Конспект лекций по общей физики (1-4 семестр)

160

	r	r	τ	dr		τ		r
	φ Erdr						ln
			2πε	r		2πε		r
	r	r
			0			0		0
	0	0

График зависимости φ(r) показан на РИС. 20.6.

φ

.

	0	r0	r
		Рис. 20.6
	3) Поле равномерно заряженной сферы
	Q	Сфера радиуса R равномерно	заряжена зарядом Q
		(РИС. 20.7). Найти зависимость потенциала электрическо-
	II

	R	го поля от расстояния r от центра сферы: φ(r).
O
		Воспользуемся интегральной связью напряжённости и
		потенциала, полагая φ(0) = 0:

	I			r
		r	A	φ Erdr .	(20.1)
				0

Разбиваем пространство на две области (см. ПРИМЕР 1 РАЗ-

ДЕЛА 3.2.3).

Рис. 20.7

II. r < R

Напряжённость электрического поля в этой области EIIr = 0. Потенциал

r

φ EIIrdr 0 .

0

I. r > R

Согласно ранее полученному результату, в этой области проекция напряжённости электрического поля на радиальное направление

EIr	Q
		.
	4πε r2
	0

При вычислении потенциала мы идём от центра сферы к точке A (РИС. 20.7), где измеряется потенциал, по радиальной прямой. На разных участках этого пути (отрезка OA) аналитическое выражение Er(r) различно, поэтому интеграл (20.1) приходится разбивать на две части:

R

r

R

r

Q dr

Q 1 r

Q

1

1

φ EIIrdr EIrdr 0dr

2

.

4πε0 r

4πε0 r

R

0

R

0

R

R

4πε0 r

161

График зависимости φ(r) показан на РИС. 20.8.

φ

II I

0

R

r

Рис. 20.8

Можно построить этот график по графику проекции напряжённости электрического поля (РИС. 19.8). По дифференциальной связи напряжённости и потенциала

				Er	dφ	.
					dr
	Там, где	dφ	0	(при r < R), φ = const. В точке r = R график Er(r) имеет разрыв, а
		dr
	график φ(r) – излом. При r > R Er(r) > 0 и убывает, соответственно,						dφ	0	и воз-
							dr

растает – кривая φ(r) убывает и вогнутая. При r → ∞ Er → 0 и график φ(r) имеет горизонтальную асимптоту.

Потенциал – непрерывная функция координат! График потенциала никогда не имеет разрывов.

Методы расчёта напряжённости электрического поля

метод суперпозиций	теорема Остроградского-		дифференциальная
	Гаусса		связь и φ
Методы расчёта потенциала электростатического поля
метод суперпозиций		интегральная связь
			и φ

3.3. Электростатическое поле в веществе

3.3.1. Проводники и диэлектрики. Свободные и связанные заряды

Проводники – вещества, имеющие свободные заряды – заряженные частицы, свободно перемещающиеся по образцу.

162

Диэлектрики – вещества, в которых заряженные частицы связаны в пределах молекул и могут перемещаться под действием внешнего поля только на расстояния не более межмолекулярных.51

Любой диэлектрик можно превратить в полупроводник, т. е. пробить.

Вещество

проводники

хорошо проводят электрический ток

металлы ← свободные электроны электролиты ← ионы плазма ← электроны, ионы

Заряды

диэлектрики

плохо проводят электрический ток

дерево, пластмасса, дистиллированная вода, кристаллы солей, газы

свободные

1)заряды, нарушающие электронейтральность вещества;

2)заряженные частицы, перемещающиеся по проводнику на расстояния много больше межмолекулярных

3.3.2. Электрический диполь

связанные

заряженные частицы, входящие в состав молекул, перемещающиеся на расстояния не более межмолекулярных

Электрический диполь – система двух точечных зарядов, одинаковых по модулю и противоположных по знаку (РИС. 20.9).

1. Характеристики диполя
q	l	–q	Заряд диполя q – модуль заряда каждой из частиц (по-
			люсов) диполя.
	,
			Плечо диполя l – рас-
	Рис. 20.9		стояние между полю-	A
			сами.

Дипольный момент – векторная характеристика:

pe ql , pe Кл м.

Вектор дипольного момента направлен от отрицательного полюса к положительному.

Будем рассматривать жёсткий диполь, т. е. для которого l = const.

2. Электрическое поле диполя (без вывода)

Рассмотрим точечный диполь, т. е. диполь на

q α α –q O

Рис. 20.10

51 Полупроводники – диэлектрики с относительно высокой удельной электропроводностью. Сведения о природе и свойствах полупроводников см. в ПАРАГРАФЕ 6.6.

163

расстояниях r >> l.

Методом суперпозиций можно получить следующие результаты: потенциал [при φ(∞) = 0]

	φ	p cosα
		e
		4πε r	2
		0
α – угол между pe	и r – показан на РИС. 20.10;

модуль напряжённости электрического поля

,

E	p
	e
	4πε r	3
	0

3cos2 α

1

.

3. Диполь в электростатическом поле

а) Однородное поле

α

Рис. 20.11

рицательный полюс диполя:

Пусть в пространстве имеется однородное элек-

трическое поле, напряжённость поля

E . Диполь

расположен под углом α к силовым линиям поля

(РИС. 20.11).

Сила, с которой поле действует на диполь

		F F F 0,
так как	F F . Но момент пары сил		F и F
M M M 0		. Выразим этот момент	относи-

тельно любой оси, перпендикулярной плоскости рисунка, например, оси z, проходящей через от-

Mz

F lsinα qElsinα p E sinα
	e

;

Mpe E .

Воднородном электрическом поле диполь разворачивается вдоль силовых линий.

б) Неоднородное поле (РИС. 20.12)

В этом случае F F , диполь не только разворачивается вдоль силовых линий, но и втягивается в область более сильного поля. Равнодействующая

F qE

qE

q

E

E

qlcosα

E

e

E

i

e

i

x

p cosα

x

x

p E

F grad		e
		p E

(плечо диполя много меньше размера неоднородности поля).

grad pe E ,

(20.2)

164

x

α

Рис. 20.12

в) Энергия диполя в электрическом поле

Рассмотрим диполь в однородном электрическом поле (РИС. 20.11). Потенциальная энергия диполя

W W		W	qφ	qφ	q φ		φ	qEl p
п	п	п						e
						W p E		.
						п	e

Так как F gradWп , из этого выражения получается, что мула (20.2).

E peE cosα

F grad	e
	p E

,

, т. е. фор-

График зависимости потенциальной энергии диполя от угла между дипольным моментом и напряжённостью электрического поля представлен на РИС. 20.13.

Диполь находится в положении равновесия при

F 0

, т. е. в точках экстремума

	потенциальной энергии:
	Wп	α = 0 – устойчивое равновесие;
		α = π – неустойчивое равновесие.

0	π	α

Рис. 20.13

165

Лекция 21

3.3.3. Электрическое поле в диэлектриках

1. Типы поляризации диэлектрика

		Молекулы диэлектрика
	полярные		неполярные
	H2O, HCl		H2, N2, полимеры и т. п.
		В отсутствие электрического поля
		pe ≠ 0	pe = 0
		При наличии электрического поля
	Диполи разворачиваются вдоль поля		Молекулы поляризуются – электрон-
	– ориентационная поляризация.		ная поляризация.
	–	+	+	–	+
			–

Электрическое поле в диэлектрике складывается из двух полей – поля свободных зарядов (внешнего электрического поля) и поля связанных зарядов:

EE0 E .

2.Вектор поляризации (поляризованность)

Поляризованность – векторная характеристика поляризации вещества, равная сумме дипольных моментов молекул вещества, занимающего единичный объём:

P pe V

P	Кл
	2
	м

,

(21.1)

.

Дипольный момент молекулы параллелен и пропорционален напряжённости электрического поля:

pe ε0βE

,

(21.2)

где β – поляризуемость молекулы. Подставим (21.2) в определение (21.1):

		e
	P	p
		V

		N ε βE
		0
		V

ε0nβE

,

здесь N – число молекул, n – концентрация. Обозначим

æ nβ

– диэлектрическая восприимчивость вещества;

166

P ε0æE

Связь поляризованности с поверхностными поляризационными (связанными) зарядами

Рассмотрим диэлектрик – образец цилиндрической формы, помещённый в однородное электрическое поле. Молекулы либо разворачиваются, либо «растягиваются» вдоль поля. При этом внутри диэлектрик по-прежнему электронейтрален. На торцах образца появляются нескомпенсированные заряды. Такой образец эквивалентен большому диполю.

а) Торцы образца перпендикулярны E0 (РИС. 21.1)

–	+	–	+	–	+
–	+	–	+	–	+	S
–σ′ –	+	–	+	–	+	σ′

H

Рис. 21.1

где V = SH – объём образца.

На рисунке H – ширина образца, S – площадь торцевых поверхностей, σ′ – поверхностная плотность связанных зарядов52. Заряды торцевых поверхностей

Q σ S , Q σ S ;

модуль дипольного момента образца

pe QH σ SH

(Q = Q+);

модуль поляризованности

P	p		σ SH	σ
	e					,
	V		SH

б) Торцы образца не перпендикулярны

S	–		+
	–		+
	–	+	·	α
–σ′ –		+	σ′

H

Рис. 21.2

E0		(РИС. 21.2)
		Пусть напряжённость электрического
		поля направлена под углом α к нормали
		к торцам образца. Дипольный момент
		образца выражается той же формулой,
		что и в предыдущем случае:
				pe
					QH σ SH .
		Объём образца – косоугольного цилин-
		дра
				V SHcosα .
		Поэтому
			P	σ	σ Pcosα Pn ,
				cosα
	σ Pn				(21.3)

52 Здесь и далее в этом разделе штрихом обозначаются связанные заряды, без штриха – свободные заряды. В «живой» лекции может быть целесообразно вместо этого писать верхние или нижние индексы, например, σсвяз и ρсвоб.

167

– нормальная проекция поляризованности у поверхности диэлектрика равна поверхностной плотности связанных зарядов.

Демонстрации: 1) Модели диэлектрика

2)Диэлектрик в электрическом поле

3.Теорема Остроградского-Гаусса для электрического поля в диэлектрике

а) Теорема Остроградского-Гаусса для вектора поляризации

– +

– +

S

Рис. 21.3

Проведём внутри нейтрального диэлектрика, находящегося в электрическом поле, замкнутую поверхность S (РИС. 21.3). Эта поверхность «разрежет» диполи молекул.

Разобьём диэлектрик на малые объёмы Vi, а поверхность S – на малые площадки Si и найдём связанный заряд, охвачен-

ный поверхностью S:							0
q					ρi Vi			Si		,
							σi
				S		S			S
здесь ρ		–			объёмная плотность связан-

ных зарядов. Первое слагаемое в правой части этого равенства равно нулю, так как диэлектрик в целом электронейтрален. Поверхностная плотность связанных зарядов во втором слагаемом отличается от σ′ в выражении (21.3) тем, что это плотность зарядов не на внешней границе диэлектрика, а на воображаемой внутренней границе. При напряжённости электрического поля, направленной так, как показано на рисунках 21.2 и 21.3, связанные заряды на внешней границе справа – положительные, а на внутренней – отрицательные. Поэтому направление вектора поляризации фрагмента образца, попа-

,

дающего внутрь поверхности S, будет противоположным и Pn σi

q

Pni

Si

Pi

Si .

S

S

S

В пределе при Si → 0

(21.4)

PdS

q

S

S

– теорема Остроградского-Гаусса для

P

: поток поляризованности сквозь про-

извольную замкнутую поверхность равен сумме связанных зарядов, охваченной этой поверхностью, взятой с обратным знаком.

б) Теорема Остроградского-Гаусса для E и D

Напряжённость электрического поля в веществе – это напряжённость усреднённого поля, созданного как свободными (напряжённость поля E0 ), так и связанными

( E ) зарядами. Напряжённость поля связанных зарядов направлена против поля свободных зарядов, поэтому E < E0.

Теорема Остроградского-Гаусса для напряжённости электрического поля

168

Сумма связанных зарядов сумму из (21.4):

q	S

EdS

q

S

q

S

.

(21.5)

S

ε

0

не поддаётся прямому расчёту.

Выразим эту

q

S

PdS

ε0 EdS q

S

PdS ,

S

S

S

0

S

ε E P

dS

q

S

– теорема Остроградского-Гаусса для напряжённости электрического поля в веществе.

Введём вспомогательную величину

D ε0 E P

– электрическое смещение (электрическая индукция);

DdS q S

S

(21.6)

(21.7)

– теорема Остроградского-Гаусса для электрического смещения: поток век-

тора электрического смещения сквозь произвольную замкнутую поверхность равен сумме свободных зарядов, охваченных этой поверхностью.

D – это вспомогательная векторная характеристика электрического поля, помо-

гающая расчёту E .

в) Связь E и D

Формула (21.6) – определение.

Для изотропного диэлектрика53 (несегнетоэлектрика)

D ε0 E ε0æE ε0 1 æ E .

Обозначим

ε 1 æ

P

E

,

P ε0æE

и

– относительная диэлектрическая проницаемость вещества. Связь пишется как

D ε0εE

D

и

E

за-

У всех диэлектриков ε > 1; у полярных диэлектриков эта характеристика больше, у неполярных – меньше.

53 Для изотропных диэлектриков смысл относительной диэлектрической проницаемости – величина, показывающая во сколько раз диэлектрик ослабляет электрическое поле свободных зарядов (см. ПРИМЕР). Задачи на расчёт характеристик электрического поля в изотропном диэлектрике

можно решать и без использования D (вводя ε в формулировку теоремы Остроградского-Гаусса для E ), но мы настаиваем на том, чтобы студенты использовали эту величину и теорему Остро- градского-Гаусса для D .

		169
Для анизотропных диэлектриков	D	и E не параллельны. Диэлектрические свой-

ства вещества определяются тензором диэлектрической проницаемости

		ε
		ε
		ε

xx yx zx

ε ε ε

xy yy zy

	ε
		xz
	ε
		yz
	ε
		zz

и

	ε	xx	ε	xy	ε	E
						xz	x
D ε0	εyx		εyy		εyz E y .
	εzx		εzy
					εzz Ez

ПРИМЕР

Поле точечного заряда в однородном диэлектрике

Точечный заряд Q > 0 находится в безграничном диэлектрике с относительной диэлектрической проницаемостью ε (РИС. 21.4). Найдём ряд векторных характеристик электрического поля, создаваемого этим зарядом.

S

ε

Q		r
		A

Рис. 21.4

Так как в пространстве имеется диэлектрик, воспользуемся теоремой Остроград-

ского-Гаусса для D

	DdS q	S	.
S

Выберем поверхность интегрирования S в виде сферы радиуса r – расстояние от заряда Q до точки A, в которой исследуется поле, с центром в точке, где расположен

заряд Q; нормаль dS направлена радиально, как и D . Поток D

DdS Dr 4πr2 ,

S

охваченный заряд q

S

Q . Получим

D 4πr2

Q ,

D

Q

.

4πr2

r

r

Связь между D и E :

D ε εE D ε εE

, E

D

Q

r

0

r

0

r

r

ε ε

4πε εr

2

0

0

Поляризованность, исходя из определения D

(21.5),

.

P D ε0 E

P D ε E					Q			ε Q
								0
r	r	0	r		4πr	2		4πε εr	2
								0

Q
4πr	2

	1		1
			ε

.

Найдём также напряжённость электрического поля свободных и связанных зарядов. Проекция напряжённости электрического поля свободных зарядов на радиальное направление (см. 3.2.2)