Конспект лекций по общей физики (1-4 семестр)

220

Таблица 27.1

Процесс намагничивания

B	0			B		0	63
0				0
		i		i			i
i
				i			i
i			i
m				m
p			0			p 0
					i
B 0				B		B 0
				Вещество намагничивается, т. е. приобрета-
				ет отличный от нуля магнитный момент.

Намагниченность – векторная характеристика магнитного поля в веществе, равная дипольному моменту вещества, занимающего единичный объём:

	m
J		p		,
		V
J		А	.
		м

3.11.2. Теорема о циркуляции намагниченности, магнитной индукции и напряжённости магнитного поля

1) Теорема о циркуляции

B

Циркуляция магнитной индукции по произвольному замкнутому контуру равна сумме макротоков и микротоков, сцепленных с этим контуром:

	0		L
	Bdl μ	I
L

0
μ	i		L

.

(27.3)

Здесь и далее в этом параграфе I – макроток, i – микроток64.

Вторая сумма в правой части этого равенства не поддаётся прямому вычислению, так как распределение микротоков заранее не известно.

2) Теорема о циркуляции J

Проведём внутри вещества (магнетика) замкнутый контур L (РИС. 27.1А)и подсчитаем сумму микротоков, сцепленных с этим контуром.

63На рисунке в этой колонке показано, что магнитные моменты молекул выстраиваются вдоль поля макротоков. Так происходит, если вещество парамагнитно (см. РАЗДЕЛ 3.11.8). У диамагнетиков (РАЗДЕЛ 3.11.7) магнитные моменты молекул выстраиваются, наоборот, против внешнего поля.

64В «живой» лекции можно обозначать Iмакро, iмикро или другим образом.

			221
		i	V
i
	i		α
			L
i			L
			l
		i
	а		б

Рис. 27.1

Рассмотрим элемент контура L длиной l (РИС. 27.1Б). Центры микротоков, сцепленных с участком l, находятся внутри цилиндра длиной l и площади основания, равной площади S микротоков. Объём этого цилиндра

V S lcosα .
Число микротоков, сцепленных с участком	l,
N n V nS	lcosα

,

где n – концентрация магнетика – число микротоков (молекул), находящихся в

веществе единичного объёма. Сумма микротоков, сцепленных с участком			l,
i	l	i N inS lcosα npm lcosα npm l J l ,
pm – магнитный момент молекулы. Просуммируем эти выражения при			l 0 ,
т. е. проинтегрируем по всему контуру L:

Jdl i L

L

(27.4)

– теорема о циркуляции намагниченности: циркуляция вектора намагничен-

ности по произвольному замкнутому контуру равна сумме микротоков, сцепленных с этим контуром.

3) Теорема о циркуляции H

Преобразуем выражение теоремы о циркуляции B (27.3), подставив циркуляцию

J (27.4):

Bdl μ0 I L μ0 Jdl				B μ0 J dl μ0 I L ,
L	L			L
	B
			J dl			I		.
	μ
							L
L	0

Обозначим

B J H

μ0

– напряжённость магнитного поля – вспомогательная силовая характеристика магнитного поля.

Теорема о циркуляции напряжённости магнитного поля: циркуляция вектора напряжённости магнитного поля по произвольному замкнутому контуру равна сумме макротоков, сцепленных с этим контуром:

222

					.
	Hdl		I
				L
L

Напряжённость магнитного поля определяется только макротоками.

(27.5)

3.11.3. Связь магнитной индукции, намагниченности и напряжённости магнитного поля

1) В любом случае

B μ0 H μ0 J .
2) Для изотропных магнетиков, неферромагнетиков					J	H , J ~ H;
		J χH	,
χ – магнитная восприимчивость вещества.
Подставим (27.7) в (27.6):
B μ0 H μ0 χH μ0 1 χ H .
Обозначим
		μ 1 χ

– относительная магнитная проницаемость вещества.

С учётом определения (27.8) получим

B μ0μH .

(27.6)

(27.7)

(27.8)

(27.9)

Эта формула связи кууме µ = 1.

B

и

H

справедлива только для изотропных магнетиков. В ва-

В отсутствие магнетиков индукция магнитного поля макротоков

	B0 μ0 H .
	При наличии изотропного магнетика B μ0μH
	B	μ .
	B
	0

. Отсюда следует, что

Магнитная индукция при наличии магнетика отличается от индукции магнитного поля при том же распределении макротоков в µ раз. Возможно µ 1 (см. РАЗДЕЛ

3.11.6).

3) Для ферромагнетиков зависимость B(H) и µ(H) нелинейная (см. 3.11.9).

3.11.4. Условия на границе раздела двух магнетиков

Проанализируем, как изменяется магнитное поле при переходе из одной среды (магнетика) в другую.

Пусть имеются два изотропных магнетика (относительные магнитные проницаемости µ1 и µ2), граничащие друг с другом (РИС. 27.2). В среде с µ1 существует маг-

нитное поле с индукцией B1

и напряжённостью H1

. Макротоки на границе разде-

ла сред отсутствуют. Найдём векторные характеристики поля в среде с µ2 – B2 и H2 (в проекциях на нормаль n и касательную τ к поверхности раздела сред).

223

µ1	µ1		1	2
µ2	µ2		4	3
S				L
а				б
	Рис. 27.2

1) Bn

Воспользуемся теоремой Остроградского-Гаусса для

BdS 0 .

S

B

Выберем поверхность интегрирования S в виде цилиндра, основания которого параллельны границе раздела сред, а высота мала (РИС. 27.2А). Магнитный поток

S

BdS B	S	торц
1n
				S
				бок

BdS B			S	торц		B	B	S	торц
		2n				2n	1n
				0
	B	B
	2n		1n

0

;

(27.10)

– нормальная составляющая вектора магнитной индукции не претерпевает скачка на границе раздела магнетиков.

2) Hn

Связь B и H в изотропном магнетике

	B μ0μH ,
Поэтому, с учётом условия (27.10),
		H			μ
μ0μ1H1n	μ0μ2H2n		2n		1
		H			μ
			1n
					2

(27.11)

– нормальная составляющая напряжённости магнитного поля претерпевает скачок на границе раздела магнетиков.

3) Hτ

Воспользуемся теоремой о циркуляции H

Hdl I L .

L

Выберем контур интегрирования L в виде прямоугольника, одна пара сторон которого параллельная границе раздела сред (стороны 1-2 и 3-4 на РИС. 27.2Б), а дру-

гая мала (стороны 2-3 и 4-1). Циркуляция H по контуру L

	3		1
Hdl H1τl12 Hdl H2τl34			Hdl H1τ H2τ l12 0 ,
L	2	0	4	0

224
так как макротоки на границе раздела сред отсутствуют и I				L	0	;
	H	H
	2τ	1τ

(27.12)

– тангенциальная составляющая напряжённости магнитного поля не претерпевает скачка на границе раздела магнетиков.

4) Bτ

Из связи

B

и

H

(27.9) и условия (27.12) получим

B			B			B		μ
						2τ		2
1τ			2τ
μ μ			μ μ			B		μ
0	1		0	2		1τ		1

(27.13)

– тангенциальная составляющая магнитной индукции претерпевает скачок на границе раздела магнетиков.

225

Лекция 2865

3.11.5. Магнитный момент атома. Спин

i

Рис. 28.1

момент импульса

Электрон, движущийся по орбите вокруг ядра66, представляет собой микроток (РИС. 28.1). Так как заряд электрона отрицательный, сила тока i

	направлена против скорости									v , а магнитный мо-
	мент электрона pm – против момента импульса L .
	Модуль магнитного момента электрона
	pm iS ,									(28.1)
	где S = πr2 (r – радиус орбиты) – площадь орбиты;
	сила тока
	i		q			e		ev	,	(28.2)
			t			T		2πr
	где T – период обращения электрона по орбите;
	L me		vr		L me vr ,					(28.3)

где me – масса электрона. Подставив (28.2) в (28.1) и сравнив с (28.3), получим

pm	ev	πr		2		evr	pm		eL	,
	2πr					2			2m
									e
			p			e	L	.
				m		2m
						e

Гиромагнитное отношение орбитальных моментов

g	p		e
	m
	L		2m
			e

не зависит от r, v и т. п., а является характерной константой.

(28.4)

Помимо момента импульса и магнитного момента, описывающих орбитальное движение, электрон обладает ещё и собственным моментом импульса и магнитным моментом – спином. Спин – квантовый релятивистский эффект, не объяснимый с точки зрения классической теории.

Гиромагнитное отношение спиновых моментов

	gs	e		;	(28.5)
		m
		e

модуль собственного магнитного момента

65Эта лекция представлена в дополнительных материалах настоящего ЭУМК в форме презентации.

66С точки зрения современных – квантовых – представлений данная картина некорректна. Тем не менее сейчас, работая в рамках классической физики, мы представляем электрон как материальную точку, движущуюся по определённой (а именно круговой) траектории. Даже из таких пред-

ставлений мы получим результаты, согласующиеся с экспериментом.

226

pm		e	24	Дж	,
		2m	μБ 9,27 10	Тл
s
		e

(28.6)

µБ – магнетон Бора, ħ – постоянная Планка. Модуль собственного момента импульса

L 3 67. (28.7)

s	2

3.11.6. Классификация магнетиков

Магнетики

слабомагнитные вещества

сильномагнитные вещества

парамагнетики	диамагнетики	ферромагнетики
		Fe, Co, Ni
Al, Mg, Pt	H2O, Zn, Cu, Au
	В отсутствие магнитного поля

Демонстрация: Ориентация парамагнитного и диамагнитного стержня в магнитном поле

3.11.7. Диамагнетизм

Рассмотрим атом (один электрон, обращающийся вокруг ядра), находящийся во

внешнем магнитном поле с индукцией

B

. Магнитный момент

pm

и момент им-

пульса L электрона направлены под углом α к вектору магнитной индукции

(РИС. 28.2). Магнитное поле действует на электрон с моментом сил M (см. 3.8.3), вследствие этого изменяется момент импульса электрона. Изменение момента импульса за время dt

dL Mdt ,

так как M = pmB sin α,

dL pmBsinα dt .

67 Формулы (28.5), (28.6), (28.7) – экспериментальные результаты, обоснованные квантовой реля-

тивистской теорией. Обратим внимание на то, что gs pms .

Ls

α

	i

dθ

Рис. 28.2

227

За время dt плоскость, в которой лежат

pm

и

L , т. е.

плоскость нормали к орбите электрона, повернётся вокруг направления B на угол

dθ	dL		p Bsinαdt		p B	dt ;
			m		m
	Lsinα		Lsinα		L
угловая скорость этого вращения

ωL	dθ		p B		eB	.
			m
	dt		L		2m
					e

[здесь мы использовали гиромагнитное отношение орбитальных моментов (28.4)].

Вращение направлений магнитного момента и момента импульса электрона в атоме, находящемся в магнитном поле, вокруг направления вектора магнитной индукции называется ларморовой прецессией.

Угловая скорость ларморовой прецессии

ω		eB	.
L		2m
		e

При ларморовой прецессии атом приобретает добавочный магнитный момент

	, направленный против
pm

янным, то

[ср. вывод формулы (28.4)].

B ; если считать орбиту круговой и её радиус r посто-
	eω r	2	2	Br	2
			e
	L				(28.8)
pm	2		4m
				e

Получается, что все электроны в атомах вещества, магнитные моменты которых ориентированы беспорядочно, если поместить это вещество в магнитное поле, приобретут дополнительные магнитные моменты, направленные одинаково – против поля. Соответственно вещество намагнитится против внешнего магнитного поля. Этот эффект называется диамагнитным и присущ все веществам без исключения.

Намагниченность

J

Znp

m

,

где Z – число электронов в атоме, n – концентрация вещества; с учётом (28.8)

				J	Zne2B r2		Ze2n S	B ,
					4m		4πm
					e		e
где	r	2	– средний радиуса, а	S	– средняя площадь орбиты электрона.

Найдём магнитную восприимчивость диамагнетика. Так как µ ≈ 1, B μ0 H ; для изотропных слабомагнитных веществ J χH ;

	J	Ze2n S	μ0 H χ	Ze2μ n S
				0	.
		4πme		4πme

228

3.11.8. Парамагнетизм

Парамагнетиками являются вещества, для которых магнитные моменты атомов (т. е. суммарные магнитные моменты всех электронов, входящих в атом) в отсутствие внешнего магнитного поля отличны от нуля.

В магнитном поле магнитные моменты атомов ориентируются вдоль вектор намагниченности сонаправлен вектору магнитной индукции и магнетик усиливает внешнее магнитное поле.

B

χ

, поэтому > 0. Пара-

Парамагнитный эффект на несколько порядков сильнее диамагнитного и «перебивает» последний.

Зависимость магнитной восприимчивости парамагнетика от абсолютной температуры

χC T

– закон Кюри-Вейсса (опытный закон); C – константа – характеристика конкретного вещества. Качественное объяснение: с ростом температуры магнитная восприимчивость падает из-за усиления теплового движения молекул. Можно показать, что

			2
	χ	μ np
		0	m
		3kT

.

3.11.9. Ферромагнетизм

1. Свойства ферромагнетиков

1.µ >> 1

2.Нелинейная и неоднозначная зависимость

(РИС. 28.3)

J

H

,

B H

– гистерезис

3.Нелинейная зависимость μ H

4.Остаточное намагничивание: вещество сохраняет намагниченность при отключении внешнего магнитного поля.

5.Зависимость µ(T): при T > TК (точка Кюри) ферромагнетик теряет ферромагнитные свойства и превращается в парамагнетик.

2. Кривые гистерезиса

На РИС. 28.3А показана зависимость проекции намагниченности на какое-либо направление от проекции напряжённости магнитного поля на это направление. На РИС. 28.3Б показана зависимость проекции магнитной индукции внутри ферромагнетика на какое-либо направление от проекции напряжённости магнитного поля на это направление. На РИС. 28.3Б изображён полный цикл (максимальная петля гистерезиса) – зависимость Bz(Hz) в случае, если в ходе процесса намагничивания намагниченность образца достигает насыщения, а также один из бесконечного множества возможных частных циклов – зависимость Bz(Hz) в случае, если насыщение не достигается.

Кривая 0-1 на РИС. 28.3Б – кривая первичного намагничивания – зависимость B(H)

при увеличении напряжённости магнитного поля от нуля в случае, если образец до этого не был намагничен.

229

Определения обозначений на рис. 28.3 – характерных параметров ферромагнетика – даны в ТАБЛ. 28.1.

z

z

z

полный цикл

1

z

частный цикл

а

б

Рис. 28.3. Петли гистерезиса

Таблица 28.1

Параметры петель гистерезиса

	Обозначение	Величина	Определение
	Jr	Остаточная	Модуль намагниченности ферромагнетика в от-
		намагниченность	сутствие внешнего магнитного поля
	Br	Остаточная маг-	Модуль магнитной индукции внутри ферромаг-
		нитная индукция	нетика в отсутствие внешнего магнитного поля
		Коэрцитивная	Модуль напряжённости внешнего магнитного по-
	Hc		ля, которое нужно приложить, чтобы намагни-
		сила
			ченность ферромагнетика стала равной нулю
	Js	Намагниченность	Модуль максимально возможной намагниченно-
		насыщения	сти
		Напряжённость	Модуль минимальной напряжённости магнитно-
	Hs		го поля, при которой намагниченность макси-
		насыщения
			мальна

3. Кривая первичного намагничивания

Объясним ход кривой первичного намагничивания B(H). По определению напряжённости магнитного поля

μ H B
0	0

B μ0 H μ0 J ;

– индукция магнитного поля макротоков, т. е. внешнего магнитного по-

ля без учёта поля ферромагнетика. В процессе первичного намагничивания все силовые характеристики магнитного поля сонаправлены,

B H B0

Суммирование двух графиков: J(H) и B0

H μ0 J H .

= µ0H показано на РИС. 28.4.