Конспект лекций по общей физики (1-4 семестр)

180

										R							R						R							R				Q				dr				R	Q		dr
		φ R		φ R						1							0						1								0											1
U φ	φ											E		dr				E	IIr	dr				E		Ir	dr												2							2
			1			2							r																			4πε ε						r					4πε ε		r
										R							R						R							R												R
																																			0	2							0	1
										2							2						0								2											0
							R						R
				Q		1	0			1				1			Q				1					1				1						1
			4πε			ε r			ε r							4πε				ε R					ε R				ε R						ε R
							2							0
				0		2				1								0			2	0				2	2		1			1			1		0
							R						R
							Q			ε R R ε R R ε R R ε R R																							.
												1	1		2	1		0	1			2	0			2		2	1		2
							4πε										ε ε R R R
								0										1	2		0	1	2
Ёмкость конденсатора
							Q									4πε0ε1ε2R0R1R2
						C U																												.
											ε R R ε R R ε R R ε R R
												1		1	2		1	0	1			2		0		2		2	1			2

При ε1 = ε2 = ε этот результат переходит в формулу, приведённую в ТАБЛ. 22.1.

181

Лекция 23

3.4.4. Соединения конденсаторов

1. Последовательное соединение

Последовательное соединение конденсаторов – соединение, при котором конденсаторы соединяются разноимённо заряженными обкладками.

На РИС. 23.1 изображена схема батареи из N конденса-

C1

C2

Ci

CN

торов, соединённых последовательно. Заряд каждого

конденсатора равен заряду всей батареи, так как все

Рис. 23.1

обкладки кроме крайних (левая обкладка конденсато-

ра С1 и правая обкладка CN на схеме РИС. 23.1) изолированы и сумма их зарядов равна нулю:

Q Q		Q
1	2	i
Напряжение на i-м конденсаторе

	U	Q
		i
	i	C
		i

.

QN

Q

.

Напряжение на батарее есть сумма напряжений на каждом из конденсаторов:

	U		i						Q
									i
				U
									C
									i
	Ёмкость батареи
	C	Q			1
		U				1
						C
							i

2. Параллельное соединение

	Q			1	.
			C
				i
	1			1
	C			C
				i

.

C1

C2

Ci

CN

Рис. 23.2

Параллельное соединение конденсаторов –соединение, при котором конденсаторы соединяются одноимённо заряженными обкладками.

На РИС. 23.2 изображена схема батареи N конденсаторов, соединённых параллельно. Напряжение на каждом из конденсаторов одинаково и равно напряжению на всей батарее:

U1 U2

Ui

UN U .

Заряд батареи равен сумме зарядов каждого из конденсаторов:

Q Qi CiUi U Ci .

	Ёмкость батареи
		Q
	C		Ci ,	C		C	i	.
		U

Нужно соблюдать правила построения электрических схем!

182

3.5. Энергия электростатического поля

3.5.1. Энергия заряженного конденсатора

Пусть конденсатор ёмкостью C имеет заряд q. Перенесём положительный малый заряд dq с отрицательно заряженной обкладки на положительно заряженную (РИС. 23.3). При этом внешними силами совершается работа

*	dq φ φ Udq	q	dq .
δA		C

Работа внешних сил по зарядке конденсатора от 0 до Q

		Q	qdq		Q	2
	*
	A		C		2C		.
		0

Так как работа – мера изменения энергии, W = A*,

W	Q	2		CU	2		QU
	2C			2			2

(по определению ёмкости Q = CU). Демонстрация: Энергия конденсатора

q –q dq

Рис. 23.3

3.5.2. Объёмная плотность энергии электрического поля

	Q		–Q	Рассмотрим заряженный плоский конденсатор (РИС. 23.4); заряд
				конденсатора равен Q, площадь обкладок – S, расстояние между об-
				кладками – d, конденсатор заполнен диэлектриком с относитель-
				ной диэлектрической проницаемостью ε. Электрическое поле
		d		внутри конденсатора однородно,	его напряжённость равна E . Ём-
				кость этого конденсатора C ε0εS	, а напряжение между обкладка-
	Рис. 23.4
				d

ми (по интегральной связи напряжённости и потенциала) U = Ed. Энергия конденсатора

	CU	2		ε εS				2
W					E d	2		ε εE V
				0				0
					2
	2			2d				2

где V = Sd – объём конденсатора.

,

(23.1)

Объёмная плотность энергии электрического поля – энергетическая характеристика поля, равная энергии поля в единичном объёме

	w		W
			V
для однородного поля,
	w	dW		.
			dV

для неоднородного поля.

В изотропной среде с относительной диэлектрической проницаемостью ε

w ε0εE2 2 .

(23.2)

					183
	Доказательство
	Пусть в пространстве существует электростатиче-									φ + dφ
	ское поле. Разобьём пространство, на					плоские
										φ
	конденсаторы: вдоль любой пары близко распо-
	ложенных друг к другу эквипотенциальных по-
	верхностей можно мысленно разместить тонкие
	проводники, которые служат обкладками плоско-
	го конденсатора (РИС. 23.5) (при этом поле не ис-
	казится, так как проводник в электростатическом
	поле эквипотенциален). По формулам					(23.1)			и	Рис. 23.5
	(23.2) объёмная плотность энергии
	w	W			ε εE		2
								, ч. т. д.
					0
		V				2
	Так как в изотропной среде D ε0εE ,
	w		ε εE E					DE	.
			0
					2			2
	Выражение объёмной плотности энергии электрического поля
				w		DE
						2

справедливо для любой среды.

Согласно определению объёмной плотности, энергия электрического поля в объёме V

	W wdV		DE	dV
			2
	V	V

.

ПРИМЕР

Энергия электрического поля заряженной сферы

По сфере радиуса R, находящейся в безграничном однородном диэлектрике относительной диэлектрической проницаемостью ε, равномерно распределён заряд Q (РИС. 23.6). Найти энергию электрического поля в сферическом слое, внутренний радиус которого равен r1, а внешний – r2 (r1, r2 > R), концентричном заряженной сфере, и энергию ε электрического поля во всём пространстве.

Сначала нужно найти напряжённость электрического поля. Аналогичная задача (при ε = 1) была решена нами ранее (см. ПРИМЕР 1) В РАЗДЕЛЕ 3.2.3). Воспользовавшись теоремой Остроградского-

Гаусса для	D и связью D и E в изотропном ди-
электрике,	получим, что при r > R (область I на РИС. 23.6)

EIr	Q	,
	4πε εr2
	0

I

II

Q

O R

r

dr

Рис. 23.6

184

при r < R (область II) EIIr = 0.

В области I объёмная плотность энергии электрического поля

	w	r	ε εE
			0
	I		2

2		ε εQ		2
Ir		0
		2	ε	2	2	4
		2 16π			ε r
			0

		Q		2
		2	ε εr		4
		32π
				0

.

Разобьём пространство вне заряженной сферы на бесконечно тонкие сферические слои, концентричные заряженной сфере. Энергия электрического поля в слое радиуса r и толщины dr

					Q			2													2
dW w (r)dV														2						Q dr
					2						4	4πr dr											2
	I						ε εr												8πε εr
				32π
								0					2								0
Энергия поля в сферическом слое радиусами r1 и r2
r	2					2					r					2
2					Q					1	2			Q						1		1
W	Q dr
	8πε εr	2			8πε ε r									8πε ε						r		r
r											r
	0						0									0				1		2
1											1
Энергия поля во всём пространстве
					2									Q	2
	0				Q dr				2
	W			8πε εr									8πε εR
			R
					0									0

(внутри заряженной сферы поля нет).

.

.

Заметим, что энергия поля всегда положительна вне зависимости от знака заряда.

3.6. Электрический ток

3.6.1. Электрический ток. Сторонние силы

В непостоянном электрическом поле напряжённость поля внутри проводника

E 0

и имеет место электрический ток.

Направление тока – направление упорядоченного движения положительно заряженных частиц.

Сила тока56 – скалярная алгебраическая величина – характеристика тока, равная заряду, проходящему через поперечное сечение проводника в единичный промежуток времени:

	I	dq
		dt

ампер – одна из основных единиц СИ.

; [I] = А,

Знак силы тока определяется тем, совпадает ли направление движения положительных зарядов с выбранным положительным направлением обхода проводящего контура (см. НИЖЕ).

Плотность тока – векторная характеристика тока, по модулю равная заряду, проходящему в единичный промежуток времени через единичный участок поперечного сечения проводника, а по направлению совпадающая с направлением движения положительных зарядов (РИС. 18.1)57:

56Эту величину в электротехнике называют током.

57РИСУНОК 18.1 следует нарисовать заново.

185

j

dI dS

n

.

Почему возникает электрический ток? На некотором участке проводника происходит разделение зарядов. Такое разделение не может произойти под действием кулоновского (электростатического) поля; под действием кулоновского поля разделение зарядов, наоборот, исчезает. Разделение зарядов происходит под действием электромагнитных (неэлектростатических) полей; эти поля называют

сторонними силами58.

I уравнение Максвелла:

		Edl			B	dS
					t
		L		S
при		Edl 0
	L
				Edl	A	,
					q
			L
					0

;

здесь A – работа электрического поля по перемещению пробного заряда q0 по замкнутому контуру L. Представим напряжённость электрического поля в проводнике как

E E	кул	E	стор

(23.3)

– сумму напряжённостей кулоновского и неэлектростатического полей;

Edl

L

E	кул	E	стор	dl
L

E	кул
	dl
L

E	стор	dl	B	dS
			t
L		S

.

									0		1 +	– 2
Теперь рассмотрим незамкнутый контур 1-2, лежащий в
проводнике (РИС. 23.7). Интеграл по этому контуру												Рис. 23.7
Edl Eкул E		стор dl Eкулdl Eсторdl
2	2	2				2
1	1	1				1
		2	сторdl;
	φ1	φ2 E
		1
						2		стор
				12			E		dl
				E
						1

– электродвижущая сила (ЭДС) – энергетическая характеристика электромагнитного поля (поля сторонних сил), равная работе сторонних сил по перемещению единичного положительного заряда из начала в конец проводника.

58 Здесь и далее мы сталкиваемся с исторически сложившейся, но не очень удачной терминологией: сторонние силы – это не силы, а поля, т. е. физические объекты; ЭДС – это не силовая, а энергетическая характеристика поля.

186

3.6.2. Закон Ома

Большинство проводников подчиняется закону Ома. Экспериментальный59 закон

Ома в дифференциальной форме:

j σE

,

(23.4)

где σ – удельная электропроводность вещества. Закон Ома справедлив для веществ, в которых концентрация носителей заряда остаётся неизменной.

Удельное электрическое сопротивление вещества

σ

		ρ		1	;
				σ
	См		, [ρ] = Ом·м.
	м

Подставим напряжённость электрического поля в виде (23.3) в закон Ома в форме (23.4), затем умножим скалярно на элемент тока dl :

j σ Eкул Eстор ,

jdl σEкулdl σE	сторdl Eкулdl	Eсторdl .
	ρ	ρ

Умножим это выражение на ρ и проинтегрируем по контуру 1-2 (РИС. 23.7):

2

2

кул

2

стор

ρ jdl

E

dl

E

dl

1

2

φ

φ

1

1

1

По определению плотности тока

jdl

dI

ndl

dI

dl

I

dl

dS

dS

S

,

E12

.

(23.5)

где S – площадь сечения проводника в направлении, перпендикулярном плотности тока. Подставим это выражение в (23.5) и проинтегрируем по участку 1-2:

		2	ρdl
	I				φ	φ E
			S		1	2	12 .
		1

Интеграл в левой части этого равенства – электрическое сопротивление участка цепи 1-2 – характеристика проводника, зависящая от формы, размеров и материала:

	2
R12	ρdl		.	(23.6)
	1	S

С учётом определения (23.6) перепишем (23.5) в виде

	IR	φ φ E			(23.7)
	12	1	2	12

– обобщённый закон Ома для участка цепи. Здесь:

φ1 – φ2 – разность потенциалов на участке 1-2;

E12 – ЭДС на участке 1-2;

59 Этот закон для металлических проводников будет выведен в ПАРАГРАФЕ 6.5.

				кул
IR	U			A
				12
12		12		q
				0

Демонстрации:

187

	стор
	A	– падение напряжения на участке 1-2.
	12
	q
	0

1) Падение потенциала вдоль верёвки

2) Усы Курёпина

3.6.3. Соединения проводников

В этом разделе рассматриваются однородные участки цепи, т. е. такие, в которых неэлектростатические поля не совершают работы (E = 0). Закон Ома для одно-

родного участка цепи

IR	U
12	12

.

1. Последовательное соединение (РИС. 23.8)

I

R1

R2

Ri

RN

Для N проводников, тельно

I	I
1	2

соединённых последова-

Ii

IN I ,

	Рис. 23.8	так как по закону сохранения заряда заряд,
		проходящий через любое сечение каждого из
	проводников в определённый промежуток времени, одинаков.
	Для однородного участка IiRi = Ui = φ1i – φ2i; общее падение напряжения

U U U	2		U
1			i

UN

	i
	U

.

Сопротивление участка цепи, состоящего из N проводников, соединённых последовательно,

R	U		Ui
	I			I
				R

2. Параллельное соединение (РИС. 23.9)

N Ri

i 1

Ui Ii

.

	i
	R

;

I1 R1

I I2 R2

Ii Ri

IN RN

Рис. 23.9

В этом случае напряжение на всех проводниках одинаково, а токи суммируются:

U1 U2	Ui	UN U ,
I I1 I2	Ii	IN Ii .

Сопротивление участка цепи, состоящего из N проводников, соединённых параллельно,

R

U

U

1

1

,

I

Ii

Ii

1

U

R

i

i

1

N

1

.

R

i 1

R

i

188

3.6.4. Правила Кирхгофа

Приведённые ниже два правила являются выражениями физических законов – закона сохранения электрического заряда и закона Ома – и позволяют рассчитать токи и напряжения на любом участке сколь угодно сложной электрической цепи.

1.Алгебраическая сумма токов в узле электрической цепи равна нулю:

						.
		i			0
	I		узел
Узел электрической цепи – место (точка на электриче-							I1
ской схеме), где соединяются два и более проводников
(РИС. 23.10). При записи I правила Кирхгофа втекающие
в узел токи считаются положительными,				вытекающие			I2	Ii	IN
– отрицательными.
I правило Кирхгофа следует из закона сохранения
электрического заряда.								Рис. 23.10
2. Сумма падений напряжений на замкнутом участке
цепи равна сумме ЭДС на этом участке:

i i		i
I R		E

.

Доказательство

Применим обобщённый закон Ома (23.7) к каждому из N проводников на замкнутом участке цепи:

IiRi φ1i φ2i Ei .

Просуммируем эти выражения по всему замкнутому участку:

IiRi φ1i φ2i E i , ч. т. д.

0, т. к. контур замкнут Для расчёта токов в цепи произвольно выбирают направления токов в каждом

неразветвлённом участке и направления обхода замкнутых контуров. Составляют систему линейных алгебраических уравнений:

N – 1 уравнений по I правилу Кирхгофа (N – число узлов);

k уравнений по II правилу Кирхгофа (k – число независимых замкнутых контуров, т. е. таких контуров, которые нельзя целиком составить из других рассматриваемых контуров).

Эта система уравнений должна иметь одно и только одно решение.

ПРИМЕР

Расчёт токов в разветвлённой цепи

	I1	R1			E1		Электрическая цепь состоит из трёх источников постоянного
							тока и трёх однородных проводников (схема цепи на
	I2	R2			I		РИС. 23.11). Параметры E1, E2, E3, R1, R2, R3 известны. Найти токи
1					E2	2	в каждой из ветвей цепи.
							Число узлов в цепи N = 2, число независимых контуров k = 2.
	I3	R3		II
					E3		Произвольно обозначим направления токов в ветвях цепи, вы-
							берем направления обхода контуров I и II (см. РИС. 23.11). Мож-
	Рис. 23.11						но было бы выбрать другие два из трёх замкнутых контуров в
							этой цепи.

189

Запишем уравнение по I правилу Кирхгофа для узла 1 и уравнения по II правилу Кирхгофа для контуров I и II:

1: I		I	2	I			0;
1						3
I: I	R I				R		E E		,
1		1		2		2	1	2
II: I		R	I			R	E	E .
	2	2			3	3	2		3

Эта система содержит 3 уравнения с 3 неизвестными. Студентам предлагается решить её самостоятельно.