Рекомендации к решению задач линейного программирования с использованием приложения Excel

Пример 5.1. Минимизировать целевую функцию

(5.1)

при следующих ограничениях:

(5.2)

Порядок решения

1. Подготовим таблицу как показано на рис.5.1. Ячейки, содержащие целевую функцию (В11) и проектные параметры х₁, х₂ (изменяемые ячейки) В8:С8 тонируем. Для контроля счета в ячейки В8:С8 введем единицы. Значения проектных параметров х₁=1 и х₂=1 можно рассматривать как нулевое приближение решения задачи.

2. В ячейки В3:D5 введем коэффициенты системы ограничений (5.2).

3. В ячейку E3 введем формулу для вычисления левой части первого ограничения, т.е. E3=СУММПРОИЗВ($B$8:$C$8;B3:C3), и после ввода скопируем ее вниз до конца таблицы. Будет не лишним проверить результаты счета для заданных значений х₁=1 и х₂=1

Рис.5.1.

4. В ячейке В11 запишем формулу для целевой функции (5.1):

В11=1-В8-С8.

5. Выделим ячейку В11. Выберем команду меню Сервис\Поиск решения и в появившемся окне сделаем соответствующие установки, как показано на рис.5.2. Ограничения устанавливаются с помощью кнопки Добавить, которая вызывает окно для ввода этих ограничений (рис.5.2).

6. Щелкнем на кнопке Выполнить. Результат решения будет иметь вид, как показано на рис.5.1.

7. Результаты можно сохранить или отказаться (Восстановить исходные значения). Можно получить один из видов отчетов (Результаты, Устойчивость, Пределы). Отчет можно оформить на отдельном листе Книги с соответствующим именем.

Таким образом, функция цели (5.1) при ограничениях (5.2) достигает своего минимума z_min=-4 при x₁=2, x₂=3.

Рис.5.2.

Лабораторная работа №6 Тема. Численные методы оптимизации

Задание. Составить математическую модель задачи линейного программирования (ЛП): определить проектные параметры, записать целевую функцию и ограничения задачи, приведенной в приложении 6. Решить задачу на ЭВМ.

Лабораторная работа №7 Тема. Планирование и обработки результатов многофакторного эксперимента

Для построения математической модели исследуемого процесса необходимо спланировать и провести эксперимент так, чтобы при минимальных затратах, изменяя значения факторов по специальным планам, получить достаточно информации для определения коэффициентов уравнения регрессии (УР) с требуемой надежностью.

Задание. На основании заданных вариантом результатов проведенного эксперимента построить уравнение регрессии (УР) второго порядка.

При решении этой задачи устанавливается следующая последовательность действий.

1. Анализ результатов спланированного и проведенного эксперимента, заданного вариантом (параметр оптимизации, факторы, границы варьирования факторов, вид УР, план эксперимента).

2. Проверка воспроизводимости эксперимента (критерий Кохрена).

3. Определение коэффициентов УР.

4. Оценка значимости коэффициентов УР (критерий Стьюдента).

5. Проверка адекватности УР (критерий Фишера).

6. Запись УР в натуральных значениях факторов.

Построение уравнения регрессии с использованием электронных таблиц Microsoft Excel

Пример. Исследуется процесс ремонта деталей строительных машин электролитическим наращиванием металла. В качестве параметра оптимизации рассматривается твердость покрытия. В качестве факторов принимается: z₁ – плотность тока (количество ампер на квадратный дециметр), z₂ - температура электролита. Построить математическую модель (ММ) исследуемого процесса.

Основываясь на априорной информации (известно, что линейная модель не является адекватной) исследователь принял решение описывать исследуемый процесс уравнением регрессии второго порядка.

(7.1)

В основу планирования положено ортогональное планирование на трех уровнях по каждому из факторов. Полный факторный эксперимент (ПФЭ). Результаты испытаний при двух параллельных опытах в натуральных и кодированных значениях факторов приведены на рис.7.1.

Переход от натуральных значений факторов z_i, к кодированным x_i.и обратно осуществляется по формулам:

, (7.2)

где - интервала варьирования фактора

Рис.7.1.

Проверка воспроизводимости эксперимента (критерий Кохрена) проводится по следующей схеме. Последовательно вычисляется (рис.7.1):

1). Среднее значение функции отклика в каждой строке плана.

(7.3)

2). Построчная дисперсия функции отклика в каждой строке плана.

. (7.4)

3). Общая дисперсия эксперимента.

(7.5)

4). Опытное значение критерия Кохрена, равное отношению максимальной построчной дисперсии к величине общей дисперсии эксперимента.

(7.6)

5). Используя таблицу 7.3 приложения 7, находят теоретическое значение критерия Кохрена

,

где - уровень значимости,- число свободы,N=9 – число точек плана.

6). Сравнение опытного и теоретического значений критерия Кохрена. подтверждает, что гипотеза о равноточности измерений функции отклика не отвергается.