- •ВВЕДЕНИЕ
- •1 ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЙ
- •1.1 Методы отделения корней
- •1.1.1 Постановка задачи
- •1.1.2 Табличный метод отделения корней
- •1.1.3 Графический метод отделения корней
- •1.1.4 Метод интервалов отделения корней
- •1.2.2 Оценка погрешности приближенного корня
- •1.2.3 Метод половинного деления
- •1.2.3.1 Алгоритм метода половинного деления
- •1.2.4 Метод итераций
- •1.2.4.1 Алгоритм метода итераций
- •1.2.5 Метод Ньютона
- •1.2.5.1 Алгоритм метода Ньютона
- •1.2.6 Метод хорд
- •1.2.6.1 Алгоритм метода хорд
- •1.2.7 Комбинированный метод
- •1.2.7.1 Алгоритм комбинированного метода
- •1.2.8 Пример решения уравнения
- •1.2.8.1 Метод половинного деления
- •1.2.8.2 Метод итераций
- •1.2.8.3 Метод Ньютона
- •1.2.8.4 Метод хорд
- •1.2.8.5 Комбинированный метод
- •1.2.9 Уточнение корней уравнений в Excel с помощью циклической ссылки
- •1.2.9.1 Метод половинного деления
- •1.2.9.2 Метод итераций
- •1.2.9.3 Метод Ньютона
- •1.2.9.4 Метод хорд
- •1.2.9.5 Комбинированный метод
- •1.2.10 Решение уравнений средствами MathCAD
- •ПРИЛОЖЕНИЕ
30
1.2.9.5Комбинированный метод
Втаблице Excel выполним следующие действия.
1.Выполните распределение ячеек и запись расчетных формул:
−диапазон A5:A6 – значения аргумента: a = –1; b = 0;
−диапазон B5:B6 – значения производной f '(x). В ячейку B5 введите формулу =LN(5)*5^A5-6 и распространите ее на указанный диапазон;
−диапазон C5:C6 – значения второй производной f ''(x). В ячейку C5 введите формулу =LN(5)*5^A5*LN(5) и распространите ее на указанный диапазон;
−D5 – определить вариант расчета v. Введите формулу =ЕСЛИ(ЗНАК(B5)=ЗНАК(C5);1;2). Если совпадают знаки первой и второй произ-
водной функции f(x), то принимаем v =1, иначе v = 2;
− E5 – начало интервала изоляции корня, a. Введите формулу
=ЕСЛИ(H5=0;A5;ЕСЛИ(D5=1; E5-(5^E5-6*E5-3)*(F5-E5)/(5^F5-6*F5-3-(5^E5- 6*E5-3));E5-(5^E5-6*E5-3)/(LN(5)*5^E5-6))).
Если число итераций H5=0, то значение для a устанавливается равным началу отрезка отделения корня, иначе, если вариант расчета v = 1 – значение a рассчитывается по формуле хорд, в других случаях значение a рассчитывается по формуле Ньютона;
− F5 – b, конец интервала изоляции корня. Введите формулу
=ЕСЛИ(H5=0;A6;ЕСЛИ(D5=2; F5-(5^F5-6*F5-3)*(F5-E5)/(5^F5-6*F5-3-(5^E5- 6*E5-3));F5-(5^F5-6*F5-3)/(LN(5)*5^F5-6))).
Если число итераций H5=0, то значение для b устанавливается равным концу отрезка отделения корня, иначе, если вариант расчета v = 2 – значение b рассчитывается по формуле хорд, в других случаях значение b рассчитывается по формуле Ньютона;
−G5 – приближенное значение корня. Введите формулу =(E5+F5)/2;
−H5 – счетчик числа выполненных итераций. Введите формулу =H5+1;
−I5 – значение функции в точке x. Введите формулу =5^G5-6*G5-3;
−J5 – значение d – погрешность вычислений. Введите формулу
=F5-E5.
2.Выполните расчет.
3.Конец алгоритма.
1.2.10Решение уравнений средствами MathCAD
Для численного решения нелинейного уравнения f(x)=0 MathCAD имеет встроенную функцию root, которая имеет вид
root(f(х),x,a,b),
где f (х) – левая часть уравнение, х — скалярная переменная, относительно которой решается уравнение, а, b — границы интервала, на котором находится корень уравнения (необязательные параметры).
31
Поиск корня уравнения осуществляется итерационным методом с заданной точностью (точность по умолчанию 10-3 ; системная переменная TOL отве-
чает за точность).
В системе MathCAD выполните следующие действия:
1. Введите уравнение f(x):= 5x − 6 x − 3 ;
2.Введите заданную точность TOL:= 10-7 ;
3.С помощью функции root уточните корень на отрезке [-1;0]
root( f (x) , x , − 1 , 0) = − 0.4144636 ;
4. Уточните корень на отрезке [1;2] root( f (x) , x , 1 , 2) = 1.5633283 .
Задания к данной теме приведены в приложении.