Конспект лекций по общей физики (1-4 семестр)

230

J B B Jr

µ0 ×		+		=
0	H	0	H	0
		Рис. 28.4

Если определять относительную магнитную проницаемость как

μ 1 HJ .

Примерный ход зависимости µ(H) показан на РИС. 28.5.

µ

1

0

H

Рис. 28.5

H

	μ	B	, то
		μ H
		0

4. Энергия перемагничивания ферромагнетика

Энергия магнитного поля

	W		BH	dV ,
			2
		V

так как объёмная плотность энергии магнитного поля w BH2 ; V – объём образца.

Будем считать поле внутри ферромагнетика однородным, тогда

W wV Bz Hz V . 2

При изменении напряжённости магнитного поля на dHz изменение энергии магнитного поля

	B	H	dH	z
dW Vdw V	z	z
		2

.

Работа внешних сил по полному перемагничиванию образца (при изменении проекции напряжённости магнитного поля от Hs до –Hs)

Hs B		z	H	z	dH	z
A* W V							.
			2
Hs

231

Эта величина пропорциональна площади петли гистерезиса Bz(Hz).

Соответственно, чем больше площадь петли гистерезиса, тем больше потери энергии на перемагничивание образца при изменении направления напряжённости магнитного поля, т. е. изменении направления тока, создающего магнитное поле. По этому признаку (сравнительно большая или малая площадь петли гистерезиса) магнитные материалы делятся на жёсткие и мягкие, имеющие разное назначение.

Демонстрации: 1) Перемагничивание магнита

2)Эффект Баркгаузена

3)Точка Кюри

5.Толкование свойств ферромагнетиков

Магнитные свойства ферромагнетиков обусловлены спином электрона. Намагничивание ферромагнетика – коллективный квантовый эффект, обусловленный

обменными силами68.

В отсутствие внешнего магнитного поля внутри ферромагнетика имеются области, в пределах которых ферромагнетик спонтанно намагничен до насыщения – домены. В целом ферромагнетик не намагничен, так как направления намагниченности различных доменов различны (РИС. 28.6А).

а

б

Рис. 28.6

При наложении внешнего магнитного поля

B0

магнитные моменты доменов вы-

страиваются вдоль этого поля и образец намагничивается (РИС. 28.6Б). Этот процесс протекает в три этапа, обозначенные на кривой первичного намагничивания на РИС. 28.7:

68 Обменные силы – это не силы в смысле определения, данного нами, т. е. не мера какого-либо взаимодействия объектов. Происхождение обменных сил можно разъяснить только в рамках формализма квантовой механики; это выходит за рамки курса общей физики.

B

III

II

I

0

H

Рис. 28.7

232

I – слияние доменов, магнитные моменты ко-

торых близки по направлению к B0

;

II – расширение границ доменов, магнитные моменты которых близки по направлению к

B0 ;

III – разворот магнитных моментов доменов.

233

Лекция 29

3.12. Уравнения Максвелла

3.12.1. Уравнения Максвелла в интегральной и дифференциальной форме

Вспомним уравнения Максвелла в общем виде, записав их в интегральной и дифференциальной форме (ТАБЛ. 29.1).

Таблица 29.1

Уравнения Максвелла

I.

II.

III.

IV.

в интегральной форме в дифференциальной форме

		Edl			B		dS	rot E	B
					t				t
	L			S
						D				D
	Hdl							rot H j
			j				dS			t
L			S			t
		DdS				ρdV		divD ρ
		S		V
			BdS 0					divB 0
		S

Материальные уравнения для изотропной среды:

D ε0εE

,

B

μ0μH

.

Решив систему уравнений Максвелла с учётом материальных уравнений, можно рассчитать характеристики электромагнитного поля в любой задаче.

3.12.2. Физический смысл уравнений Максвелла

I. Переменное магнитное поле порождает переменное электрическое поле.

II. Переменное электрическое поле порождает переменное магнитное поле.

При этом E B . Из I и II уравнений Максвелла следует возможность существования электромагнитных волн (РИС. 29.1).

II.Магнитное поле порождается токами:

jdS I

S

Рис. 29.1

.

Второе слагаемое в правой части II уравнения Максвелла

jсм D

t

– плотность тока смещения.

III. Электрическое поле порождается электрическими зарядами:

ρdV qсвоб S .

V

234

IV. Магнитных зарядов не существует. Силовые линии магнитного поля замкнуты.

3.12.3. Относительность электрического и магнитного полей

y	t	y′		t′
				q
			τ0	r
			K′
	K	O′		x′

O	x
	Рис. 29.2

τ0

Рассмотрим взаимодействие тел с точки зрения двух наблюдателей: подвижного и неподвижного. Пусть имеется два заряженных тела, неподвижных друг относительно друга: точечный заряд и длинная равномерно заряженная нить; заряд расположен на расстоянии r от нити (РИС. 29.2). Найдём силу, с которой поле нити действует на точечный заряд.

В системе отсчёта K´, относительно которой точечный заряд и нить покоятся, точечный заряд равен q, а линейная плотность заряда нити

	dq	,
	dl
	0

dl0 – собственная длина элементарного отрезка нити. В этой системе отсчёта поле

нити – электростатическое (напряжённость поля

E0

) и сила, с которой оно дей-

ствует на точечный заряд,

F0 F10 F20

Из III уравнения Максвелла найдём

0

F10

qE0

.

E			τ	0
	0		2πε r
				0

,

(29.1)

F	qτ
	0
0	2πε r
	0
(см. задачу о поле длинной нити в РАЗДЕЛЕ 3.2.3).

С точки зрения наблюдателя, движущегося относительно рассматриваемой си-

стемы зарядов со скоростью v (и покоящегося относительно системы отсчёта K, см. РИС. 29.2), кроме электрической составляющей поля появляется ещё и магнит-

ная, так как нить, движущаяся со скоростью v , создаёт магнитное поле, которое действует на движущийся заряд q:

F F1 F2 .

Классическая механика

В классической механике сила – инвариант:

F F0 inv F2

0

.

Никакой магнитной составляющей силы Лоренца классическая механика не предусматривает. Это показывает, что электромагнитное поле – сугубо реляти-

235

вистский объект и рассматривать его нужно только с точки зрения релятивистской физики.

Релятивистская механика

Сила не инвариантна:

F inv

F

F0

.

Но уравнения Максвелла инвариантны. Заряд также является релятивистским инвариантом:

q inv

– постулируется.

Сила в релятивистской механике преобразуется по закону

			F F		1	v2		.
			0			c2
Зная F	и F qE , можно найти F		. Найдём сначала E							– напряжённость электриче-
	1	2
ского поля нити в системе отсчёта K.
III уравнение Максвелла (теорема Остроградского-Гаусса для E ):
					q		S		.
			EdS
			S		ε
					0

Здесь S – та же поверхность, что и для наблюдателя, покоящегося относительно системы отсчёта Kˊ, и результат расчёта напряжённости электрического поля должен быть аналогичен (29.1):

	E	τ
		2πε r
		0

,

(29.2)

где τ – линейная плотность заряда нити в системе отсчёта K (здесь и далее в этом выводе мы опускаем векторы, так как все векторные величины, входящие в выражения, приведённые выше в этом разделе, сонаправлены). В выражении (29.2) все величины инвариантны, кроме τ:

τ

dq

dq

τ

0

.

dl

v

v

1

2

1

2

dl

2

2

0

c

c

Подставив последнее выражение в (29.2), получим

E

τ0

E0

;

2πε r 1

v2

1

v2

0

c2

c2

F1 qE

qE0

F10

F0

.

1

v2

1 v2

1 v2

c2

c2

c2

Теперь найдём F2:

236

												1			v	2	1
					2																2						2
F F F F			1	v			F			F					c	2				v		F				v
							0															0						qE
					2																2						2
2	1	0		c				v	2		0						v	2		c			v	2		c
							1							1								1
								c	2								c	2					c	2
									v	2
– релятивистская поправка порядка											. Выразим силу F через E:
									c	2
							F qE					v	2
														qE .
												c	2

(29.3)

Теперь выразим второе слагаемое в выражении (29.3) – релятивистскую поправку к силе, с которой электромагнитное поле действует на заряд, – через другие величины, которые может измерить наблюдатель, покоящийся относительно системы отсчёта K. Для этого наблюдателя по нити идёт ток

	I	dq		τdl
		dt		dt

с учётом этого

vτ

,

Так как

c	2		1
			ε μ
			0	0

	F qE	v	2	qτ	qE	v		qI
									.
		c	2	2πε r		c	2	2πε r
				0				0

,

	F qE	ε μ qvI		qE qv	μ I	qE qvB
		0	0		0
		2πε r			2πr
			0

( B	μ	I	– модуль индукции магнитного поля прямого тока, см. пример в РАЗДЕЛЕ
	0
	2πr

3.7.2). Мы получили формулу Лоренца.

Выразим индукцию магнитного поля через напряжённость электрического поля в системе отсчёта Kˊ:

																E0
B	μ vτ		μ v	τ					ε μ v		τ					v		E
	0		0		0				0	0		0							0
	2πr		2πr			v	2		2πε r				v	2		c	2			v	2
				1						0	1							1
						c	2						c	2						c	2

.

Электромагнитное поле – единый объект. Его деление на электрическую и магнитную компоненты зависит от выбора системы отсчёта.

3.12.4. Преобразования компонент электромагнитного поля

, E y

E y

vBz

Ex Ex

1

v2

c2

v

By

By c2 Ez

Bx Bx

,

1

v2

c2

, Ez

, Bz

E		vB
z							y
						2		,
	1			v
				c		2
				v
Bz		c2 E y
										.
		1			v2
					c2

237

Две из этих формул (Ey и Bz при

B z

0

) мы вывели в ПРЕДЫДУЩЕМ РАЗДЕЛЕ. Другие

формулы выводятся похожим образом. В векторной форме преобразования компонент электромагнитного поля записываются как

E

Можно показать, что

E				vB									1			vE
											B
													c	2
										, B
							2										2
	1				v								1		v
					c		2								c		2
				E		2		inv ,			BE inv .
B	2
				c		2

.

3.12.5. Силовая характеристика электромагнитного поля как 4-тензор

Тензор электромагнитного поля:

0

E

x

E

y

E

z

E

0

cB

cB

x

z

y

E

y

cB

z

0

cB

x

cB

cB

0

E

z

y

x

3.12.6. Обзор: Постоянное электрическое и магнитное поле

В ТАБЛИЦЕ 29.2 используются те же обозначения, что при изучении соответствующих тем в настоящей главе.

Таблица 29.2

Величина/закон

Электрическое поле

Магнитное поле

Характеристика

Электрический заряд q

Сила тока I

источника

Плотность

Объёмная плотность заряда

Плотность тока

характеристики

ρ

dq

j

dI

n

источника

dV

dS

Основная

Напряжённость

Магнитная индукция

силовая

E

F

F q

vB

,

B

F

1

2max

характеристика

q

2 0

q v

0

0

Принцип

E Ei

,

E dE

B Bi

,

B dB

суперпозиции

Силовая

Напряжённость поля точечного

Закон Био-Савара-Лапласа

характеристика

заряда (закон Кулона)

точечного

μ

qr

dB

dl,r

источника

E

0

I

4π

r3

4πε0r

3

в вакууме

238

Величина/закон

Электрическое поле

Теорема о циркуляции

E

:

Edl 0

,

rotE 0

Теорема

L

Остроградского-

Теорема Остроградского-

Гаусса, теорема о

циркуляции

Гаусса для E

:

q

,

divE

ρ

EdS

S

S

ε

ε

0

0

Потенциал

Энергетическая

A

φ

характеристика

12

12

q

0

2

Связь между

E φ

,

φ

Edl

энергетической и

12

1

силовой

φ

ρ

характеристиками

2

ε

0

Момент

Дипольный момент

p

ql

e

Момент силы

M

p

,E

e

Энергия

Энергия диполя

W p E

e

Силовая

Поляризованность

e

характеристика

P

p

поля в веществе

V

Вспомогательная

Электрическое смещение

силовая

D ε E P

характеристика

0

Таблица 29.2 (продолжение)

Магнитное поле

Теорема ОстроградскогоГаусса для B :

	BdS 0 ,		divB 0
	S
Теорема о циркуляции B :
		0			0
	Bdl	μ I	L	, rot B	μ	j
L
Векторный потенциал					A	:

BA

Магнитный поток69

Φ BdS S

A μ	j
2
0

Магнитный момент

p	ISn
m

M pm ,B

Энергия контура с током

W pm B

Намагниченность

		m
	J	p
		V

Напряжённость

	H	B	J
		μ
		0

69 Эта величина не является энергетической характеристикой магнитного поля. Она приведена в этой ячейке ТАБЛ. 29.2, так как занимает в некоторых формулах, относящимся к проводникам с током, место, аналогичное тому, что занимает потенциал (разность потенциалов) или заряд в формулах, описывающих заряженные проводники.

239

Величина/закон

Теорема ОстроградскогоГаусса, теорема о циркуляции поля в веществе

Характеристика

вещества

Связь силовых характеристик для изотропной среды

Условия на границе раздела двух сред

Работа поля

Характеристика

проводника

Характеристика двух проводников

Энергия

проводника

Таблица 29.2 (продолжение)

Электрическое поле

Магнитное поле

Теорема Остроградского-

Теорема о циркуляции J :

Гаусса для

P :

Jdl i

rot J jмикро

S

,

PdS

q

, divP ρ

L

S

L

Теорема Остроградского-

Теорема о циркуляции H :

Гаусса для

D :

Hdl I

rot H jмакро

DdS

q

, divD ρ

L

,

S

L

S

Диэлектрическая

Магнитная

восприимчивость æ

восприимчивость χ

Относительная

Относительная

диэлектрическая

магнитная

проницаемость

проницаемость

ε 1 æ

μ 1 χ

P ε æE

J χH

0

D ε εE

B μ μH

0

0

D

D

B

B

2n

1n

2n

1n

E

ε

H

μ

2n

1

2n

1

E

1n

ε

H

1n

μ

2

2

E

2τ

E

1τ

H

H

2τ

1τ

D

ε

B

μ

2τ

2

2τ

2

D

ε

B

μ

1τ

1

1τ

1

Работа электростатического

Работа магнитного

поля

по

перемещению

проводника

с

поля по перемещению заряда

током

A

q φ φ

A12 I Φ2 Φ1

12

2

1

Ёмкость

Индуктивность

C

q

L

Φ

φ

I

Взаимная ёмкость

Взаимная индуктивность

C

q

Φ12

12

φ

φ

M12

I1

2

1

Энергия заряженного

Энергия проводника с током

конденсатора

LI2

Φ2

2

2

ΦI

W CU

QU

Q

W

2

2

2L

2

2

2C