящимся рядом.

9.2. Степенные ряды

Ряд вида

∞
∑an xn ,	(9.10)

n=0

где an , n = 0, 1, 2, … – постоянные числа, называется степенным рядом.

108

Множество значений аргумента х, для которых степенной ряд (9.10) сходится, называется областью сходимости этого ряда.

При нахождении области сходимости степенного ряда используется понятие радиуса сходимости и интервала сходимости степенного ряда.

Величина R ≥ 0 (где R – число или символ +∞) такая, что при всех х, удовлетворяющих неравенству x < R , ряд (9.10) сходится, и при всех х,

удовлетворяющих неравенству x > R , ряд (9.10) расходится, называ-

ется радиусом сходимости степенного ряда (9.10).

Известно, что у всякого степенного ряда существует радиус сходимости.

Множество точек х, для которых x < R , называется интервалом

сходимости ряда (9.10).

Очевидно, что интервал сходимости есть открытый интервал (–R; R) с центром в точке х = 0 .

На концах интервала сходимости, т. е. при x = ±R , ряд (9.10) может либо сходиться, либо расходиться.

Отметим, что у некоторых степенных рядов интервал сходимости

вырождается в точку (если R = 0 ), а у других – охватывает всю ось Ох (еслиR = +∞ ).

Радиус сходимости степенного ряда можно вычислить либо по

	формуле
				an
	R = lim					,	(9.11)
			an+1
	n→∞
	либо по формуле
		1
	R = lim n			an	,		(9.12)
	n→∞

если стоящие в правых частях этих равенств пределы существуют.

Если же lim n an = 0 , то R = +∞ .

n→∞

Задача 10. Найти область сходимости степенного ряда ∑ xn .

n=1 n2n

Решение. Вычислим радиус сходимости степенного ряда по формуле (9.11).

109

Так

как

an

=

1

,

то

an+1 =

1

, и

R = lim

(n +1)2n n+1

=

n

2

n

(n +1) 2

n+1

n→∞

n 2

= 2 lim

n +1

1

= 2

1 = 2 .

n

= 2 lim 1+

n→∞

n→∞

n

Следовательно, интервал сходимости данного ряда будет (−2; 2) . Это означает, что при x < 2 ряд сходится, а при x > 2 – расходится.

Исследуем сходимость степенного ряда на концах интервала сходимости, т. е. в точках x1 = 2 и x2 = −2 .

Подставив в исходный степенной ряд x1 = 2 , получим числовой

∞	2n	∞	1
ряд ∑		= ∑		. Это гармонический ряд. Так как он расходится, то
n=1n 2n		n=1n
и степенной ряд в точке x1					= 2 расходится.
Подставив в исходный степенной ряд x2								= −2 , получим знакоче-
редующийся числовой ряд
					n	n		n
				∑∞ (−2)n = ∑∞		(−1) n2n	= ∑∞ (−1) .
				n=1 n 2	n=1	n 2	n=1	n
По признаку Лейбница этот ряд сходится (см. задачу 9), следо-
вательно, и степенной ряд в точке x2							= −2	сходится. Итак, обла-

стью сходимости нашего степенного ряда является числовой промежуток [–2; 2).

Замечание. Отметим, что степенной ряд вида

∞	(x − x0 )n
∑ an		(9.13)

n=0

по степеням двучлена x − x0 (при х0 = 0 ряд (8.13) принимает вид (8.10)) сходится при x − x0 < R , и его интервал сходимости имеет вид

x0 − R < x < x0 + R .

(9.14)

Радиус сходимости ряда (9.13) также вычисляется по формулам

(9.11) и (9.12).

Сходящиеся степенные ряды обладают некоторыми замечательными свойствами. В частности, внутри интервала сходимости их можно почленно интегрировать и дифференцировать, при этом полученные степенные ряды будут иметь тот же радиус сходимости, что и исходный степенной ряд.

110