16

1.2.6 Метод хорд

Пусть на отрезке [a; b] отделен корень уравнения (1), функция f(x) дважды дифференцируема, а f ′(x) и f ′′(x) сохраняют постоянные знаки на указанном интервале.

Метод заключается в том, что на интервале [a;b] отделения корня ξ уравнения (1) дуга кривой y = f(x) заменяется стягивающей ее хордой и в качестве приближенного значения корня x принимается точка пересечения хорды с осью абсцисс (рис. 7).

Уравнение хорды определяем как уравнение прямой, проходящей через точки A(a, f(a)) и B(b, f(b)), имеющее вид

y

B(b, f(b)) f(b)

	α
0	ξ	β	x
f(a)	A(a, f(a))

x −	a	=	y − f ( a )	.
b −	a		f ( b ) − f ( a )
			(19)

Если x = x , то y = 0, тогда из (19) следует

Рис. 7. Геометрическая интерпретация метода хорд

x

x − a	= −	f ( a )	,
b − a		f ( b ) − f ( a )

откуда находим приближенное значение корня

x = a –	f ( a )	(b – a).	(20)
	f ( b ) − f ( a )

Для нахождения последующих приближений определяется отрезок, на концах которого функция имеет разные знаки. Если sgn f(a) = sgn f( x ), то полагается a = x , иначе b = x и повторяются вычисления по формуле (20).

Замечание. Вычисление приближенного значения x корня ξ уравнения (1)

выполняется с недостатком, т. е. x – ξ < 0, если на отрезке [a; b] имеют места неравенства:

f ′(x) > 0 и f ′′(x) > 0 – функция f(x) возрастающая, график f(x) вогнутый;

f ′(x) < 0 и f ′′(x) < 0 – функция f(x) убывающая, график f(x) выпуклый.

Вычисление приближенного значения x корня ξ уравнения (1) выполняется с избытком, т. е. x – ξ > 0, если на отрезке [a; b] имеют место неравенства: