Текст

∑ l

M 2

dx

ωmin2

=

n ∫

EI

0

,

(10.63)

l

∑ ∫ m(x) y2 (x)dx + ∑mi yi2

n1

0

n2

или

l

′′

2

=

∑ ∫ EI[ y (x)] dx

ωmin2

n

0

,

(10.64)

l

∑

∫ m(x) y2 (x)dx + ∑mi yi2

n1

0

n2

10.4.2. Способ приведенных масс

Рассмотрим упругую балку с распределенной и массой m(x) (рис. 10.33, а), для которой задана форма колебаний y(x), и заменим ее сосре-

доточенной в точке С массой mпр (рис. 10.33, б). Чтобы оба указанных состояния были равнозначны, их кинетические должны быть равны.

Форму колебаний зададим в виде (10. 58). Тогда кинетическая энер-

гия системы с распределенной массой будет равна

l					l
&2	(x, t)dx = 0, 5ω	2	cos	2	ωt ∫ m(x) y	2	(x)dx.	(10.65)
V = ∫ 0, 5m(x) y
0					0

При той же форме колебаний движение приведенной массой описы-

вается выражениями	у(t) = yC sin ωt;				&	(t) = yC	ω cosωt,	и кинетиче-
			vC = yC
ская энергия в данном случае будет
V	= 0,5m	v2 = 0,5m		y2	ωcos ωt.			(10.66)
пр	пр	C	пр	C

Приравнивая выражения (10.65) и (10.66) и обобщая на любое коли-

чество распределенных масс, получим:

		l
m =	∑ ∫ m(x) y2 (x)dx
	n1	0	.	(10.67)
		y2
пр
		C

431

При наличии в расчетной схеме сосредоточенных масс формула

(10.67) примет вид:

	l
m =	∑ ∫ m(x) y2 (x)dx + ∑mi yi2
	n1 0	n2	.	(10.68)
		y2
пр
		C

При использовании (10.67) и (10.68) задача по определению наи-

меньшей частоты свободных колебаний решается как для системы с од-

ной степенью свободы.

Приближенность обоих способов заключается в том, что форма ко-

лебаний упругой системы, как правило, неизвестна. Поэтому она задает-

ся приближенно в виде уравнений изогнутой оси, записанных в виде ал-

гебраических или тригонометрических полиномов или рядов, отвечаю-

щих граничным условиям задачи. Также форму колебаний можно зада-

вать в виде уравнения изогнутой оси, полученного от статического дей-

ствия приложенных нагрузок.

Пример 10.13. Требуется определить низшую частоту свободных ко-

лебаний балки с равномерно распределенной массой m (рис. 10.34, а),

способами приведенных масс и энергетическим.

Форму колебаний принять в виде y(x) = 1− cos 2π x , удовлетворяю- l

щим граничным условиям балки.

Решение.

Способ приведенных масс.

1. Расчетная схема является симметричной. Поэтому приведенную массу mпр расположим в середине пролета (рис. 10.34, б). Расчетная формула (10.67) примет вид:

l

m∫ y2 (x)dx

m =	0		.	(а)
		y2
пр
		C

432

2. Перемещение yC сосредоточенной массы согласно принятой форме

	колебаний yC = y(x)		x=0,5l	= (1- cos	2π	x)			= 2 , а интеграл числителя
					l			x=0,5l
	l			l			2π
	расчетной формулы ∫ y2 (x)dx = ∫ (1− cos								x)2dx = 1, 5l.
	0			0				l

3.Величина приведенной массы по (а) mпр = m·1,5l/22= 0,375ml.

4.Определим возможное перемещение δ11 по направлению колебаний приведенной массы. Для этого построим эпюру M1 от единичной силы в

заданной расчетной схеме (рис. 10.34, в) и вспомогательную эпюру M10

(рис. 10.34, г) в статически определимой основной системе.

Тогда δ11 =

1

l

M1M10dx =

l3

.

EI

∫

192EI

0

5. Частота свободных колебаний

ωmin =

1

=

192EI

= 22, 627

EI

c-1.

δ

11

m

l3

×0,375ml

ml4

пр

Точное

значение

для данной задачи 22,373

EI

c-1.

Погрешность

ml4

1,13%.

Энергетический способ.

1. Вторая производная от уравнения принятой формы колебаний

y′′(x) =	4π 2	cos	2π	x.
	l 2
			l

2. Расчетная формула (10.64) для данной задачи примет вид:

l

EI ∫[ y′′(x)]2 dx

ωmin2 =	0	.	(б)
	l

m∫ y2 (x)dx

0

3. Значения интегралов, входящих в данную формулу:

l	16π4 l			2π		8π4		l	l	2π
∫[ y¢¢(x)]2 dx =			∫ cos2		xdx =			; ∫ y2 (x)dx = ∫ (1− cos			x)2dx = 1, 5l.
	l	4		l		l	3
0			0					0	0	l

433

4. Подставив в (б), получим:

	ω2	=	8π4 × EI	=	16π4 EI	, откуда ωmin = 22, 770	EI	c-1.
							ml4
			l3m ×1, 5l		3ml 4
	min

Погрешность по отношению к точному решению составляет 1,77%.

Пример 10.14. Требуется определить низшую частоту свободных ко-

лебаний балки с равномерно распределенной массой m (см. рис. 10.34,

а), способами приведенных масс и энергетическим.

Форму колебаний принять в виде деформированного состояния бал-

ки при действии равномерно распределенной нагрузки q = mg (рис. 10.35, а).

Решение. Для получения уравнения изогнутой оси балки по рис. 10.35, б запишем выражение изгибающего момента для произвольного

сечения балки M(x) = 0,5qlx – 0,5 qx2 –		ql2/12 и подставим его в диффе-
ренциальное	уравнение	изогнутой		оси:
y¢¢(x) = -M (x) / EI = q(6x2 - 6xl + l2 ) /12EI.
Проинтегрировав полученное выражение, получим:
y¢(x) = q(2x3 - 3x2l + xl 2 + D ) /12EI ; y(x) = q(0,5x4 - x3l + 0, 5x2l 2			+ D x + D ) /12EI.
	1		1	2

Произвольные постоянные D1 и D2 определим из граничных условий:

при x = 0 y′ =0, откуда D1 = 0; при x = 0 у = 0, откуда D2 = 0.

Окончательно получим y(x) = a(x4 – 2 x3l + x2l2), где a = q/24EI.

Способ приведенных масс.

1. Приведенную массу mпр расположим в середине пролета балки (см.

рис. 10.34, б). Расчетную формулу (а) см. пример 10.13.

2. Перемещение yC сосредоточенной массы согласно принятой форме

колебаний yC = y(x)		= a (x4	− 2x3l + x2l2 )	= al 4 /16 , а интеграл чис-
		x=0,5l		x=0,5l
		l	l

лителя расчетной формулы ∫ y2 (x)dx = a2 ∫ (x4 − 2x3l + x2l 2 )2dx = a2l9 / 630.

0 0

3. Величина приведенной массы по (а) mпр = 128ml/315.

434

4.Возможное перемещение по направлению колебаний приведенной массы δ11 = l3/192EI (см. пример 10.13).

5.Частота свободных колебаний

ωmin =

1

=

192EI ×315

= 21, 737

EI

c

-1

.

δ

11

m

l3 ×128ml

ml4

пр

Энергетический способ.

1. Вторая производная от уравнения принятой формы колебаний

y¢¢(x) = 2a(6x2 - 6xl + l 2 ). Расчетную формулу (б) см. в примере 10.13.

2. Значения интегралов, входящих в данную формулу:

l		l				l
∫[ y¢¢(x)]2 dx = 4a2 ∫ (6x2 - 6xl + l 2 )2dx = 0,8a2l5 ;						∫ y2 (x)dx = a2l9 / 630.
0	0					0
3. Подставив в (б), получим:
ω2	=	0,8a2l5 × EI ×630	=	504EI	, откуда ωmin = 22, 450			EI		c-1.
								ml 4
		m × a2l9
min				ml4

Пример 10.15. Требуется определить низшую частоту свободных ко-

лебаний свободной симметричной рамы с равномерно распределенны-

ми массами (рис. 10.36, а), способами приведенных масс и энергетиче-

ским.

Решение. Заданная схема свободной рамы является симметричной,

поэтому наиболее опасными для нее являются кососимметричные фор-

мы колебаний. Такую форму деформации можно получить, приложив в уровне ригеля рамы любую горизонтальную силу F (рис. 10.36, б). Ис-

пользуя свойства симметрии для решения задачи рассмотрим половину ее схемы (рис. 10.36, в), а для нахождения формы колебаний приложим силу F = 1 (рис. 10.36, г).

Для определения уравнений, описывающих изгиб стержней рамы,

определим горизонтальное перемещение узла C. На основании эпюры

M1 (рис. 10.36, д). получим:

435

l	M 2		88
yC = ∑ ∫	1	dx =		.
	EI		3EI
0

На основании рис. 10.36, е рассмотрим по отдельности стойку и ри-

гель рамы.

Стойка. Выражение изгибающего момента для произвольного сече-

ния M1(x) = x подставим его в дифференциальное уравнение изогнутой

оси:	′′
	y1 (x) = −M1 (x) / EI = −x / EI.
Проинтегрировав полученное выражение, получим:
y′(x) = (−		x	2	+ D ) / EI ; y (x) = (−		x3		+ D x + D ) / EI.
1	2			1	1	6		1	2
Произвольные постоянные D1 и D2 определим из граничных условий:
при x = 0				у = 0, откуда D2 = 0;				при x = 0 у = уС, откуда D1 = 14/3.
Окончательно получим y(x) = 3 a(28x –									x3), где a =1/18EI.

Ригель. Выражение изгибающего момента для произвольного сечения

M2(x) =4 – 2 x/3 подставим его в дифференциальное уравнение изогнутой

оси:	′′			2x	− 4) / 4EI.
	y2 (x) = −M 2 (x) / 4EI = (			3
Проинтегрировав полученное выражение, получим:
y′	(x) = (	x2	− 4x + D ) / 4EI ; y			(x) = (	x3	− 2x2 + D x + D ).
2	3		3		2	9		3	4

Произвольные постоянные D3 и D4 определим из граничных условий:

при x = 0 у = 0, откуда D4 = 0; при x = 6 у = 0, откуда D3 = 8.

Окончательно получим y(x) = 0,5 a(x3 –18 x2 + 72x), где a =1/18EI.

Способ приведенных масс.

1. Приведенную массу mпр расположим в узле С рамы (рис. 10.34, ж).

Расчетная формула (10.68) примет вид:

		4	6
	=	m∫ y12 (x)dx + 2m∫ y22 (x)dx + mриг yC2
m		0	0		,	(в)
			y	2
пр
			C
где mриг=2m·6=12m –	общая масса ригеля, которая в горизонтальном на-

правлении совершает колебания как точечная масса; yC =88/3EI = 528a.

436

2. Вычислим интегралы, входящие в числитель расчетной формулы:

4 4

∫ y12 (x)dx = 9a2 ∫ (28x − x3 )2dx = 939 686, 4a2 ;

0	0
6	6

∫ y22 (x)dx = 0, 25a2 ∫ (x3 −18x2 + 72x)2dx = 775 738,8a2 ;

0 0

3. Подставив все известные величины в (в), получим:

mпр = m(939 686,4 +2·775 738,8 + 12·5282)a2/5282a2 =20,936m.

4. Возможное перемещение по направлению колебаний приведенной массы δ11 = yC =88/3EI .

5. Частота свободных колебаний

ωmin =	1	=	3EI	= 0, 0404	EI	c-1.
	δ11mпр		88 × 20,936m
					m

Энергетический способ.

1. Расчетная формула (10.63) для данной задачи примет вид:

			M 2
		∑ EI		dx
			1
mпр =
					.	(г)
	4	6
	m∫ y12 (x)dx + 2m∫ y22 (x)dx + mриг yC2
0		0

2. Значения интегралов, входящих в данную формулу:

4	6
∫ y12 (x)dx = 939 686, 4a2 ;	∫ y22 (x)dx = 775 738,8a2 ;
0	0

3.Подставив в (г), получим:

2

528a

0, 90464

×10−4

ω

min

=

=

=

m ×939 686,4a2 +m ×775 738,8a2 + 12m ×5282 a2

ma

16, 28352EI ×10−4

=

,

откуда ω = 0, 0403

EI

c-1.

m

m

437

10.5.Понятие о расчете сооружений на сейсмическое воздействие

10.5.1. Основные параметры землетрясений

При землетрясениях происходи беспорядочные смещения и колеба-

ния земной коры, непосредственно передающиеся фундаментам соору-

жений, а через него и самому сооружению, вызывая в нем добавочные нагрузки в виде инерционных сил.

Для характеристики землетрясений используются следующие тер-

мины:

–гипоцентр – собственно очаг землетрясения;

–эпицентр – проекция гипоцентра на поверхность земли;

–глубина очага H – расстояние от эпицентра до гипоцентра;

–эпицентральное расстояние – расстояние по поверхности земли от эпицентра до рассматриваемого объекта;

–гипоцентральное расстояние – расстояние от гипоцентра до объек-

та;

– магнитуда землетрясения – величина полной энергии сейсмиче-

ских волн, характеризующая мощность очага;

– балльность землетрясения – характеризует силу землетрясения на поверхности земли.

Магнитуда землетрясения приближенно может быть определена по формуле:

M з = lg A +1,32 lg L,

(10.68)

где А – максимальная амплитуда колебаний грунта в районе объекта при землетрясении (мк); L – эпицентральное расстояние (км).

Приближенная оценка балльности землетрясения производится по формуле:

B = 1, 5M з − 3, 5 lg H + 3.

(10.69)

438

Например, в районе объекта зафиксировано землетрясение при А = 100 мк, L = 200 км, H = 20 км. Тогда, Mз = 5, B = 6.

В настоящее время в мире существует несколько сейсмических шкал балльности. В России принята 12-тибалльная шкала Института физики Земли, которая позволяет объединить все землетрясения в определенные группы по характерным для них признакам:

1 балл. Землетрясение не ощущается, колебания почвы регистриру-

ются только приборами.

2балла. Ощущается немногими людьми в верхних этажах зданий.

3балла. Ощущается людьми внутри зданий, причем ощущение та-

кое же, как и от проходящего рядом со зданием транспорта. Наблюдает-

ся раскачивание висячих ламп.

4 балла. Наблюдается легкое раскачивание висячих предметов, коле-

бание поверхности жидкости в сосудах, «позванивание» посуды.

5 баллов. Ощущается практически всеми. Дребезжание оконных сте-

кол, опрокидывание неустойчивых предметов, возможно появление трещин в штукатурном слое.

6 баллов. В зданиях перемещается тяжелая мебель, иногда падает от-

коловшаяся штукатурка, повреждается ограждения на крышах, возмож-

но падение печных труб и балконов. В кирпичных зданиях – появление трещин в кладке стен. В сырых грунтах – появление трещин шириной до

1 см. В горных районах – отдельные случаи оползней и осыпания грун-

тов.

7 баллов. Значительные повреждения кирпичных и каменных зданий.

В деревянных зданиях – легкие повреждения. Повреждаются стыки тру-

бопроводов. Наблюдаются тонкие трещины в сухих грунтах и большое количество трещин в сырых грунтах. В горных районах – оползни и об-

валы. В водоемах мутнее вода.

8 баллов. Люди с трудом удерживаются на ногах. Выпадение запол-

нения стен в каркасных зданиях, частичные обвалы в кирпичных здани-

439

ях, сдвигаются городские памятники. Трещины в грунтах достигают не-

скольких сантиметров. В горных районах – большие оползни и обвалы.

Вода в водоемах мутная, значительно меняется уровень воды в колод-

цах.

9 баллов. Многие здания разрушаются или получают значительные разрушения, частично повреждаются насыпи дорог, разрушаются под-

земные трубопроводы, трещины в грунтах достигают 10 см, возможны небольшие грязевые извержения. В горных районах – многочисленные обвалы.

10 баллов. Разрушения большинства каменных зданий до фундамен-

тов, разрушение некоторых деревянных зданий, значительные повреж-

дения насыпей дорог, искривление рельсов железнодорожных путей,

трещины в грунтах достигаю 1 м, ломаются стволы старых деревьев. В

горных районах – овалы скал.

11 баллов. Разрушение мостов и дорожных насыпей на больших про-

тяжениях, сильные искривления железнодорожных путей. Образуются провалы и многочисленные трещины в земле, наблюдаются вертикаль-

ные перемещения пластов грунта, из трещин выступают водонасыщен-

ные рыхлые отложения.

12 баллов. Общее разрушение: предметы подбрасываются вверх,

растительность и животные погибают в многочисленных обвалах и осы-

пях, наблюдается в больших масштабах изменение рельефа местности и значительные вертикальные и горизонтальные разрывы и сдвиги грунта,

изменения режимов рек.

Пользование этой шкалой позволяет оперативно, хотя и с некоторой погрешностью, определить интенсивность происходящего землетрясе-

ния. Более точные сведения получают со сейсмологических станций,

получающих сведения о землетрясении со специальных приборов: сейс-

мографов, которые регистрируют смещения грунтов; велосиграфов –

440