Конспект лекций по общей физики (1-4 семестр)

310

Подставив эту функцию в уравнение (39.5), получим три уравнения, имеющих аналитические решения, которые достаточно сложны75.

75 Заметим, что в состоянии ψ1 азимутальное квантовое число l = 0 (см. РАЗДЕЛ 5.6.4), т. е. электрон не вращается.

311

Лекция 40

5.6.3. Энергетический спектр атома водорода

При W > 0 (электрон свободный) энергия электрона может принимать любые значения.

При W < 0 (когда электрон входит в состав атома) энергия электрона квантована:

W	m		Ze	2	2	1	, n 1,2,
n	2 2		4πε0			n2

(n ≠ 0!), n – главное квантовое число.

Энергетический спектр атома водорода дискретный. Дискретные значения энергии электрона показаны на графике потенциальной энергии (РИС. 40.1).

U

0

W3

W2

W1

Рис. 40.1

Основное состояние: n = 1.

r n = 3 n = 2

n = 1

При переходе системы из одного стационарного состояния в другое (при n1 > n2) должен выполняться закон сохранения энергии:

W	W	ω	,
n	n
2	1

где ħω – энергия фотона, излучаемого при переходе электрона из состояния с n1 в состояние с n2;

ω	m		Ze	2	2		1		1
										.
	2						2		2
	2		4πε0			n1			n2

При переходе на более высокий энергетический уровень (при n2 > n1) происходит поглощение энергии.

Постоянная Ридберга

R*	m		e	2	2
						,
	2 3
			4πε0

R* = 2,07∙1016 с–1.

n Название серии

n1 = 1 Серия Лаймана

312

								Таблица 40.1
Диапазон							Энергетическая диаграмма
						0			n → ∞
									n = 4
									n = 3
		УФ							n = 2
ω R	*		1		1
			2		2
			1		n
					2
n 2,3,4,
2

n1 = 2 Серия Бальмера

0

Видимый свет

ω R	*		1		1		,
			2		2
			2		n
					2
n 3,4,5,
2

n = 1

n → ∞ n = 4

n = 3 n = 2

n1 = 3 Серия Пашена

ωR* n2

0

ИК

	1		1		,
	2		2
	3		n
			2

4,5,6,

n = 1

n → ∞

n = 4 n = 3

n = 2

n = 1

При Z = 1

Так как ω = 2πν,

где R	R	*	3,29					1
						15	с
	2π			10
Длина волны λ					c	;
					ν

R	R	7 1	.
	c	1,10 10 м

313

ω R	*		1		1
						.
			2		2
			n		n
			1		2

	1		1
ν R	2		2		,
	n		n
	1		2

.

	1 ν R		1		1			1		1
							R					,
			2		2			2		2
	λ c c	n1			n2		n1			n2

Линии излучения (поглощения) атомов объединяются в серии. Три первые спектральные серии атомарного водорода представлены в ТАБЛИЦЕ 40.1.

5.6.4. Момент импульса электрона в атоме

Момент импульса любой квантовомеханической системы

L

l l 1

,

l 0,1,

,n 1

(см. РАЗДЕЛ 5.4.4), l – азимутальное квантовое число.

При переходе из одного состояния в другое должен выполняться закон сохранения момента импульса. Так как модуль момента импульса фотона Lф = ħ, возможны лишь переходы, при которых

l 1

– правило отбора.

Проекция момента импульса на избранное направление

Lz m	, m l, l 1 ,	, 1,0,1,	,l 1,l

,

m – магнитное квантовое число.

5.6.5. Состояние электрона в атоме

Каждому главному квантовому числу n соответствует n2 состояний с одинаковы-

ми энергиями Wn. Число n2 – степень вырождения.

ПРИМЕР

При n = 2 степень вырождения n2 = 4. Говорят, что уровень n = 2 четырехкратно вырожден.

При внешнем воздействии на атом энергия Wn (для состояний с разными l и m) может ненамного измениться, тогда вырождение снимается (например, при эффекте Зеемана). Таким образом, состояние электрона в атоме определяется тремя (на самом деле ЧЕТЫРЬМЯ) квантовыми числами: n, l, m.

314

Классификация состояний электрона в атоме

(Эта классификация относится не только к атому водорода, но и к многоэлектронным атомам.)

l = 0	–	s-состояние
l = 1	–	p-состояние
l = 2	–	d-состояние
l = 3	–	f-состояние и т. д.

Запись 2s означает, что n = 2, l = 0 и т. п.

В ТАБЛИЦЕ 40.2 рассмотрены возможные состояния электрона на уровнях 1 и 2.

							Таблица 40.2
	Энергия	Квантовые числа			Волновая	Обозначение состояния	Степень
		n	l	m	функция		вырождения
	W1	1	0	0	ψ100	1s	1
		2	0	0	ψ200	2s
	W2	2	1	+1	ψ21+1	2p	4
		2	1	0	ψ210	2p
		2	1	–1	ψ21–1	2p

Переходы между состояниями

При переходах из одного состояния в другое должны выполняться законы сохранения энергии и момента импульса:

	ω W W				,
			2	1
	l	l	1.
	2	1

Таким образом, спектральная серия Лаймана может быть получена при переходах

2p
3p	1s
4p

;

серия Бальмера – при переходах

3p
4p	2s
5p

,

3s 4s 5s

2p

,

3d
4d	2p
5d

.

Эти переходы изображены на энергетической диаграмме РИС. 40.2.

На РИС. 40.2 видно, что состояние 2s оказывается метастабильным: в нём электрон задерживается значительно дольше, чем в других возбуждённых состояниях.

			315
W	l = 0 (s)	l = 1 (p)	l = 2 (d)	l = 3 (f)	l = 4 (g)
0

n = 5 n = 4

n = 3

серия Бальмера

n = 2

серия Лаймана

n = 1

Рис. 40.2

5.7. Многоэлектронные атомы. Принцип Паули

5.7.1. Спин

Из уравнения Шрёдингера следует, что состояние электрона описывается тремя квантовыми числами: n, l, m. Но это уравнение – нерелятивистское. Учёт релятивистских эффектов даёт ещё одно квантовое число: спин – собственный момент импульса.

Модуль собственного момента импульса частицы

Ls s s 1 .

Для электрона

	s	1
		2

	Ls	3
		2

.

Проекция собственного момента импульса частицы на физически выделенное направление

L	m	;
sz	s

для электрона

m	1
s	2

.

Итак, состояние электрона описывается четырьмя квантовыми числами: n, l, m, ms.

Полный момент импульса частицы

316

L	j

j j 1

;

j

l s,l

s

.

5.7.2. Принцип неразличимости. Принцип Паули

Принцип неразличимости тождественных частиц: тождественные частицы неразличимы.

Пусть имеется система из двух тождественных частиц. Рассмотрим волновую функцию ψ(ξ1, ξ2), где ξ1 и ξ2 – совокупности координат соответственно частиц 1 и 2. Так как частицы неразличимы, перестановка ξ1 и ξ2 не должна изменять свойств

системы, т. е. ψ

2

должен быть одинаковым:

ψ ξ

1

,ξ

2

2 ψ

ξ

2

,ξ

1

2 .

При этом возможно два случая (ТАБЛ. 40.3).

Таблица 40.3

Свойство волновой функции

ψ ξ

1

,ξ

2

ψ ξ

2

,ξ

1

ψ ξ

1

,ξ

2

ψ ξ

2

,ξ

1

Спин

целый

полуцелый

Класс частиц

(с точки зрения квантовой

бозоны

фермионы

статистики)

Статистика

Бозе-Эйнштейна

Ферми-Дирака

Число частиц в одном состоянии

не ограничено

≤ 1

Примеры частиц

фотон,

ядра

с

целым

электрон,

протон,

спином

нейтрон, ядра с полу-

целым спином

Принцип Паули: в одной квантовомеханической системе не может быть двух частиц с полуцелым спином, обладающих одинаковой совокупностью квантовых чисел.

Фермионы подчиняются принципу Паули, а бозоны – нет.

5.7.3. Многоэлектронные атомы

В состоянии с данным квантовым числом n в каждом атоме могут находиться не более 2n2 электронов. Совокупность электронов, имеющих одинаковые значения n, образует оболочку; одинаковые n и l – подоболочку.

Конфигурация оболочек и подоболочек на первых трёх энергетических уровнях приведена в ТАБЛ. 40.4.

ПРИМЕР

Построение электронной оболочки атома (в основном состоянии)

Водород	1H	1s1	Бериллий	4Be	1s22s2
Гелий	2He	1s2	Бор	5B	1s22s22p1
Литий	3Li	1s22s1	Углерод	6C	1s22s22p2
и т. д.
Калий	19K	1s22s22p63s23p64s1

317

					Таблица 40.4
Спектроскопическое
обозначение	n	l	m	s		Подоболочка
оболочки
K	1	0	0	↑↓		1s
		0	0	↑↓		2s
L	2		–1	↑↓
		1	0	↑↓		2p
			1	↑↓
		0	0	↑↓		3s
			–1	↑↓
		1	0	↑↓		3p
			1	↑↓
M	3		–2	↑↓
			–1	↑↓
		2	0	↑↓		3d
			1	↑↓
			2	↑↓

5.8. Спонтанное и вынужденное излучение. Лазеры

5.8.1. Время жизни состояния

Стационарным (т. е. сколь угодно долго живущим) является только основное состояние атома (это релятивистский эффект).

Время жизни возбуждённого состояния – время, за которое число атомов, находящихся в данном возбуждённом состоянии, уменьшается в e раз.

Для возбуждённого состояния время жизни	τ ~ 10–1 с;
для возбуждённого метастабильного состояния	τ ~ 10–1 с;
для невозбуждённого (основного) состояния	τ → ∞.

318
Лекция 41
5.8.2. Спонтанное и вынужденное излучение
Излучение
спонтанное	вынужденное
(самопроизвольное)	(индуцированное)

Спонтанные переходы всегда происходят сверху вниз (т. е. энергия атома уменьшается и излучается фотон).

Коэффициент спонтанного излучения Amn – вероятность спонтанного перехода атома из состояния m в состояние n (m > n).

Если в состоянии m находится Nm атомов, то за время dt в состояние n перейдёт

	dNm AmnNmdt Nm N0me	A t	,
		mn

где N0m – число атомов в состоянии m в начальный момент времени (t = 0). При

N	e	1	t = τ – время жизни состояния m, Amnt 1
m				,
N
0m

A		1	.
mn		τ

Коэффициент вынужденного излучения Bmn – вероятность вынужденного пе-

рехода атома из состояния m в состояние n; коэффициент вынужденного поглощения Bnm – вероятность вынужденного перехода атома из состояния n в состояние m;

B	B	.
mn	nm

Схемы вынужденных переходов представлены на РИС. 41.1А, Б.

Amn, Bmn, Bnm – коэффициенты Эйнштейна.

	а	m		а	m			б
			Bnm			Bmn
		n			n
		Вынужденное излучение			Вынужденное поглощение
			а			б

Рис. 41.1

На РИС. 41.1Б волна а когерентна волне б.

5.8.3. Двухуровневая система

Пусть пучок света проходит через вещество, атомы которого могут находиться в двух состояниях: m и n. Падающий свет будет вызывать два процесса: переходы сверху вниз и снизу вверх. Первый процесс ведёт к усилению света, второй – к ослаблению.

В ТАБЛИЦЕ 41.1 представлены две возможные ситуации заполнения уровней m и n: обычная и инверсная заселённость.

319

								Таблица 41.1
	N N						N	N
	m	n					m	n
Обычная населённость						Инверсная населённость
					m				m
					n				n
Число актов поглощения больше числа						Число актов излучения больше числа
актов излучения.						актов излучения.
Свет поглощается.						Свет усиливается.
Это естественная ситуация. Заселён-						Это искусственная ситуация (T < 0).
ность уровней по распределению Боль-
цмана
			hν
	N N0e		kT	.

5.8.4. Оптический квантовый генератор (лазер)

1. Рубиновый лазер

Рабочее тело – корунд (Al2O3) с примесью 0,03-0,05% хрома (Cr2O3) – рубин. На торцы рубинового стержня нанесено зеркальное напыление, они образуют параллельные зеркала, пропускающие 8% света (РИС. 41.2). Пространство между зеркалами играет роль резонатора. Источник энергии – импульсная ксеноновая лампа (с её помощью происходит оптическая накачка рубина).

						Полоса уровней
				3		τ ~ 10–8 с
	зеркала							A32
						A31			Метастабильный
							2		уровень
			зелёный						τ ~ 10 c
ксеноновая			λ13	= 5600 Å			A21		B21
	лампа								красный
						B13
									λ21 = 6943 Å
				1
	Рис. 41.2						Рис. 41.3

Схема энергетических уровней рубина показана на РИС. 41.3.

При накачке ионы Cr3+ переходят из основного состояния 1 в возбуждённое состояние 3. Время жизни этого состояния мало. Так как A32 > A31, большая часть электронов переходит в состояние 2 (время жизни около 10–1 с). Создаётся инверсная заселённость уровней 2 и 1. Электрон может перейти с уровня 2 на уровень 1 (сверху вниз, A21) с излучением фотона. Этот фотон может вызвать вынужденное излучение (B21). Фотоны, двигаясь между зеркальными торцами, создают эффект лавины.