22. Свободные затухающие колебания. Характеристики затухания: коэффициент затухания, время релаксации, декремент затухания, добротность колебательной системы.

Затуханием колебаний называется постепенное ослабление колебаний с течением времени, обусловленное потерей энергии колебательной системой. Закон затухания колебаний зависит от свойств колебательной системы.

Система называется линейной, если параметры, характеризующие существенные в рассматриваемом процессе физические свойства системы, не изменяются в ходе процесса. Свободные затухающие колебания линейной системы описываются уравнением: _(41)____________

где (41)___ - коэффициент затухания,

- (41)___собственная частота системы, т.е. частота, с которой совершались бы колебания в отсутствии затухания. Выражение коэффициента затухания через параметры системы зависит от вида колебательной системы.

Для решения уравнения (42)_____________

производится подстановка (42)___________ .Эта подстановка приводит к характеристическому уравнению(43)_________

которое имеет два корня(44)_____________

При не слишком большом затухании (при(44)________ ) подкоренное выражение будет отрицательным. Если его представить в виде где - вещественная положительная величина, называемая циклической частотой затухающих колебаний и равная то корни уравнения запишутся в виде: (45)____________

Общим решением уравнения будет функция: (46)______________

которую можно представить в виде: _(47)_____________

Здесь(47) _____ и (47)_____ - произвольные постоянные.

движение системы можно условно рассматривать как гармоническое колебание частоты w с амплитудой, изменяющейся по закону(48)_________

Период затухающих колебаний определяется формулой: _(49)___________

При незначительном затухании период колебаний практически равен (50)___________

Такое отношение амплитуд называется декрементом затухания, а его натуральный логарифм - логарифмическим декрементом затухания: (51)______________

Логарифмический декремент затухания обратен по величине числу колебаний, совершаемых за то время, за которое амплитуда уменьшается в «e» раз.

Помимо рассмотренных величин для характеристики колебательной системы употребляется величинаназываемая добротностью колебательной системы. Добротность пропорциональна числу колебаний, совершаемых системой за то время, за которое амплитуда колебаний уменьшается в «e» раз.

время релаксации— время, за которое амплитуда колебаний уменьшится в e раз.

23 . .Вынужденные колебания Резонанс

Колебания происходящие под действием внешней периодической силы называются вынужденными колебаниями. Внешняя периодическая сила называемая вынуждающей, сообщает колебательной системе дополнительную энергию которая идет на восполнение энергетических потерь происходящих из за трения. Если вынуждающая сила изменяется во времени по закону синуса или косинуса. То вынужденные колебания будут гармоническими незатухающими

(В отличие от свободных колебаний когда система получает энергию лишь один раз при

Выведении системы из состояния равновесия) в случае вынужденных колебаний система

. поглощает эту энергию от источника внешней периодической силы непрерывно Эта энергия , восполняет потери расходуемые на преодоление трения и потому полная энергия no- колебательной системы прежнему остается неизменной

Частота вынужденных колебаний равна частоте вынуждающей силы. , В случае когда частота вынуждающей силы υ совпадает с собственной частотой колебательной системы 0υ,

Происходит резкое возрастание амплитуды вынужденных колебаний - резонанс. Резонанс возникает из за того что при υ = 0 υ , внешняя сила действуя в такт со свободными колебаниями все время сонаправлена со скоростью колеблющегося тела и совершает положительную работу энергия колеблющегося тела увеличивается и амплитуда его колебаний.

Становится большой График зависимости амплитуды вынужденных колебаний А от частоты вынуждающей силы υ , :представлен на рисунке. Этот график называется резонансной кривой.

Явление резонанса играет большую роль в ряде природных научных и производственных процессов. Например, необходимо учитывать явление резонанса при проектировании мостов, зданий и других сооружений испытывающих вибрацию под нагрузкой ,в противном случае при определенных условиях эти сооружения могут быть разрушены.