Конспект лекций по общей физики (1-4 семестр)

200

Лекция 25

3.7.3. Теорема Остроградского-Гаусса для магнитной индукции

Теорема Остроградского-Гаусса для	B	: поток вектора магнитной индукции

сквозь произвольную замкнутую поверхность равен нулю:

BdS 0

S

.

Поток вектора магнитной индукции – магнитный поток

Φ		BdS	; [Φ] = Вб.
	S

Поток магнитной индукции сквозь незамкнутую поверхность не зависит от формы этой поверхностью, а зависит только от ограничивающего её контура.

Доказательство

S1 L

S2

Рис. 25.1

Пусть на	контур L натянуты две поверхности S1 и	S2
(РИС. 25.1).	Составная поверхность S1 + S2 – замкнутая.	По
теореме Остроградского-Гаусса для B

				BdS 0.
		S	S	2
		1
При вычислении потока по замкнутой поверхности									dS	–
внешняя нормаль. Поэтому
		BdS			BdS1
								BdS2 .
S	S	2		S		S	2
1				1

При расчёте же магнитного потока сквозь незамкнутые поверхности направление

нормали выбирается по правилу правого винта, соответственно, нормали

dS2		. Из этого следует, что
	будут направлены в одну сторону; dS2 dS2

BdS1

BdS2

0

BdS1

BdS2

0

, ч. т. д.

dS1

и

S	1	S	2	S	1	S	2

ПРИМЕР

Поток однородного магнитного поля сквозь полусферу

S

S′ α R

O

Рис. 25.2

Найти поток однородного магнитного поля с индук-

цией B сквозь полусферу радиуса R, при том что силовые линии магнитного поля направлены под углом α к нормали к основанию полусферы (РИС. 25.2).

Полусфера S натянута на окружность радиуса R с центром в центре полусферы – точке O. На ту же окружность натянуто и плоское основание S′. Следовательно, магнитные потоки сквози поверхности S и S′ равны:

	BdS					cosα Bcosα dS
Φ Φ				BdS
	S			S		S

BS cosα πR2Bcosα.

201

3.7.4. Векторный потенциал

Ротор – векторная функция векторного аргумента – векторное произведение

	оператора векторного дифференцирования					на векторную функцию
		rot B ,B					.
	В декартовых координатах
			i		j		k
	rot B								.
			x		y		z
			B	x	B	y	B	z

Ротор вектора всегда перпендикулярен этому вектору.

Из теоремы о циркуляции

B

в интегральной форме

	0
	Bdl μ		jdS
L		S

( j – плотность тока) следует, что

			rot B μ	j		(25.1)
			0
– теорема о циркуляции	B	в дифференциальной форме.

Векторный потенциал A – векторная величина – энергетическая характеристика магнитного поля – такая, что

	rot A B	,
причём
	div A 0	;
[A] = Тл·м.

(25.2)

Подставим определение (25.2) в теорему о циркуляции

rotrot A μ0 j .

B

(25.1):

Преобразуем левую часть этого равенства по известной формуле двойного векторного произведения:

rotrot

A				A A
		A

0

2 A μ0 j

	2	A,

(25.3)

В декартовых координатах:

2

A2x

2

A2x

2

Ax

μ0 jx ,

2

x

y

z

A

A

A

2

2

2

μ j

y

y

y

,

x2

y2

z2

0

y

2 A

2 A

2 A

z

z

z

μ j

.

z2

x2

y2

0 z

202

Это три независимых дифференциальных уравнения второго порядка в частных производных. Поэтому при известном распределении плотности тока в некоторых случаях удобнее решить эти уравнения по отдельности и найти все компоненты векторного потенциала, а затем по определению (25.2), проведя дифференцирование, найти магнитную индукцию.

Выражение, подобное (25.3), можно получить и для электрической компоненты электромагнитного поля:

E φ,					ρ
	ρ			φ
			2
E					ε
	ε				0
	0

(напоминаем, что φ – потенциал, ρ – объёмная плотность заряда). Единая энергетическая характеристика электромагнитного поля:

	icφ
		A
A		x
	A
			y
		A
		z

– 4-потенциал.

Методы расчёта магнитной индукции

метод суперпозиций

теорема о циркуляции

через

3.8. Действие магнитного поля на движущиеся заряды

3.8.1. Движение точечного заряда в магнитном поле

Магнитная составляющая электромагнитного поля действует на точечный заряд

q, движущийся со скоростью

v

, с силой

F q vB
2

– сила Лоренца (магнитная составляющая) (см. РАЗДЕЛ 3.1.3).

Магнитная составляющая силы Лоренца всегда перпендикулярна скорости частицы. По этой причине магнитное поле не совершает работы.

ПРИМЕР

Движение заряженной частицы в однородном магнитном поле

Частица массы m, имеющая заряд q > 0, влетает со скоростью v в область пространства, где имеется однородное магнитное поле с индукцией B (РИС. 25.3). Угол между v и B равен α. По какой траектории будет двигаться частица?

Запишем II закон Ньютона для данной частицы

				ma F2 ,	(25.4)
где F q vB			. Сила F	и ускорение a изображены на РИС. 25.3А, Б в разных проек-
2			2

циях.

203

		O R
	α
	m, q
		m, q
	а	б
	Рис. 25.3
Сила F2	перпендикулярна скорости частицы,	так же направлено и ускорение, т. е.

a = an – нормальное ускорение. Следовательно, вдоль оси, параллельной линиям магнитной индукции, частица будет двигаться равномерно, а в проекции на плоскость, перпендикулярную линиям магнитной индукции (плоскость РИСУНКА 25.3Б)

– по окружности.

Спроецируем векторное равенство (25.4) на нормаль к проекции траектории частицы на плоскость, перпендикулярную линиям магнитной индукции:

			ma qvBsinα
			n
					2
				an	v
	По известной формуле кинематики (2.3)
					R
	тории;
		2
		v	qv B R
	m
		R

.

, где v = v sin α, R – радиус траек-

mv		.
qB

Можно также найти шаг спирали, по которой движется частица. При q < 0 траектория будет закругляться в другую сторону. Демонстрация: Электронно-лучевая трубка

	3.8.2. Действие магнитного поля на проводник с током
			Рассмотрим участок проводника длиной dl, находящий-
			ся в магнитном поле с индукцией B , по которому идёт
			ток I (РИС. 25.4). Заряд носителей равен q (будем счи-
	q		тать, что в проводнике движутся положительно заря-
		I	женные частицы), скорость упорядоченного движения
			– v . На каждый носитель магнитное поле действует с
			силой	F2 q		vB		. Всего на данном участке проводника
		Рис. 25.4	находится dN носителей заряда, их общий заряд
									dQ q dN .
	Сила, с которой магнитное поле действует на все эти заряды,
			dF F dN q vB dN dQ vB							.
			А	2

204

	Представим	v	dl
			dt
	тогда

	так как I	dQ	.
		dt

(направим

dl в сторону упорядоченного движения зарядов),

dl

dQ

dl,B

I

,

dFА dQ

B

dl,B

dt

dt

Закон Ампера:

		,
dFА I dl,B

где dFА – сила Ампера – сила, с которой магнитное поле действует на проводник с током.

ПРИМЕР

Взаимодействие прямых проводов с токами

Имеются два прямых параллельных длинных провода с токами I1 и I2, текущими в одну сторону (РИС. 25.5А). Расстояние между проводами равно d. Найти силу, с которой магнитной поле одного провода действует на отрезок другого провода единичной длины.

Направление индукции магнитного поля B1

провода с током I1 в точках, через ко-

торые проходит провод с током I2, и индукции магнитного поля				B2 провода с то-
ком I2 в точках, через которые проходит провод с током I1;			dF21	– сила, с которой
поле провода с током I1 действует на элемент тока dl2 ; dF12			– сила, с которой поле
провода с током I2 действует на элемент тока dl1		показаны на РИС. 25.5А.
I1	I2	I1		I2

d		d
а		б
	Рис. 25.5

По закону Ампера

dF12	I	2	dl
			2
dF21	I		dl
		1	1

,B	,	dF12 I2B1dl2 ,
1
			I1B2dl1.
,B		dF21
2

205

Модули магнитной индукции (см. ПРИМЕР В РАЗДЕЛЕ 3.7.2)

B
1
При l1 = l2 = 1
	F
		12

	μ	I	,
	0	1
	2πd
	F
		21

B			μ		I
				0		2
	2		2πd
	μ I			I	.
		0	1	2
		2πd

.

При одинаково направленных токах провода притягиваются. При разнонаправленных токах I1, I2 (РИС. 25.5Б) провода отталкиваются (формула для модуля силы взаимодействия проводов будет той же).

Демонстрация: Взаимодействие прямых токов

3.8.3. Рамка с током в магнитном поле

Поместим прямоугольную рамку 1234 с током I в однородное магнитное поле с

индукцией B ; нормаль к плоскости рамки расположена под углом α к линиям магнитной индукции (РИС. 25.6А). Равнодействующая сил Ампера, с которыми магнитное поле действует на все четыре стороны рамки, равна нулю, но суммарный момент сил нулю равен не будет – рамка будет разворачиваться вокруг оси, перпендикулярной линиям магнитной индукции.

	4	I
		3			α
		α
						3
					α I
1		α		2
z		2
	а				б
		Рис. 25.6
Найдём момент сил Ампера – момент пары сил			F12	и F34	. Пусть ось, перпендику-

лярная линиям магнитной индукции – ось z проходит через сторону 12. Единственная сила, которая имеет ненулевой момент относительно этой оси, это сила

F34	. Её момент

M M34		l23 F34		;

M34

l	F	sinα l	IBl sinα IBS sinα
23	34	23	34

,

где S = l23l34 – площадь рамки;

M p	B	,	(25.5)
m

где

206

p	ISn
m

– магнитный момент рамки – характеристика замкнутого проводника (контура) с током (n – нормаль к поверхности рамки);

[pm] = А·м2.

Вектор магнитного момента показан на РИС. 25.6Б – вид со стороны 23 рамки. Направление магнитного момента выбирается в соответствии с направлением тока в рамке по правилу правого винта.

Соотношение (25.5) справедливо и для рамки произвольной формы. Магнитное поле стремится развернуть рамку с током так, чтобы её магнитный момент был направлен вдоль линий магнитной индукции.

Демонстрации: 1) Рамка с током в магнитном поле

2)«Сознательные» катушки

3.8.4.Работа силы Ампера

1. Работа при повороте рамки с током в магнитном поле

Рассмотрим рамку с током, находящуюся в однородном магнитном поле (см. ПРЕДЫДУЩИЙ РАЗДЕЛ). Чтобы повернуть рамку на угол dα, внешние силы должны совершить работу

			*	*	dα Mdα Mdα pmBsinαdα ,
			δA	M
здесь M	*	M	– момент внешних сил, вектор углового перемещения dα			обозна-

чено на РИС. 25.6Б и направлен «на нас», так как угол принято отсчитывать против часовой стрелки; M pmBsinα по формуле (25.5).

Приращение энергии контура в магнитном поле при повороте на малый угол dα

dW δA*

Энергия контура

pmBsinαdα

.

W

		m
		p Bsinαdα

pmBcosα const

.

Положим константу в этой формуле равной нулю; получим

	W p B	,
	m
W pmBcosα .

График зависимости W(α) представлен на РИС. 25.7.

	W	α = 0 – устойчивое равновесие;
		α = π – неустойчивое равновесие.

0

π α

Рис. 25.7

207

Лекция 26

3.8.4. Работа силы Ампера (продолжение)

2. Работа при перемещении проводника с током в магнитном поле

Пусть прямолинейный проводник длиной l, по которой идёт ток I, движется в магнитном поле. Магнитное поле действует на провод-

	ник с силой Ампера F I		l,B		. Работу будет совершать составляю-
	щая этой силы, перпендикулярная проводнику,
				F IlB ,

где B – компонента вектора магнитной индукции, перпендикулярная плоскости движения проводника (РИС. 26.1).

Работа магнитного поля по перемещению проводника на малое

l

I

dx

Рис. 26.1

расстояние dx (соответствующее перемещению dr )

δA F dr F dx IlB dx IB dS IdΦ,

здесь dS – площадь поверхности, ометаемой проводником при малом перемещении dx (заштрихованная область на РИС. 26.1), dΦ – магнитный поток сквозь эту поверхность.

При перемещении проводника из положения 1 в положение 2

		2
	A		IdΦ .
		1
При I = const
	A IΔΦ			.

(26.1)

Это выражение мощно обобщить на случай проводника произвольной формы.

В РАЗДЕЛЕ 3.8.1 мы пояснили, что сила Лоренца не совершает работы. Почему же совершает работу сила Ампера, которая есть суперпозиция сил Лоренца, с которыми магнитное поле действует на отдельные носители заряда в проводнике? На самом деле работу совершает не магнитное поле, а источник тока.

	3. Работа при перемещении контура с током в магнитном поле
	Пусть имеется замкнутый проводник с током	1		1′
	I, находящийся в магнитном поле. Проводник
	перемещается из положения 12 в положение
	1′2′ (РИС. 26.2). Найдём работу магнитного	I		I
	поля по перемещению двух половин этого		Φ0
		Φ1		Φ2
	контура – 12 и 21 по формуле (26.1):
	A A12 A21 I Φ1 Φ0 I Φ2 Φ0
	I Φ2 Φ1 ,	2		2′
	где Φ1 – магнитный поток сквозь поверх-		Рис. 26.2
	ность, ограниченную контуром 12, Φ2 – кон-
	туром 1′2′, Φ0 – контуром 11′2′2 (РИС. 26.2);

A IΔΦ ,

208

здесь ΔΦ = Φ2 – Φ1 – разность магнитных потоков сквозь поверхности, натянутые на проводящий контур в начальном и конечном положении.

3.9. Электромагнитная индукция

3.9.1. Закон Фарадея-Максвелла

Пусть в пространстве существует переменное магнитное поле. I уравнение Максвелла

	Edl		B	dS
			t
	L	S

.

Левая часть этого уравнения равна ЭДС в произвольном замкнутом контуре L:

Edl E

L

,

а правая (с точностью до знака) – скорости изменения магнитного потока сквозь произвольную поверхность S, натянутую на контур L:

		B	dS
		t
	S
	Поэтому
				E

			BdS
		t
			S
	E			dΦ
		i		dt

Φt

.

(26.2)

– закон Фарадея-Максвелла; Ei – ЭДС индукции.

Явление электромагнитной индукции – возникновение электрического поля в замкнутом контуре при изменении магнитного потока сквозь поверхность, натянутую на этот контур. ЭДС индукции – энергетическая характеристика этого поля.

В замкнутом проводнике, помещённом в переменное магнитное поле, будет со-

здаваться индукционный ток.

Правило Ленца: направление индукционного тока таково, чтобы компенсировать вызвавшее индукционный ток изменение магнитного потока. Правило Ленца выражается знаком «–»в выражении закона Фарадея-Максвелла.

Явление электромагнитной индукции можно трактовать как возникновение вихревого электрического поля при переменном магнитном поле.

Получим закон Фарадея-Максвелла из других опытных законов.

1) Вывод закона Фарадея-Максвелла из закона сохранения энергии

Проводник с током I (ток создаётся источником с							R
ЭДС E) движется в однородном магнитном поле с
индукцией B , перпендикулярной плоскости движе-	E						I
ния проводника (РИС. 26.3). Энергия источника рас-
ходуется на совершение механической работы и							Рис. 26.3
увеличение внутренней энергии проводника – в
тепло:
Aист Aмех Q .							(26.3)

По определению ЭДС, работа источника при прохождении через источник малого заряда dq

209

δAист Edq ;

механическая работа – работа силы Ампера

δAмех IdΦ,

(26.4)

(26.5)

Φ – магнитный поток сквозь поверхность, натянутую на замкнутую цепь, содержащую источник и движущийся проводник; количество теплоты, выделяющееся в цепи за время dt прохождения через источник заряда dq,

2	Rdt ,
δQ I

R – сопротивление всей цепи.

(26.6)

Подставим в выражение закона сохранения энергии (26.3) слагаемые (26.4), (26.5), (26.6):

Так как

I

dq dt

2	Rdt
Edq IdΦ I

,

	2	Rdt
EIdt IdΦ I
IR E	dΦ		.
	dt

.

,

Это обобщённый закон Ома для замкнутой цепи: сумма падений напряжений рав-

на сумме ЭДС. Обозначим

dΦ Ei dt

. Это и есть ЭДС индукции.

2) Вывод закона Фарадея-Максвелла из электронных представлений

Пусть металлический проводник длиной l движется в однородном магнитном поле B со скоростью v , перпендикулярной линиям индукции (РИС. 26.4). На свободные заряды (электроны) в проводнике магнитное поле действует с силой F2 . Из-

за этого электроны будут перемещаться по проводнику до тех пор, пока не установится равновесие, т. е. возникшее по этой причине электрическое поле не ском-

пенсирует воздействие магнитного поля силой

l

+

F1 .

–

0

x

Рис. 26.4

Рассмотрим один электрон в проводнике. Он движется с постоянной скоростью –

скоростью проводника Ньютона:

v

, значит, его ускорение равно нулю. Запишем II закон

0 F1 F2 ;

F1 eE , F2 e vB ,