Конспект лекций по общей физики (1-4 семестр)

150

Доказательство47 (вывод из закона Кулона)

Рассмотрим точечный заряд q и его электрическое поле. Окружим заряд произвольной замкнутой поверхностью S (РИС. 19.6А). По закону Кулона напряжённость электрического поля точечного заряда

	E	q
		4πε
		0

r
r	3

.

S

q	α
	dΩ
	а

q	dΩ	α

	б
	Рис. 19.6
	Элементарный поток
	dΦ EdS	qcosα		dS
		4πε r	2
		0

.

Телесный угол, под которым из точки, где находится заряд q, видна площадка dS

dΩ	dS		dS cosα
	r2		r2

(см. РИС. 19.6Б). Выразим элементарны й поток через телесный угол:

dΦ qdΩ .

4πε0

Проинтегрируем по полному телесному углу:

	4π
		qdΩ
Φ EdS
S	0	4πε
		0

q 4π q

4πε0 ε0

.

Мы доказали теорему для случая одного точечного заряда. Обобщение на случай произвольной системы зарядов проводится по принципу суперпозиции полей:

E Ei

,

47 Мы строим курс, постулируя уравнения Максвелла. Это доказательство даётся для того, чтобы продемонстрировать связь уравнений Максвелла с эмпирическими законами электромагнетизма:

в данном случае – III уравнения Максвелла (теорема Остроградского-Гаусса для E ) и закона Кулона, и не входит в экзаменационную программу.

151

			q				q	S
EdS Ei dS EidS			i
			ε			ε
S	S	S
			0			0

, ч. т. д.

Рассмотрим примеры расчёта полей с использованием теоремы ОстроградскогоГаусса для E . Эта теорема полезна в том случае, когда можно выбрать замкнутую поверхность так, чтобы легко было вычислить поток E . Прежде чем решать зада-

чу с помощью теоремы Остроградского-Гаусса, нужно найти направление E методом суперпозиций.

Случаи использования теоремы Остроградского-Гаусса
Сферическая	Цилиндрическая	Плоская
(центральная)	(осевая)	симметрия
симметрия	симметрия	распределения
распределения	распределения	заряда
заряда	заряда	(размеры области про-
	(протяжённость области	странства, содержащей за-
	пространства, содержащей	ряд, в плоскости симмет-
	заряд, вдоль оси симмет-	рии много больше попе-
	рии много больше её попе-	речного размера этой об-
	речных размеров)	ласти)

ПРИМЕРЫ

1) Электрическое поле равномерно заряженной сферы

				Сфера радиуса R равномерно заряжена за-
				рядом Q (РИС. 19.7). Найти зависимость
			I	напряжённости электрического поля от рас-
Q		II	SII	SI стояния r от центра сферы Er(r)48.
				Заряд распределён сферически симметрич-
		O	R	но. В каждой точке пространства напряжён-
				ность электрического поля E направлена
		r
	B			радиально.
			r	Будем выбирать поверхности интегрирова-
				ния в виде сфер радиуса r,где r – расстояние
			A	от центра сферы до точки, где измеряется
				напряжённость поля.
				Разобьём пространство на две области – вне
				сферы и внутри сферы. Вид зависимости
				Er(r) в этих областях должен быть различ-
		Рис. 19.7		ным.

48 Здесь и далее в подобных примерах мы находим именно проекцию векторного поля на указанное направление – величину, которая содержит информацию и о модуле, и о направлении векторного поля. В зависимости от знака заряда проекция напряжённости электрического поля может быть как положительной, так и отрицательной.

152

I. r > R

Теорема Остроградского-Гаусса:

EIdSI		q	S
				I
S		ε
	I	0

.

Выберем поверхность SI в виде сферы радиуса r, концентричной заряженной сфере (РИС. 19.7). В каждой точке этой поверхности (например, в точке A на рисунке)

напряжённость электрического поля EI

накова. Вектор внешней нормали

dSI

направлена радиально, а по модулю оди-

сонаправлен

EI

. Поток напряжённости

электрического поля

EIdSI EIrdSI cos0 EIr dS
S	I	S	I	1	S	I

Заряд, охваченный поверхностью SI,

q	Q
S
I

– весь заряд заряженной сферы. Получим

EIr 4πr	2		Q	EIr
			ε
			0

II. r < R

I	E	Ir	S

Q
4πε r	2
0

	E		4πr	2
I		Ir

.

.

Теорема Остроградского-Гаусса:

		EIIdSII	q	S
					II	.
S			ε
	II		0

Выберем поверхность SII в виде сферы радиуса r, концентричной заряженной сфе-

ре (РИС. 19.7). Направления EII и dSII показаны на рисунке. Поток напряжённости электрического поля, аналогично выражению для области I,

EIIdSII

SII

E		4πr	2
	IIr

.

Заряд, охваченный поверхностью SII,
q	S	0	,
	II

так как заряды внутрь поверхности SII не попадают. Поэтому

EIIr 0.

График зависимости Er(r) представлен на РИС. 19.8.

При r = R график Er(r) терпит разрыв, так как на поверхности r = R сосредоточены свободные заряды. Разрывы конечной величины на графиках можно соединять сплошной линией.

S

Рис. 19.9

153

Er

0

R

r

Рис. 19.8

2) Электрическое поле равномерно заряженной бесконечно длинной тонкой прямой нити

			Бесконечно длинная прямая нить равно-
		τ	мерно заряжена с линейной плотностью
			τ (РИС. 19.9). Найти зависимость напря-
			жённости электрического поля от рас-
		B	стояния r от нити Er(r).
			Распределение	заряда				имеет осевую
		r	симметрию. Теорема				Остроградского-
h			Гаусса
			A				q
				EdS					S	.
			S			ε
						0

Выберем поверхность интегрирования в виде цилиндра радиуса r (r – расстояние от нити до точки, где измеряется поле – точка A на РИС. 19.9) и произвольной вы-

соты h, ось которого совпадает с нитью. Напряжённость электрического поля направлена радиально и зависит только от r. Векторы внешней нормали направ-

лены: для боковой поверхности dSбок

E , для торцов

dSторц

E

. Поток напряжён-

ности электрического поля				1				0
							π
EdS EdSбок 2			EdSторц ErdSбок cos0 2			ErdSторц cos
S	Sбок	Sторц	Sбок	Sторц			2

Er dSбок Er Sбок Er 2πrh.

Sбок

Заряд, охваченный поверхностью S,

q S τh

– заряд участка нити длиной h. Получим

E	2πrh τh	E			τ	.
			r
r	ε				2πε r
	0				0

154

Результат не зависит от h, как и должно быть. Это же решение было получено нами методом суперпозиций (см. РАЗДЕЛ 3.2.3).

График зависимости Er(r) представлен на РИС. 19.10.

Er

0

r

Рис. 19.10

155

Лекция 20

3.2.3. Поток векторного поля. Теорема Остроградского-Гаусса для напряжённости электрического поля (продолжение)

3) Электрическое поле равномерно заряженной плоскости

Плоскость равномерно заряжена с поверхностной плотностью σ. Найти зависимость напряжённости электрического поля от расстояния от плоскости: Ex(x).

σ

C

B A

S

0

x

Рис. 20.1

Распределение заряда имеет плоскую симметрию. Теорема Остроградского-Гаусса

	q		.
EdS		S
S	ε
	0

Выберем поверхность интегрирования в виде цилиндра высотой

2 x

(x – коорди-

ната точки, где измеряется поле – точка A на РИС. 20.1) и произвольного сечения Sторц, расположенного симметрично относительно заряженной плоскости. Напряжённость электрического поля направлена перпендикулярно плоскости и может зависеть только от x. Векторы внешней нормали направлены: для боковой по-

верхности dSбок E , для торцов поля

dSторц

E

. Поток напряжённости электрического

EdS EdSбок 2			EdSторц	ExdSбок cos	π	2	ExdSторц x cos0
S	Sбок	Sторц	Sбок		2	Sторц

2E dSторц 2ESторц .

Sторц

Заряд, охваченный поверхностью S,

q S σSторц

– заряд участка плоскости площадью Sторц. Получим

156

			σS
2ES			торц
	торц		ε
			0
		x 0:E
				x
		x 0:E
				x

E

σ , 2ε0

σ

2ε0

σ 2ε0

.

49;

По каждую сторону от заряженной плоскости поле однородно. График зависимости Ex(x) представлен на РИС. 20.2.

Ex

0

x

Рис. 20.2

Демонстрация: Сетка Кольбе

3.2.4. Потенциал

I уравнение Максвелла для электростатического поля

Edl

L

0

.

Умножим это уравнение на пробный заряд q0:

0		Edl		0		1
q				q Edl		F dl 0
	L		L		L

– работа электростатического поля по перемещению пробного заряда по произвольной замкнутой траектории равна нулю. Это означает, что электростатиче-

ское поле потенциально (см. РАЗДЕЛ 1.8.4).

[Можно прийти к этому выводу по-другому: кулоновская сила центральна, а поле центральных сил потенциально (см. 1.8.4).]

Потенциальная энергия заряженной частицы в электростатическом поле равна работе внешних сил при перемещении этой частицы из точки, где потенциальная энергия принята равной нулю, в данную точку, или работе поля при этом перемещении:

Wп Aполя A* .

Потенциальная энергия – характеристика и поля, и заряда:

49 Эта формула справедлива при σ > 0. Для σ < 0 знак σ нужно изменить на противоположный.

157

	Отношение	W
		п
		q
		0
	ля:

– потенциал;

Wп f q0 ,E .

не зависит от q0 и является энергетической характеристикой по-

	φ	W
		п	;
		q
		0

[φ] = В.

Эта величина определяется с точностью до произвольной постоянной. Физиче-

ский смысл имеет разность потенциалов

			поля		*
φ	φ φ		A		A
			1 2		1 2
12	2	1	q		q
			0		0

– работа поля по перемещению пробного заряда из начального положения в конечное, отнесённая к модулю этого заряда и взятая с обратным знаком, или работа внешних сил при том же перемещении, отнесённая к модулю пробного заряда.

Связь напряжённости и потенциала электростатического поля

Работа электростатического поля при перемещению пробного заряда из точки 1 в точку 2

		2	1	2	0	0	2
поля			F dl		q Edl q			Edl
A
		1		1			1

разность потенциалов

;

			поля	2
	φ12		A	Edl ;
			q0
				1

интегрирование проводится по произвольной кривой, соединяющей точки 1 и 2.

Интегральная связь напряжённости и потенциала электростатического поля

				2			2
		φ			Edl			E		dl		,
		12						l
				1			1
1			1				1			l
				Edl
φ									E		dl
			φ 0			φ 0

– потенциал поля в точке 1. Элементарная работа поля

δAполя F1dl q0 Edl ;

элементарное приращение потенциала

dφ	δAполя	Edl ,
	q
	0

		158
	E	dφ	gradφ
		dl

– дифференциальная связь напряжённости и потенциала электростатиче-

	ского поля (определение вектора градиента φ	dφ	см. в РАЗДЕЛЕ 1.8.5).
		dl

Эквипотенциальная поверхность – геометрическое место точек, потенциал которых одинаков.

Так как

E gradφ , вектор напряжённости электрического поля перпендикуля-

рен эквипотенциальным поверхностям.

ПРИМЕР

Потенциал поля точечного заряда

Напряжённость электрического поля точечного заряда q

E

q

r

.

4πε r

3

0

Эквипотенциальные поверхности – сферы (РИС. 20.3).

q

Положим начало отсчёта потенциала в бесконечно уда-

лённой точке: φ(∞) = 0. Интегрирование в формуле инте-

r

гральной связи напряжённости и потенциала проведём

по радиальной прямой:

r

Рис. 20.3

r

r

r

q

dr2

q

1

q

φ Edr Erdr

.

4πε

4πε

r

4πε r

r

0

0

0

Принцип суперпозиции (в применении к потенциалу): потенциал электростатического поля системы заряженных тел равен сумме потенциалов полей, создаваемых каждым из этих тел по отдельности:

φ	i
	φ

,

φ dφ

.

Доказательство

Имеем систему N заряженных тел. По принципу суперпозиции напряжённость электрического поля

E Ei

.

Интегральная связь напряжённости и потенциала

A	A	Ei dl	A	Eidl φi , ч. т. д.
φ	Edl
φ 0	φ 0		φ 0

Любую систему заряженных тел можно разбить на точечные заряды и найти потенциал по методу суперпозиций. Таким образом проще рассчитать потенциал, чем напряжённость, так как потенциал – скалярная величина, а напряжённость – векторная.

159

ПРИМЕР

1) Поле равномерно заряженного тонкого кольца

По тонкому кольцу равномерно распределён заряд Q > 0 (РИС. 20.4). Найти зависимость потенциала от координаты в точке на оси z кольца: φ(z).

Положим потенциал равным нулю в бесконечно удалённой точке. Разобьём кольцо на малые участки с зарядами dq и воспользуемся методом суперпозиций:

φ

dφ

,

	dφ	dq
		4πε r
		0

.

	Расстояние r до точки A, где измеряется потенциал одина-	z
	ково для всех элементов dq;

r	R	2	z	2	.

Проинтегрируем выражение для потенциала по q:

	Q		dq					Q
φ											.
					z					z
	0	4πε	R	2		2	4πε	R	2		2
		0					0

A

r z

Q

	Найдём напряжённость электрического поля как функцию z	R
	через дифференциальную связь напряжённости и потенци-	O
	ала:

	E gradφ	dφ	k
		dz

dq

Рис. 20.4

( k – орт оси z), так как в точках на оси z напряжённость

электрического поля направлена вдоль этой оси и может зависеть только от z;

					Q			1			2z
E			dφ					2									Qz					.
	z														0
				0
			dz		4πε		R	2	z			2			4πε		R	2	z	2

Этот же результат мы получили РАНЕЕ методом суперпозиции E .

2) Поле равномерно заряженной бесконечно длинной тонкой прямой нити

	Бесконечно длинная прямая нить равномерно заряжена с			τ
	линейной плотностью τ (РИС. 20.5). Найти зависимость по-
	тенциала электрического поля от расстояния r от нити: φ(r).
	Воспользуемся результатом решения ЗАДАЧИ о напряжённо-
	сти электрического поля этой системы
	Er	τ		r
		2πε r
		0

и интегральной связью напряжённости и потенциала. Начало отсчёта потенциала возьмём в точке O на расстоянии r0 от нити50;

A

r0 O

Рис. 20.5

50 В случае, если заряды располагаются в бесконечно удалённых точках, нельзя взять начало отсчёта потенциала в бесконечности.