Конспект лекций по общей физики (1-4 семестр)

		210
где –e – заряд электрона,	E	– напряжённость электрического поля внутри про-

водника;
0 eE e vB		E vB		, E vB .

Поле E внутри проводника однородно.

Разность потенциалов между концами проводника, по интегральной связи напряжённости и потенциала электростатического поля,

U φ φ El vBl .

Применим к рассматриваемому проводнику обобщённый закон Ома:

φ φ		E 0
		i

(правая часть этого равенства равна нулю, так как тока в проводнике нет). Отсюда

Ei

φ φ U vBl .

Но v

dx

62, поэтому

dt

d BS

Ei Bl

dx

B

dS

d BS

dΦ

, ч. т. д.

dt

dt

dt

dt

dt

(Здесь S = lx – площадь поверхности, ометаемой проводником при его движении; S направлен по нормали к этой поверхности.)

Мы получили разными способами одинаковый результат – закон ФарадеяМаксвелла. Это указывает на единство природы электромагнитного поля в разных его проявлениях.

Демонстрации: 1) Опыты Фарадея

2)Правило Ленца

3)Токи Фуко

Вихревые токи (токи Фуко) – токи, текущие в сплошном металлическом проводнике под действием переменного магнитного поля. Переменное магнитное поле порождает вихревое электрическое поле, которое является причиной возникновения токов. Эти токи взаимодействуют с магнитным полем по закону Ампера и вызывают нагревание проводника по закону Джоуля-Ленца.

Явление электромагнитной индукции имеет огромное прикладное значение.

3.9.2. Самоиндукция

Рассмотрим замкнутый проводник (проводящий контур), по которому идёт ток, создающий магнитное поле – собственное магнитное поле проводника. Если этот ток – переменный, то магнитный поток сквозь поверхность, натянутую на контур с током (собственный магнитный поток), будет изменяться и возникнет индуцированное электрическое поле.

Самоиндукция – частный случай явления электромагнитной индукции – возникновение электрического поля в замкнутой цепи в результате изменения силы тока в этой цепи.

62 Строго говоря, здесь и выше в данном подразделе надо писать vx вместо v; мы этого не делаем, чтобы не усложнять запись, так как vx = v > 0.

211

Собственный магнитный поток

Φs

BsdS S

,

где Bs

– индукция собственного магнитного поля проводника. Так как Bs ~ I (току

в проводнике), Φs ~ I.

Потокосцепление – суммарный собственный магнитный поток проводника, имеющего более одного витка:

Ψ Φsi .

Закон Фарадея-Максвелла в случае самоиндукции запишется как

E	dΦ	s	,	(26.7)
s	dt

Es – ЭДС самоиндукции.

Индуктивность – характеристика проводника, равная отношению собственного магнитного потока (потокосцепления) к току в проводнике:

L	Φ	s	;
	I

[L] = Гн.

(26.8)

Индуктивность зависит от формы и размеров проводника (а также магнитных свойств среды) и не зависит от силы тока, магнитной индукции и других характеристик поля и тока (в случае, если нет ферромагнитного сердечника; см. РАЗДЕЛ

3.11.9).

Из определения индуктивности (26.8) следует

Φs

LI

.

Подставим это выражение в закон Фарадея-Максвелла (26.7):

E

d LI

I

dL

L

dI

I

dL dI

L

dI

dI

I

dL

L

s

dt

dt

dI dt

dt

dI

dt

dt

При L = const (проводник не деформируется и нет ферромагнетиков)

.

Es L dtdI .

При расчёте индуктивности нужно мысленно пустить по проводнику ток и найти собственный магнитный поток (потокосцепление) проводника.

ПРИМЕРЫ

1) Расчёт индуктивности длинного соленоида

Имеется соленоид длиной l с поперечным сечением S, имеющий плотность намотки n (РИС. 26.5). Длина соленоида много больше его поперечных размеров. Найти индуктивность соленоида.

Пустим по соленоиду ток I. Магнитное поле внутри соленоида однородно – так как соленоид длинный, краевыми эффектами пренебрегаем. Направление

I

S

l

Рис. 26.5

212

магнитной индукции показано на РИС. 26.5, её модуль

B μ nI μ		N	I
0	0	l

(см. ПРИМЕР 2) В РАЗДЕЛЕ 3.7.2), n Nl – плотность намотки соленоида.

Магнитный поток сквозь один виток соленоида

	Φ BSn BS	μ NIS
		0
		l

потокосцепление

Ψ NΦ μ0N2S I . l

Индуктивность соленоида

L Ψ μ0N2S .

I l

;

Эта величина зависит только от размеров и числа витков соленоида, как и следовало ожидать.

2) Расчёт индуктивности тонкого тороида

Найти индуктивность тонкого тороида радиуса R, сечением S, имеющего N витков (РИС. 26.6).

Пустим по тороиду ток I. Задача о нахождении индукции магнитного поля тороида была рассмотрена в РАЗДЕЛЕ 3.7.2, ПРИМЕР 3. Модуль магнитной индукции

	B	μ NI	,
		0
		2πR

направление B показано на РИС. 26.6. Магнитный поток сквозь один виток тороида

	Φ BSn BS	μ NIS	;
		0
		2πR

потокосцепление

Ψ NΦ μ0N2S I . 2πR

Индуктивность тонкого тороида

L Ψ μ0N2S μ0N2S , I 2πR l

где l = 2πR – длина тороида. Демонстрация: Экстра-ток размыкания

		I
	O
	R
	Рис. 26.6

213

ПРИМЕР

Экстра-ток размыкания

Катушка индуктивностью L и сопротивлением R подключена к источнику постоянного тока параллельно с лампой накаливания, сопротивление которой равно R′ (схема на РИС. 26.7). В начальный момент времени ключ K размыкают и катушка вместе с лампой отключаются от источника. Найти зависимость тока в цепи от времени.

I	R′		После размыкания ключа изменяющийся ток в катушке приво-
			дит к возникновению электрического поля, энергетическая ха-
I	R, L		рактеристика которого – ЭДС самоиндукции Es L			dI	. Это един-
						dt
		K	ственная ЭДС в цепи после размыкания ключа.
			Применим обобщённый закон Ома:
	E				dI
	Рис. 26.7		I R R Es	I R R	L dt .
			Разделим переменные в этом дифференциальном уравнении и
проинтегрируем:

Здесь

	I			E
		0		R

dI

R R

dt

,

I

L

I

dI

R R

t

I

R R

dt ln

t ,

I

L

I

L

I

0

0

0

I t I0e

R R

t

L

.

(26.9)

– ток в катушке до размыкания ключа (внутреннее сопротивление

источника считаем пренебрежимо малым по сравнению с сопротивлением катушки). График функции (26.9) представлен на РИС. 26.8.

В этом примере мы рассмотрели пример ре-

лаксационного процесса, т. е. процесса при-

ближения какой-либо физической величины к её равновесному значению – в данном случае при t → ∞ I → 0. Характерный параметр этого процесса – время релаксации – время, за которое сила тока в цепи уменьшится в e раз:

	τ	L	.
		R R

I

I0

0

t

Рис. 26.8

Теперь разберёмся, почему лампа сразу после размыкания ключа ярко вспыхивает, как мы видели в демонстрационном экс-

перименте. Сравним ток в лампе до размыкания ключа

I E

0 R

с током I после размыкания:

214

I

I 0

			R R	t	R
	Ee		L
		RE

	R			R R	t
		e		L
	R

.

				R R	t	1
	При малых t (сразу после размыкания ключа)	e		L

тивление лампы накаливания сравнительно велико), то резко увеличивается, а, значит, лампа ярко вспыхивает.

I

и, если R′ >> R (а сопро-

	и мощность лампы
I0

3.9.3. Взаимная индукция
Пусть имеются два замкнутых проводящих контура 1 и
2, расположенные достаточно близко друг к другу	I1	I2
(РИС. 26.9). По контуру 1 идёт ток I1, так что контур 2
находится в магнитном поле контура 1. Поток индук-
ции магнитного поля контура 1 сквозь поверхность,
натянутую на контур 2, Φ12 ~ I1, так как B1 ~ I1. Если ток		1	2
I1 переменный, то в проводнике 2 возникает перемен-
ное электрическое поле и ток I2. В свою очередь, контур		Рис. 26.9
2 создаёт магнитное поле, пронизывающее контур 1;

соответственно, магнитный поток Φ21 ~ I2. Таким образом два проводника влияют друг на друга.

Взаимная индукция – частный случай явления электромагнитной индукции – возникновение электрического поля в проводнике под действием переменного тока в другом проводнике, близко расположенным к данному проводнику.

Магнитный поток сквозь поверхность, натянутую на проводник 2, создаваемый проводником 1,

Φ12 M12I1

;

		Φ
M		12
12		I
		1

– коэффициент взаимной индукции (взаимная индуктивность) – характери-

стика взаимного влияния проводников. Коэффициент взаимной индукции зависит от формы, размера проводников, их взаимного расположения, магнитных свойств среды. Возможно M12 < 0.

ПОЗДНЕЕ мы докажем, что в отсутствие ферромагнетиков коэффициенты взаимной индукции равны:

M	M
12	21

– теорема взаимности.

Закон Фарадея-Максвелла для случая взаимной индукции:

E12 M12 dIdt1 , E21 M21 dIdt2 .

Демонстрация: Взаимная индукция

215

ПРИМЕР

Расчёт взаимной индуктивности двух длинных соленоидов, надетых друг на друга

На катушку длиной l и сечением S навито две обмотки с числом витков N1 и N2 (РИС. 26.10А), соединённые последовательно так, что ток по ним будет течь в одну сторону (схема на РИС. 26.10Б). Найти взаимную индуктивность обмоток и индуктивность системы.

I		2
					1
						S	I	L1
					,
				,
							I	L2
				l
				а				б

Рис. 26.10

Пустим по обмоткам ток I. Магнитные поля, создаваемые обеими обмотками, однородны, так как соленоид длинный, и направлены в одну сторону (РИС. 26.10А).

Модуль индукции магнитного поля обмотки 1 (см. ПРИМЕР 2) В РАЗДЕЛЕ 3.7.2)

B1		μ N		I	.
		0	1
			l

Поток магнитного поля, создаваемого обмоткой 1, сквозь поверхность, натянутую на виток обмотки 2,

	Φ12 B1Sn2	B1S	μ N SI		,
			0	1
				l

потокосцепление

	Ψ	N Φ			μ N N SI
					0	1	2
	12	2	12			l

.

Аналогично потокосцепление обмотки

Ψ
21

Коэффициенты взаимной индукции

	M		Ψ
			12
	12		I

2, обусловленное током в обмотке 1,

	μ N N SI			.
	0	1	2
		l
	μ N N S			M21 .
	0	1	2
		l

Получилось M12 = M21; таким образом мы доказали теорему взаимности для частного случая.

Потокосцепление всей системы

Ψ Ψ11 Ψ22 Ψ12 Ψ21 ,

где Ψ11, Ψ22 – собственные магнитные потоки обмоток 1 и 2 соответственно;

(см. ПРИМЕР 1) РАЗДЕЛА 3.9.2).

		2	S
Ψ	μ N			I
	0	1
		l

Индуктивность системы

216

						2	S								2		S
Ψ11			μ N					I		,	Ψ22		μ N					I
				0		1								0	2
					l										l
Получим
			2	S					μ N N S							μ S
	μ N				I	2								I					N
	0		2							0	1	2					0
		l									l						l		1
	L			Ψ			μ S				N1	N2			2
								0							.
				I				l

В случае, когда токи в обмотках текут в разные стороны,

N	2	I
2

.

	M	M		μ N N S
				0	1	2
	12	21			l

,

Ψ

μ S
0	N
l	1

N	2	I
2

,

L

μ S
0	N
l	1

N
	2
2

.

217

Лекция 27

3.10. Энергия магнитного поля

3.10.1. Энергия проводника с током

Пусть проводник индуктивностью L включён в электрическую цепь. Найдём энергию проводника при токе I, т. е. работу индуцированного электрического поля (ЭДС самоиндукции Es) при возрастании тока в проводнике от 0 до I.

Приращение энергии при перемещении по проводнику малого заряда dq

dW

здесь δA* – работа внешних сил, δAs

а Es L dtdI ,

dW

*	δAs Esdq ,
δA

– работа электрического поля. Так как dq = Idt,

	L	dI	Idt LIdI ;
		dt

		I		LI	2
	W		LIdI			.
				2
		0

Энергия магнитного поля проводника индуктивностью L при токе I

	LI2	Φ I		Φ2
W	2	s		s	,	(27.1)
		2		2L

где Φs – собственный магнитный поток (потокосцепление) проводника.

3.10.2. Энергия взаимодействия проводников с токами

Пусть имеются два проводника с токами I1 и I2, расположенные близко друг к другу (РИС. 26.9). Энергия магнитного поля этой системы

W

где W12 – взаимная энергия.

W1

W2

W12

,

Энергия магнитного поля равна работе источников тока, которая необходима для того, чтобы это поле создать, т. е. увеличить токи в проводниках от 0 до I1 и I2 соответственно. Сначала доведём ток в контуре 1 от 0 до I1 (при разомкнутом контуре 2); работа источника в контуре 1 по (27.1)

	A W		L I	2
			1	1
	*
	1	1	2

,

где L1 – индуктивность проводника 1. Затем замкнём контур 2 и увеличим ток в нём от 0 до I2. Работа источника в контуре 2

A2* W2 L22I22 ,

здесь L2 – индуктивность проводника 2. Но при этом благодаря взаимной индукции в контуре 1 будет возникать электрическое поле (ЭДС взаимной индукции

E21 M21 dIdt2 ). Чтобы скомпенсировать его влияние, источник в контуре 1 должен совершать дополнительную работу по перемещению малого заряда dq1 = I1dt

218

δA* 21

E dq
21	1

	M	dI	I dt
		2
	21	dt	1

M	I dI	2
21	1

;

интеграл от этого выражения по I2 при I1 = const – взаимная энергия

A* 21

W21

I2

		M	I dI	2
		21	1
	0

M	I	I
21	1	2

.

Итак, энергия магнитного поля двух проводников

	W	L I	2		L I	2	M
								I	I
		1	1		2	2				.
		2			2		21	1	2

Если действовать в обратной последовательности, т. е. сначала увеличивать ток в контуре 2, затем – в контуре 1, то результат должен быть тем же:

W W1 W2 W12 W1 W2 W21 W12 W21 M12 M21 .

Мы доказали теорему взаимности (см. РАЗДЕЛ 3.9.3).

3.10.3. Объёмная плотность энергии магнитного поля

Энергия магнитного поля длинного прямого соленоида индуктивностью L, по которому идёт ток I,

		W			LI		2
								.
					2
Индуктивность соленоида									V
	2	S		μ N			2	Sl
L	μ N								μ n V
	0				0
									2
	l				l	2			0

,

(27.2)

где N – число витков соленоида, l – его длина, S – площадь поперечного сечения,

	V = Sl – объём соленоида, n	N	– плотность намотки. Подставим (27.2) в (27.1):
		l
				2	2		B	2
			W	μ n I		V			V ,
				0
				2			2μ
								0

так как модуль индукции магнитного поля длинного соленоида B = µ0nI.

Объёмная плотность энергии магнитного поля

	w	W
		V

		B	2
		2μ
			0

.

Этот результат обобщается на случай неоднородного магнитного поля.

	В вакууме напряжённость магнитного поля			H		B
						μ
						0
		w	BH		;
			2

эта формула справедлива для любой среды. В однородной неферромагнитной среде

w B2

2μ0

(см. 3.1.4), отсюда

219

(относительная магнитная проницаемость неферромагнитной среды µ ≈ 1, см.

3.11.6).

Энергия неоднородного магнитного поля в области пространства объёмом V

	W wdV		BH	dV
			2
	V	V

.

В общем случае объёмная плотность энергии электромагнитного поля

здесь

D

	w	DE		BH	,
		2		2
– электрическое смещение, E		– напряжённость электрического поля.

3.11. Магнитное поле в веществе

3.11.1. Макротоки и микротоки. Намагниченность

Макротоки – упорядоченное движение заряженных частиц, при котором частицы перемещаются на расстояния, много большие межмолекулярных.

Микротоки – движение заряженных частиц внутри атомов и молекул.

Магнитное поле в веществе определяется полем макротоков и усреднённым полем микротоков:

B B0 B .

поле макротоков	поле микротоков

Каждый электрон в атоме (молекуле), двигаясь вокруг ядра, создаёт микроток и собственное магнитное поле; это движение характеризуется микротоком i и маг-

нитным моментом pm . В отсутствие внешнего магнитного поля (макротоков) все

магнитные моменты атомов ориентированы разнонаправленно и

ТАБЛ. 27.1).

B 0

(см.