18

1) f ′(x) > 0 и f ′′(x) > 0 – функция f(x) возрастающая, график f(x) вогнутый или f ′(x) < 0 и f ′′(x) < 0 – функция f(x) убывающая, график f(x) выпуклый, то x1 вычисляется по методу хорд (20), а x2 – по методу Ньютона (18);

2) f ′(x) > 0 и f ′′(x) < 0 – функция f(x) возрастающая, график f(x) выпуклый или f ′(x) < 0 и f ′′(x) > 0 – функция f(x) убывающая, график f(x) вогнутый, то x1 вычисляется по методу Ньютона (18), а x2 – по методу хорд (20).

Погрешность комбинированного метода на n-ом шаге определяется неравенством

|ξ – x | < bn – an,

где x = 21 ( bn + an).

1.2.7.1 Алгоритм комбинированного метода

1.Установить значения a, b, ε – границы отрезка отделения корня и принятую точность приближения.

2.Выполнить проверку применимости метода: если sgn f(a)= sgn f(b), то ме-

тод не применим, конец вычислений. Иначе 3. Установить вариант расчета:

если sgn f ′(a)= sgn f ′′(a), то	v = 1
иначе	v = 2.

4.Начать цикл уточнения корня.

4.1.Выполнить сужение интервала изоляции корня: если v = 1, то

a = a –

иначе

b = b –

	f ( a )			(b – a); b = b –			f ( b )		,
	f ( b ) − f ( a )						f ' ( b )
	f ( b )		(b – a); a = a –			f ( a )
								.
f ( b ) − f ( a )						f ' ( a )

5.Конец цикла, если b – a < ε .

6.Вывод результата x = a +2 b .

7.Конец алгоритма.

1.2.8Пример решения уравнения

Пример. Средствами электронной таблицы Excel графически определите приближенное место расположения корней уравнения 5 x − 6 x − 3 = 0 . Уточните в MS Excel корни уравнения 5 x − 6 x − 3 = 0 методом половинного деления, методом Ньютона, методом хорд, комбинированным методом и методом итераций с точностью ε = 10-7, используя язык программирования Visual Basic For Application (VBA), циклическую ссылку MS Excel, а также решите уравнение средствами MathCAD.

				19
	Решение:			5 x − 6 x − 3 = 0
	Отделяем корни уравнения				графически, для этого строим в
	MS Excel график функции у =		5 x −	6 x − 3 .
	Данные для построения
	x	y
	-3	15,008
	-2,75	13,51196279		Отделяем корни уравнения 5X-6x-3=0
	-2,5	12,01788854
					графически
	-2,25	10,52674961
	-2	9,04			120
	-1,75	7,559813951
	-1,5	6,089442719			100
	-1,25	4,633748061
	-1	3,2			80
	-0,75	1,799069756
	-0,5	0,447213595			60
	-0,25	-0,831259695
	0	-2			40
	0,25	-3,004651219
	0,5	-3,763932023			20
	0,75	-4,156298475
	1	-4			0
	1,25	-3,023256094
			-4	-2	-20 0	2	4
	1,5	-0,819660113
	1,75	3,218507624
	2	10
	2,25	20,88371953	Из графика видно, что уравнение имеет 2 корня,
	2,5	37,90169944	лежащие соответственно в промежутках [-1; 0] и [1; 2].
	2,75	64,09253812
	3	104

1.2.8.1 Метод половинного деления

Function f(x) ' вычисление функции f(x) f = 5 ^ x - 6 * x - 3

End Function

Sub pol_del() Const e = 0.0000001

Dim a As Double, b As Double, c As Double, d As Double, x As Double Dim sgna As Integer, sgnx As Integer

a = InputBox("Введите значение а") b = InputBox("Введите значение b") c = a

d = b

sgna = Sgn(f(a))

If sgna * Sgn(f(b)) < 0 Then Do

20

x = (a + b) / 2 sgnx = Sgn(f(x)) If sgnx = 0 Then Exit Do

Else

If sgna = sgnx Then a = x

Else b = x End If End If

Loop Until (b - a) < e

MsgBox x, , "Корень уравнения на отрезке[" & c & ", " & d & "]" Else

MsgBox "Метод половинного деления не применим" End If

End Sub

Результаты работы программы: 1

Исходные данные:

Результат:

2

Исходные данные:

21

Результат:

1.2.8.2 Метод итераций

Function f(x)	' вычисление функции f(x)
f = 5 ^ x - 6 * x – 3
End Function
Function f1(x)	' производная функции f(x)
f1 = Log(5) * 5 ^ x - 6
End Function
Sub itr()

Const e = 0.0000001

Dim a As Double, b As Double, x As Double, M As Double Dim dx As Double, p As Double, x0 As Double, x1 As Double a = InputBox("Введите значение а")

b = InputBox("Введите значение b")

' Найти наибольшее значение модуля второй производной M = f1(a)

x = a

dx = 0.01 Do

x = x + dx p = f1(x)

If Abs(p) > Abs(M) Then M = p

End If

Loop Until x > b